1、第二讲 指数函数与对数函数一、高考考向1 （全国新卷理 5）已知命题 1p：函数 2xy在 R 为增函数， 2p：函数2xy在 R 为减函数，则在命题 q： 1p， 2q： 12， 3q： 12和 4q：1p中，真命题是（ C ）（A） q， 3 （B） 2， 3 （C） 1， 4 （D） 2， 4解析：易知 1p是真命题，而对 2p：1lnln()2x xxy，当0,)x时，2x，又 ln0，所以 ，函数单调递增；同理得当(时，函数单调递减，故 2p是假命题由此可知， 1q真， 2假， 3q假，4q真另解：对 2p的真假可以取特殊值来判断，如取 12x，得 12574y；取341x，得 34
2、572y即可得到 2p是假命题，下略2已知函数 F(x)=|lgx|,若 0f(1)=1+ 1=3,即 a+2b 的取值范围是 (3,+).3.(2018 年高考天津卷理科 8)设函数 f（x）= 21logx0, 若 f(a)f(-a),则实数 a的取值范围是（ ）（A） （-1，0）（0，1） （B） （-，-1）（1,+） （C） （-1，0）（1,+） （D） （-，-1）（0,1）【答案】C【解析】当 a时，由 f(a)f(-a)得： 212logla，即 221logla，即 a，解得 1；当 0时，由 f(a)f(-a)得： 12l()2()l，即 2l()2()loga，即 1
3、，解得 10a，故选 C。4已知定义域为 （ ， ） 的函数 f(x)满足：对任意 x0（ ， ） ，恒有 f(2x)=成立；当 x（ ， 2时， f()=-。给出如下结论：对任意 mZ，有 m0；函数 f()的值域为 ， ） ；存在 nZ，使得nf(2+1)=9；“函数 f(x)在区间 ,ab上单调递减”的充要条件是 “存在 k，使得1,kab”。其中所有正确结论的序号是 。【答案】【解析】 0)2()2()2() 111 ffff mmm ，正确； 取 1 22,(mx，则 ,x； x，从而fff mm1)2()，其中， ,1，从而 ),0)(xf，正确； 12(nn，假设存在 n使 9)
4、2(nf，即存在 .,21ts 3 021x，又， x变化如下：2,4,8,16,32，显然不存在，所以该命题错误；根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是 . 4 1 2 4二、例题精析：例 1：（上海春卷 20）已知函数 0)(28log)(axfxa，且 )（1）若函数 )(xf的反函数是其本身，求 a 的值；（2）当 a时，求函数 )(xfy的最大值。例 2：已知函数 （ 且 ） 。241xxfa0a1（1）求函数 的定义域和值域；（2）是否存在实数 ，使得函数 满足：对于任意 ，都有 ？若fx,x0fx存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由。a解：（1）由 得 ，当
5、 时， ；当 时， ，40x4xa01alog4a1log4a故当 时，函数 的定义域是 ；当 时，函数 的定义域0fl,fx是 。,loga令 ，则 ， ，当4xt02t22414fxgttt时， 是减函数，故有 ，即 ，所以函数020fx53fx的值域为 。f5,3（2）若存在实数 ，使得对于任意 ，都有 ，则 是定义域a1,f1,的子集，由（1）得 不满足条件；因而只能有 ，且 ，即101alog4a，令 ，由（1）知 ，由 得44xt2fxgt0fx（舍去） ，或 ，即 ，解得 ，由是，只须对任意 ，3ta31,恒成立，而对任意 ，由 得 ，因而只要 ，解得xa,x011xa3a。综上
6、，存在 ，使得对于任意 ，都有 。113,0fx例 3：（ 2018 年高考全国卷 I 理科 20）已知函数 ()ln1fx.（）若 2()1xfax，求 的取值范围；（）证明： ()0f .【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.【解析】解：（） 11()lnlxf x， ()ln1fx,题设 2()xfa等价于 a.令 lg，则 ()gx当 01 ， 0g ；当 1x 时， ()0gx ， 1是 ()x的最大值点，()x 综上， 的取值范围
7、是 ,.()有（）知， () 即 lnx .当 01x 时， 1(ln1)0fxx ；当 时， ()ln(l)x1l(l)xx0所以 (1)f例 4：(2018 年高考天津卷理科 21) 已知函数 f(x)=xe-x（x R）.() 求函数 f(x)的单调区间和极值；()已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称，证明当 x1 时，f(x)g(x)()如果 12,x且 12(),fxf证明 12x【命题意图】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。【解析】 （）解：f ()xxe令 f(x
8、)=0,解得 x=1当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表X ( ,1) 1 (1,)f(x) + 0 -f(x) A极大值 A所以 f(x)在( ,1)内是增函数，在( 1,)内是减函数。函数 f(x)在 x=1 处取得极大值 f(1)且 f(1)=e（）证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x) 2x令 F(x)=f(x)-g(x),即 ()()xF于是 2()1xFxe当 x1 时，2x-20,从而 -0,Fxe又 所 以 (x)0,从而函数 F（x）在1,+)是增函数。又 F(1)= -1e0， 所 以 1时 ， 有 F(x)F(1)=0,即 f(x
