1、 每天发布最有价值的高考资源1 / 10题目 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 第八章圆锥曲线 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt /.jw/.j圆锥曲线的综合问题高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 头htp:/w.xjkygcom1
2、26t:/.j (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (4)了解圆锥曲线的初步应用 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 解析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它本身侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j反映在解题上，就是根据曲线的几何特征准确
3、地转换为代数形式，根据方程画出图形，研究几何性质 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j学习时应熟练掌握函数与方程的思想、数形结合的思想、参数的思想、分类与转化的思想等，以达到优化解题的目的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j具体来说，有以下三方面：（1）确定曲线方程，实质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j有时题设设计的非常隐蔽，这就要求认真审题，挖掘题目的隐含条件作为解题突破口 头htp:/w.xjky
4、gcom126t:/.j（2）解析几何也可以与数学其他知识相联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思维的灵活性和多面性，能够顺利进行转化，即从一知识转化为另一知识 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（3）解析几何与其他学科或实际问题的综合，主要体现在用解析几何知识去解有关知识，具体地说就是通过建立坐标系，建立所研究曲线的方程，并通过方程求解来回答实际问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j在这一类问题中“实际量 ”与“数学量”的转化是易出错的地方，这是因为在坐标系中的量是“数量” ，不仅有大小还有符号 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题型讲解 头h
5、tp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 例 1 如图，O 为坐标原点，直线 l 在 x 轴和 y 轴 上的截距分别是 a 和 b（a0，b0） ，且交抛物线 y2=2px（p0）于 M（x 1，y 1） ，N（x 2， y2）两点 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（1）写出直线 l 的截距式方程；（2）证明： + = ；1y2b（3）当 a=2p 时，求MON 的大小 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j分析：易知直线 l 的方程为 + =1，欲证 + = ，即求 的值，为此只ab1y2b21y需求直线 l 与抛物线 y2=2px 交点
6、的纵坐标 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j由根与系数的关系易得 y1+y2、y 1y2 的值，进而证得 + = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 由 =0 易得MON=90 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j亦可由 kOMkON=1 求得1ybOMNMON=90 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（1）解：直线 l 的截距式方程为 + =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jab（2）证明：由 + =1 及 y2=2px 消去 x 可得 by2+2pay2pab=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jab点
7、 M、N 的纵坐标为 y1、y 2，MNaboyx故 y1+y2= ，y 1y2=2pa 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbpa所以 + = = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1y221yab（3）解：设直线 OM、ON 的斜率分别为 k1、k 2，则 k1= ，k 2= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jx当 a=2p 时，由（2）知，y 1y2=2pa=4p 2，由 y12=2px1，y 22=2px2，相乘得（ y1y2） 2=4p2x1x2，x1x2= = =4p2，4)()(因此 k1k2= = =1 头htp:/w.xjkygco
8、m126t:/.jxy所以 OMON，即MON=90 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j点评：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 2 已知椭圆 C 的方程为 + =1（ab0） ，双曲线 =1 的两条渐近线2xy2axby为 l1、l 2，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，使 ll 1，又 l 与 l2 交于 P 点，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至 下依次为A、B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（如图）（1）当 l1 与 l2 夹角为 60，双曲线的焦距
9、为 4 时，求椭圆 C 的方程；（2）当 = 时，求 的最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jFAP分析：（1）求椭圆方程即求 a、b 的值，由 l1 与 l2 的夹角为 60易得 = ，由双ab3曲线的距离为 4 易得 a2+b2=4，进而可求得 a、b 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j（2）由 = ，欲求 的最大值，需求 A、P 的坐标，而 P 是 l 与 l1 的交点，故FAP需求 l 的方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j将 l 与 l2 的方程联立可求得 P 的坐标，进而可求得点 A 的坐标 头htp:/w.xjkygcom126t
10、:/.j将 A 的坐标代入椭圆方程可求得 的最大值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解：（1）双曲线的渐近线为 y= x，两渐近线夹角为 60，ab又 0”是“曲线 ax2+by2=c 为椭圆”的A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j充分不必要条件 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j必要不充分条件 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j充分必要条件 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j既不充分又不必要条件答案：B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析：ac0 曲线 ax2+by2=c 为椭圆 头htp
11、:/w.xjkygcom126t:/.j反之成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j到两定点 A（ 0，0） ，B （3，4）距离之和为 5 的点的轨迹是A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j椭圆 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jAB 所在直线 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j线段 AB D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j无轨迹答案：C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析：数形结合易知动点的轨迹是线段 AB：y= x，其中 0x3 头htp
12、:/w.xjkygcom126t:/.j43 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j若点（ ，y）在椭圆 4x2+y2=4 上，则 的最小值为2A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j以上都不对3答案：C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析： 的几何意义是椭圆上的点与定点（2，0）连线的斜率 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j显然直线与椭圆相切时取得最值，设直线 y=k（x 2）