9、)g(x).)证明：（1）若 2 1212(),),.x xx12由 （ ） 及 f(xf则 与 矛 盾 。（2）若 1()0)x由 （ ） 及 (得 与 矛 盾 。根据（1） （2）得 1212(),.xx不 妨 设由（）可知， )fg,则 2(= )f-，所以 )2f(x )2-,从而)1f(x )2-.因为 2x，所以 x，又由（ ）可知函数 f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以 1 2,即 122.三、反馈练习：1设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数 a=_-1_解析考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e x+ae-x 为奇函数，由 g(0)=0，得 a=1
10、。2对任意不等于 1 的正数 a，函数 f(x)=log(3)a的反函数的图像都经过点 P，则点 P的坐标是 （0，-2） 3 定义域为 R 的函数 ，若 ，则关于 的方程)2(0|l)(xxf 0bx,的不同实根共有（ ）个。 A. 4 B.5 C.7 D.80)(2xbff解析： 方程 可化为 或 。而 的图象大致)(2xbf 0)(xfbf)()(xfy如图 1 所示，yx1 2 3O由图可知，直线 与 的图象有 3 个交点，直线 与0y)(f )0(by的图象有 4 个交点，即方程 有 3 个实根，方程 有 4 个实根，)(xfy0xf xf从而原方程共有 7 个实根，故答案选 C。4
11、 （1）若 ,则 （ B ）02loglba（A） （B） （C ） （D）101a1ba1ab（2）函数 图象的对称轴为 ，则 为 （ A ）)(2xy 2x（A） （B） （C） （D）2（3） 时，不等式 恒成立，则 的取值范围（ B ）,1xalog)1(a（A） （B） （C） （D ）)0(2,2,1（4）已知函数 的值域为 ，则 的范围是 （ D ）34xxy7x（A） （B） （C） （D）,2)0,(4,),0(2,105设 ,1，则使函数 y的定义域为 R 且为奇函数的所有 的值为（ A ）A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 6若 )2(logaxy在
12、 1,0上是减函数,则 a的取值范围是 ( C )A. )1,0 B. )2( C. 2,1 D. ),2(7已知函数 (fx= ,)0(,log2x若 f(a)=， . -1 或 8.设 ,a，函数 2lg3)xf有最大值，则不等式 2log570ax的解集为 .解析 设 0,1a，函数 2lg(3)xfa有最大值， 2l(3)lg2 有最小值， 0a1， 则不等式 2lo570a的解为 25701x，解得2x3，所以不等式的解集为 2,3.9已知函数 ()f满足：x4,则 ()fx 1x；当 x4 时 ()f 1)fx，则 2(log3f( A )A. 14 B.12 C. 8D. 38解
13、析 32log 234,所以 f(2log 23)f(3log 23)且 3log 234 (log)ff(3log 23)1222log33llog311)()88410已知集合 是满足下列性质的函数 的全体：在定义域内存在 ，使得Mxf 0x成立。0011fxff（）函数 是否属于集合 ？说明理由；x（）设函数 ，求 的取值范围；af1lg2a（）设函数 图象与函数 的图象有交点，证明：函数xyxy。Mxf2解：（）若 ，在定义域内存在 ，则 ，1fx0x200011x方程 无解， 。 201fxM（） ， 222 2lglglgl 101aaafx xa时， ； 时，由 ，得 。a064
14、035,2,35 。 35,（） ， 000021 12001 3()2xxxxfxf 函数 图象与函数 的图象有交点，设交点的横坐标为 ，y2y a则 （其中 ） ，即 ，0120210xa 10ax0011fxff于是 。Mxf11（2018 年高考山东卷理科 22）已知函数 ()lnafxx()R.()当 12a时，讨论 ()fx的单调性；（）设 ()4.gxb当 1a时，若对任意 1(0,2)，存在 21,，使12f，求实数 取值范围. 【解析】本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力
15、。解：（）因为 1()lnafxx，所以 21() (0,)af，令 2,(0)hxx，当 12a时， 12,()0xh 恒成立，此时 ()0fx ，函数 ()fx在（ 0， +）上单调递减；当 时 ， ，(,1)x时， ()0hx ，此时 ()0fx ，函数 ()fx单调递减；a时 ，此时 ，函数 单调递增；(,)x时， ()x ，此时 ()fx ，函数 ()fx单调递减；当 0a 时，由于 10a ，(,)x， (hx ,此时 ()fx ，函数 ()fx单调递减；1时， ) ，此时 0 ，函数 单调递增.综上所述：（）因为 a= 1(0,)42，由（）知， 1x=1， 2=3 (0,)，当 (0,1)x时，()fx，函数 fx单调递减；min 7()80(,),28gbb当 (1,2)x时， ()0fx，函数 fx单调递增，所以 fx在（0，2）上的最小值为 f。由于“对任意 1(,)，存在 1,，使 12()fxg”等价于“ ()gx在 ,2上的最小值不大于 ()fx在（0,2）上的最小值 1”（*）又 = 24b， 1,，所以当 1时，因为 min()()520gxb，此时与（*）矛盾当 ,2时，因为 i4，同样与（*）矛盾当 ()b时，因为 min()()8xg，解不等式 8-4b 12，可得178综上，b 的取值范围是 17,8。