13、代入椭圆方程（ 4+k2）x 24k 2x+4k24=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j令 =0，k= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j min= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j334 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j以正方形 ABCD 的相对顶点 A、C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j30
14、3550答案：D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析：建立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得 e= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j05 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j已知 F1（3 ，0） 、F 2（3，0）是椭圆 + 1 的两个焦点，P 是椭圆上的点，当x2nyF 1PF2 时，F 1PF2 的面积最大，则有3A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =12，n=3 B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =24，n =6 C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =6，n= D 头htp
15、:/w.xjkygcom126t:/.j =12，n=63答案：A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析：由条件求出椭圆方程即得 m=12，n=3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 x=4 的距离的比为 2, 则动点 M 的轨迹方程为 ( ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 342342C 头htp:/w.xjkygcom126t:/
16、.j 3x2-y2-34x+65=0 D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3x2-y2-30x+63=0答案: D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析: , 两边平方即得 3x2-y2-30x+63=0)(7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j P 是椭圆 上的动点, 作 PDy 轴, D 为垂足, 则 PD 中点的轨迹方程为( )92头htp:/w.xjkygcom126t:/.j A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j
17、D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 924249292答案: D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析: 设 PD 中点为 M(x, y), 则 P 点坐标为(2x, y), 代入方程 , 即得162yx头htp:/w.xjkygcom126t:/.j948 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知双曲线 ,(a0,b0), A1、A 2 是双曲线实轴的两个端点, MN 是垂直于实轴2ba所在直线的弦的两个端点, 则 A1M 与 A2N 交点的轨迹方程是( ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j A 头htp:/w.xjkygcom
18、126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2ba2ba答案: A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析: 设 M(x1, y1), N(x1, -y1), A1M 与 A2N 交点为 P (x,y), A1 (-a,0), A2(a,0), 则 A1 M 的方程是 , A2M 的方程是 , 两式相乘 , 结合 即得 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja1 1 b9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 抛物线的准线
19、l 的方程是 y=1, 且抛物线恒过点 P (1,-1), 则抛物线焦点弦的另一个端点 Q的轨迹方程是( ) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (x-1)2=-8(y-1) B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (x-1)2=-8(y-1) (x1) C 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (y-1)2=8(x-1) D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (y-1)2=8(x-1) (x1)答案: B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析: 设焦点为 F, Q(x
20、,y), 则由抛物线定义得: , 化简即得2)1)( PQF每天发布最有价值的高考资源9 / 1010 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j双曲线 9x216y 2=1 的焦距是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j答案： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解析：将双曲线方程化为标准方程得5 =1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.ja 2= ，b 2= ，c 2=a2+b2= + = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j c= ，2c= 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j9916945511 头htp:/w.xjk
21、ygcom126t:/.j若直线 mx+ny3=0 与圆 x2+y2=3 没有公共点，则 m、 n 满足的关系式为_；以（m，n）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆 + =1 的公共点有_个 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j72x3y答案：01k 0 k（1，1） ，方程所表示的曲线是焦点在 x 轴上的椭圆；1k3 k 20 k（ ，1） ，方程所表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆；31k=3 k 20 k=1，表示的是一个圆；（1k） （3 k2）0 k（， ）3（1， ） ，表示的是双曲线；k=1，k= ，表示的是两条平行直线；k= ，表示的3图形不存在 头htp
22、:/w.xjkygcom126t:/.j（2）由（ k2+k6） （6 k2 k1）0 （ k+3） （ k2） （3 k+1） （2 k1）0 k（3， ）（ ，2） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j3115 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设 为坐标原点, 为直线 上动点, , , 求 点的轨迹OPOQP/1Q方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解: 设 , 则由 得: , 即 , 由 得: )(),yxQaO/xayyP, 将 代入得 : , 且 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j1yx20所求点 的轨迹方程为: 头htp
23、:/w.xjkygcom126t:/.j)(2yx16 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 半径为 R 的圆过原点 O, 圆与 x 轴的另一个交点为 A, 构造平行四边形 OABC, 其中 BC为圆在 x 轴上方的一条切线 , C 为切点, 当圆心运动时, 求 B 点的轨迹方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j解: 设圆心为 M(x0, y0), B(x,y), ),()020RyxA， 又 BC 为圆的切线, 得: ,COA3,ROyx00,3)0()(922202 xyxR课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco
