1、 图8图图DCA BE【黄冈中考】备战 2012 年中考数学矩形、菱形与正方形的押轴题解析汇编一矩形、菱形与正方形一、选择题1. （2011 江苏泰州，8，3 分）如图，直角三角形纸片 ABC 的C 为 90，将三角形纸片沿着图示的中位线 DE 剪开，然后把剪开的两部分重新拼接成不重叠的图形，下列选项中不能拼出的图形是A平行四边形 B矩形 C等腰梯形 D直角梯形【解题思路】把ADE 围绕 D 点逆时针旋转 180可以拼成平行四边形，把ADE 围绕E 点顺时针旋转 180可以拼成矩形，把ADE 沿 AD 翻折再向下平移可拼成等腰梯形，不可能拼成直角梯形。【答案】D【点评】本题是一个操作性问题，主
2、要考查中位线的性质，图形的变换等知识，学生可以动手操作，也可以利用图形的性质，借助于画图加以解决。另外，本题并不陌生，在学习中位线的性质时，就有这样的类似的操作，所以本题还是重在基础和平时的积累。难度较小.2011（江苏省淮安市，5， 3 分）在菱形 ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为A5cm B15cm C20cm D25cm【解题思路】由菱形的四边都相等，知其周长为 45=20cm，故选项 C正确。【答案】C。【点评】本例考查的是菱形的性质的应用，解题的关键是掌握菱形的相关性质，难度较小。（2011 江苏扬州，7，3 分）已知下列命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形；等腰梯形的
3、对角线相等；对角线互相垂直的四边形是菱形；内错角相等，其中假命题有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解题思路】都是真命题，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故是假命题，内错角不一定相等，只有两平行线被第三条直线所截，内错角才相等，故也是假命题【答案】B【点评】本题通过判断真假命题的形式考查学生对于特殊四边形性质及判定的掌握难度中等（2011 江苏无锡，5,3 分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角互补【解题思路】针对菱形和矩形的各自的性质进行比较，对角线互相平分是他们都具有的性质；对角线相等，矩形具有而菱形不一定具有；对
4、角互补，矩形具有但菱形不一定具有；只有对角线互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有.故选 A【答案】A/ 192【点评】本题主要考查菱形和矩形的性质，在对角线互相平分的基础上，对角线相等，是矩形的性质；对角线互相垂直，是菱形的性质；至于对角互补仅矩形具有，菱形不一定具有.综合以上可得，菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直.1（2011 湖南省益阳，7，4）如图 2，小聪在作线段 AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以 A和 B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于 C、 D，则直线 CD即为1所求根据他的作图方法可知四边形 ADBC一定是A矩形 B菱形 C正方形 D等腰梯形AC
5、D图 2【解题思路】在作垂直平分线的过程中，满足了对角线互相平分且垂直，符合菱形的判定方法。【答案】B【点评】本题主要考查尺规作图及特殊四边形的判定以及在作图中发现数学知识，运用数学知识，体现了中考基本作图的重视。7 （2011 四川绵阳 7，3）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相平分的四边形是矩形C矩形的对角线互相垂直且平分 D矩形的对角线相等且互相平分【解题思路】平行四边形的对角线互相平分，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对角线互相平分根据矩形的性质，又知矩形的对角线相等，所以矩形的对角线相等且互相平分【答案】D【点评】本题考查了特殊四边形的性质和
6、判定，按照规律把矩形的性质和判定记熟8（2011 辽宁大连，8，3 分）如图 2，矩形 ABCD 中，AB4，BC5 ，AF 平分DAE，EFAE，则 CF 等于A B1 C D223【解题思路】可以证明 ,得到 AD=AE=5，在直AEF角三角形 ABE 中，AB=4，可计算出 BE=3，所以 EC=2，容易看出相似，根据相似三角形的对应边成比例，可得 ,即 ，则EF与 CFBEA324CF= 32【答案】C【点评】本题考查的知识点多，如三角形全等、勾股定理、三角形相似等知识，也有能力的提升，难度较大。也可以在 中，利用勾股定理列方程，求出 CF 的长。ECF10（2011 年内蒙古呼和浩特
7、，10，3）下列判断正确的有( )顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形中心投影的投影线彼此平行B图 3图 2EDCBAF在周长为定值 的扇形中, 当半径为 时扇形的面积最大p4p相等的角是对顶角的逆命题是真命题A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个【解题思路】先利用对角线互相垂直与三角形的中位线性质,得到中点四边形为矩形,再利用对角线相等与中位线性质,说明这个矩形为正方形；区别中心投影与平行投影的不同点；设出扇形的半径为 ,用代数式 表示扇形的弧长 ,结合x2px扇形面积公式,转化到一元二次方程去求解；先整理出原命题的逆命题,再判断这个逆命题的真假.【答案】B【
8、点评】本题是用四个小题组合而成的,此题型考查内容丰富.试题对四个不同章节的内容进行了考查,考查了正方形的判定、中心投影的概念、扇形的面积公式、命题、对顶角性质等知识点,只要有一个小题无法做出正误判断,都将影响本题的答案,因此此题对学生的要求较高,难度较大.10（2011 内蒙古乌兰察布，10，3 分）如图，已知矩形 ABCD ，一条直线将该矩形 ABCD 分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 M 和 N ，则 M + N 不可能是（ ）A360 B540 C720 D6300000ACBD第 10题图【解题思路】本题主要对这条直线的位置进行讨论： 过对角线将矩形分成两三角形则 A可能
9、，过一顶点但分成一三角形和一四边形则 B可能，不过顶点而分成两四边形则 C可能，故选 D. 【答案】D【点评】本题主要考查分类讨论思想和多边形的内角和公式，解决本题的关键是思考直线所在位置，难度中等. 4. （2011 湖北襄阳，10，3 分）若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形 ABCD 一定是（ ）A菱形 B对角线互相垂直的四边形C矩形 D对角线相等的四边形【解题思路】若四边形 ABCD 是菱形，则得到矩形；若四边形 ABCD 是对角线互相垂直的四边形，则得到矩形；若四边形 ABCD 是矩形，则得到菱形；若四边形 ABCD 是对角线相等的四边形，则得到菱形A ，
10、B 不合要求，C 具有局限性，唯有 D 全面、准确【答案】D【点评】本题考查特殊的平行四边形若把顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形称为中点四边形，可知任意四边形的中点四边形的形状只与原四边形的对角线之间的/ 194数量关系和位置关系有关，而与原四边形的边、角无关解答这类问题一定要抓住这一本质特征，如此例就不要以偏概全而错选 C难度中等5. （2011 广东清远，10，3 分）如图，若要使平行四边形 ABCD成为菱形，则需要添加的条件是（ ）A. B. C. D. ABCDABABACBD【解题思路】“A”、“B”选项的内容为平行四边形的性质内容，不合题意。根据菱形的定义：一组邻边相
11、等的平行四边形为菱形，可得“C” 正确。“D”为矩形的判定方法【答案】C【点评】本题考查了菱形中根据定义来判定的方法。难度中等。6（2011 四川眉山，6，3 分）下列命题中，假命题是A矩形的对角线相等B有两个角相等的梯形是等腰梯形C对角线互相垂直的矩形是正方形D菱形的面积等于两条对角线乘积的一半【解题思路】分别根据矩形的性质、等腰梯形的判定定理、正方形的判定及菱形的性质对各选项进行逐一判断即可A对角线相等是矩形的性质，故本选项正确；B直角梯形中有两个角相等但不是等腰梯形，故本选项错误；C符合正方形的判定定理，故本选项正确；D符合菱形的性质，故本选项正确【答案】B【点评】本题考查的是命题与定理
12、，熟知矩形的性质、等腰梯形的判定定理、正方形的判定及菱形的性质是解答此题的关键难度较小1. （2011 台北 31）如图(十三)，将长方形 ABCD分割成 1个灰色长方形与 148个面积相等的小正方形。根据右图，若灰色长方形之长与宽的比为 5：3，则 ： ？ADB(A) 5：3 (B) 7：5(C) 23：14 (D) 47：29【分析】：长方形 ABCD周围共有 148个面积相等的小正方形，所以先去掉四个顶点处的小正方形，还剩余 144个。灰色长方形之长与宽的比为 5：3，设灰色长方形之长边上有 5x个小正方形、宽边上有 3x个小正方形，2（5x+3 小）=144，得 x=9 , AD 边有
13、正方形，AB 边有正方形47295293ODCBA【答案】：D 【点评】：由于小正方形的面积相等，将 AD:AB就转化为边上正方形的个数比。难度较大2. （ 2011 年 湖 北 省 武 汉 市 3 分 ） 如 图 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， AB=BD， 点 E， F 分别 在 AB， AD 上 ， 且 AE=DF.连 接 BF 与 DE 相 交 于 点 G， 连 接 CG 与 BD 相 交 于 点H.下 列 结 论 ： AED DFB； S 四 边 形 BCDG= CG2；43 若 AF=2DF， 则 BG=6GF.其 中 正 确 的 结 论只 有 . B.只 有 .C.只 有 .
14、D. . 分 析 ： 菱 形 的 性 质 .答 案 ： D点 评 ： 本 题 属 于 中 度 题 。 主 要 考 察 菱 形 的 性 质 和 三 角 形 全 等 的 性 质7（2011 四川广安，7，3 分）下列命题中，正确的是（ ） A过一点作已知直线的平行线有一条且只有一条B对角线相等的四边形是矩形C两条边及一个角对应相等的两个三角形全等 D位似图形一定是相似图形【解题思路】选项 A，分点在直线上和点在直线外两种情况，故错误，选项 B,对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形等。选项 C，指代不明，无法判断。选项 D 正确。位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。【答案】D【
15、点评】本题主要考察概念的区别，应用公理的前提条件。中等题。二、填空题1.（2011 湖南长沙，16，3 分）菱形的两条对角线的长分别是 6cm 和 8cm，则菱形的周长是_ cm.【解题思路】只要求出菱形的边长，可以求出周长.根据菱形对角线互相垂直平分，分出的四个全等直角三角形的斜边就是菱形的边长.即由勾股定理得 =5（cm ）.243【答案】20 【点评】本题考查了特殊四边形-菱形性质应用，同时也考查了勾股定理运用.矩形、菱形、正方形是中考必考内容.本题难度较小.3. （2011 湖北鄂州，5，3 分）如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8 ，则图中五个小矩形的周长之和为_【解
16、题思路】由矩形性质可知B=90，对角线 AC=10，BC=8 可运用勾股定理得AC=6；再利用平移的知识将每个小矩形的边分别上、下、左、右平移即可发现 5 个小矩形A BCDEFGH第 12 题图AB CD第 5 题图/ 196的周长之和是矩形 ABCD 的周长=（6+8 ）2=28。【答案】28【点评】本题考查勾股定理和平移的知识，体现图形变换的数学问题，涉及操作与知识相结合。学生比较容易发现，从而求解。难度较小1. （2011 甘肃兰州，20，4 分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为 1，则第
17、 n 个矩形的面积为 .【解题思路】已知第一个矩形的面积为 1；第二个矩形的面积为原来的 = ；第三21()4个矩形的面积是 = ；故第 n 个矩形的面积为： 231()62()n【答案】 .n【点评】本题是一道找规律的题目，主要考查的知识点矩形的性质；菱形的性质对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的难度中等.2.2. （2011 湖北孝感，16，3 分）已知正方形 ABCD，以 CD为边作等边CDE，则AED 的度数是_.【解题思路】由于没有画图，要注意多解性.即当点 E 在正方形外和在其内. 当点 E 在正方形外,易知ADE 是等腰三角形,且ADE =90+60
18、=150,故AED=15. 当点 E 在正方形内,易知ADE 是等腰三角形,且ADE =90-60 =30,故AED=75.EEBDCA【答案】15或 75.【点评】主要考查正方形，等边三角形，等腰三角形中有关角之间的关系.考试时由于时间紧,情绪紧张,可能出现掉一种情况的现象.难度中等2011江苏省淮安市， 17， 3 分）在四边形 ABCD中，AB=DC，AD=BC，请再添加一个条件，使四边形 ABCD是矩形，你添加的条件是 (写出一种即可)【解题思路】由四边形 ABCD的两组对边 AB=DC，AD=BC 知：四边形 ABCD是平行四边形，而“有一个角是直角或对角线相等”的平行四边形的矩形，
19、故可填的条件是：四边形ABCD内有一个直角或 AC=BD。【答案】答案不唯一，如A=90或 AC=BD，等。【点评】本例考查平行四边形和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形和矩形的判定方法，及其相互关系。难度的较小。（2011 江苏南京，2 分）如图，菱形 ABCD 的连长是 2 ，E 是 AB 中点，且 DEAB ，则菱形 ABCD 的面积为_ 2【解题思路】此题无图，无法解析。【答案】 23【点评】17（2011 四川绵阳 17，4）如图，将长 8cm，宽 4cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A与 C 重合，则折痕 EF 的长为_cm【解题思路】方法一：如图，作 FGAB 于
20、G由折叠的性质知，CEAE ，DF DF，CDCB4，AEFCEF，又CDAB，CFEAEF CFECEFCFCE在 RtCDF 中，设DF DFx，则 CF8x， DF2+DC2CF 2，即 x2+42(8x) 2， x3，8x5，即DF DF3cm ，CF CEAE5cmFGAB，四边形 ADFG 是矩形 AGDF3cm，FG AD4cm在 RtEGF 中，GE2+FG2EF 2， EF cm245方法二：连接 AC，交 EF 于 O由折叠知，ACEF，AOCO在 RtABC 中，AB8cm，BC 4cm ，AB 2+BC2AC 2，AC ，AO OC 由284525(第 12 题 )BA
21、DCE/ 198折叠的性质知，CEAE，DFDF，CD CB4，AEF CEF，又CDAB，CFEAEFCFECEFCFCE在 RtCDF 中，设DFDFx，则 CF8x， DF2+DC2CF 2，即 x2+42(8x) 2， x3，8x5，即DFDF3cm ，CF CEAE5cmS CEF CFBC EFOC，即1EF 45，EF cm255【答案】 25【点评】本题主要考查了矩形的有关计算，矩形的折叠，得到直角三角形和等腰三角形，然后由勾股定理构造方程，即可求解1. （2011 四川内江，16，3 分）如图，点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中AD、BD、BC、 CA 中点，
22、当四边形 ABCD 至少满足_条件时，四边形 EFGH 是菱形. HG F E DC BA【思路分析】EF 是三角形 ABD 的中位线，所以 EF 平行且等于 AB 的一半，同理 HG平行且等于 AB 的一半，所以 EF、HG 平行且相等，故四边形 EHGH 是平行四边形因为EF= AB，FG= CD，所以 EF =FG，所以四边形 EFGH 是菱形. 21【答案】AB=CD【点评】条件开放题解题思路往往是从题目的结论出发，结合条件综合分析推理而获得结果平行四边形再添加条件邻边相等或对角线互相垂直即菱形根据本题条件只能添加前者.4 （2011 四川内江，加 4，6 分）在直角坐标中，正方形A1
23、B1C1O1、A 2B2C2C1、A 3B3C3C2、AnBnCnCn- 1按如图所示的方式放置，其中点A1、A 2、A 3、 An 均在一次函数 y=kx+b 上，点 C 1、C 2、C 3、Cn 均在 x 轴上.若点,B 1的坐标为（1,1），点 B2的坐标为（3,2），则点 An 的坐标为 .BDCAE F(第 24题图)y=kx+bOA1A2A3 B3B2B1C1 C2 C3 xy【思路分析】解：由 B1的坐标为（1,1），点 B2 的坐标为（3,2），知 A1（0,1），A2（1,2 ），设直线解析式 y=kx+b,把 A1（0,1）， A 2（ 1,2）代入上式得， k=1,b=2
24、,yx1b1点 B2的坐标为（3,2），C 2的坐标为（3,0），把 x=3代入 yx1 得y=4,A 3的坐标为（ 3,4），同理得 A4的坐标为（7,8），A 5的坐标为（15,16）An的坐标为(2 n1 1, 2 n1 ) 【答案】(2 n1 1, 2 n1 ) 【点评】解答这类问题首先根据点在图像上求出前几个点的坐标，然后根据所出现的规律找到相应的公式，然后对公式进行验证1. （2011 贵州毕节,24,13 分) 已知梯形 ABCD中，ADBC，ABAD(如图所示)，BAD 的平分线 AE交 BC于点 E，连结 DE.(1) 在下图中，用尺规作BAD 的平分线 AE(保留作图痕迹不
25、写作法)，并证明四边形 ABED是菱形。(7 分)(2) 若ABC ，EC2BE.60求证：EDDC (6 分)【解题思路】(1)由作图知 ,已知 ADBC，得出ADEAEB,又已知 ABAD，得 ,再得四边形 ABED是平行四边,BEA D形，又 AB=AD,进一步得到四边形 ABED是菱形。（2）过 D作 DFAE,由ABC ，得 是等边三角形，又 ADBC，得四边形60B是平行四边形。 ,又已知 EC2BE，故得出FDF/ 1910ECFADBEDF21可证 是直角三角形。即 EDDC。C【答案】如图，证明：连结 ED,BAD 的平分线 AE交 BC于点 E ， ，ADBC ， ，BAE
26、DABD,BEAABAD， ，四边形 ABED是平行四边形，AB=AD,，四边形 ABED是菱形。过 D作 DFAE 交 EC于 F,ABC , 是等边三角形,60E,ADBC，DFAE四边形 是平行四边形 ,BEAAFAE=DF=BE,EC2BE,DF=EF=FC, 是直角三角形,EDDC.DC【点评】本题考查学生的尺规作图的动手能力和平行四边形的判定和性质，以及菱形的判定等知识点，第（2）小题考查利用矩形的特殊性质判断三角形是直角三角形。解决此类题目的是利用平行四边形的性质添加辅助线，再运用特殊四边形的性质解答。难度中等。2. （2011 甘肃兰州，27，12 分）已知：如图所示的一张矩形
27、纸片 ABCD(ADAB)，将纸片折叠一次，使点 A与点 C重合，再展开，折痕 EF交 AD边于点 E，交 BC边于点 F，分别连结 AF和 CE.（1）求证：四边形 AFCE是菱形；（2）若 AE=10cm，ABF 的面积为 24 ，求ABF 的周长；2cm（3）在线段 AC上是否存在一点 P，使得 ？若存在，请说明点 P 的位置，AECP并予以证明；若不存在，请说明理由.AB CDEFO【解题思路】（1）由折叠的性质知：EF 垂直平分 AC，然后可通过证AOECOF 来得到AO=OC，从而根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形来得到所求的结论（2）由（1）的结论易求得 AE=AF=10cm，
28、因此只需求得 AB+BF即可求得ABF 的周长，可设 AB=a、BF=b，在 RtABF 中，根据勾股定理和ABF 的面积即可求得 a+b的值，由此得解（3）过 E作 EPAD 交 AC于 P，则 P就是所求的点，首先证明四边形 AFCE是菱形，然后根据题干条件证明AOEAEP，列出关系式【答案】：（1）连接 EF交 AC与 O，当顶点 A与 C重合时，折痕 EF垂直平分 AC，OA=OC，AOE=COF=90；在平行四边形 ABCD中，ADBC，EAO=COF，EAOCOF，OE=OF，四边形 AFCE是菱形四边形 AECF是菱形, AFAE10cm.设 AB，BF，ABF 的面积为 24c
29、m2ab100，ab48 (ab）196 14 或14（不合题意，舍去）ABF 的周长为1024cm.（3）存在，过点 E作 AD的垂线，交 AC于点 P，点 P就是符合条件的点证明：过 E作 EPAD 交 AC于 P，则 P就是所求的点当顶点 A与 C重合时，折痕 EF垂直平分 AC，OA=OC，AOE=COF=90，在平行四边形 ABCD中，ADBC，EAO=FCO，AOECOF，OE=OF四边形 AFCE是菱形AOE=90，又EAO=EAP，由作法得AEP=90，AOEAEP， ，则 AE2=A0AP，四边形 AFCE是菱形， ，AE2= ACAP，2AE2=ACAP【点评】此题主要考查
30、了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定以及勾股定理、翻折变换的折叠问题等知识的综合应用，还涉及到的知识点有全等三角形的判定与性质（2）题在求三角形周长时，要注意整体思想的运用难度较大.2. （2011贵州安顺，25，10分）如图，在ABC中，ACB=90 ，BC的垂直平分线DE 交BC于D，交AB于E ，F在DE上，且AF=CE=AE说明四边形ACEF是平行四边形；当B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由【解题思路】根据题意，结合图形，（1）要证四边形 ACEF 是平行四边形，已知AF=CE，只需证明 AFCE 或 EF = CA 即可，易证AECEAF，ACEF 是平行
31、四边形即可得证。（2）若四边形 ACEF 是菱形，则 AC=CE，已知 AE=EC，所以AEC 是等边三角形，CAB=60则B=30。【答案】（1）证明：由题意知FDC =DCA = 90EFCA AEF = EACAF = CE = AE F = AEF =EAC = ECA 又AE = EAAECEAF，EF = CA，四边形 ACEF 是平行四边形 （2）当B=30时，四边形 ACEF 是菱形 / 1912理由是：B=30，ACB =90，AC = ，DE 垂直平分 BC， BE=CEAB21又AE=CE，CE= ，AC=CE，四边形 ACEF 是菱形AB21【点评】本题主要考查平行四边
32、形的判定，涉及平行四边形、菱形、等边三角形等知识，此题关键在于对判定方法的灵活应用。难度较小。3. (2011 江苏镇江，23，7 分) 已知：如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，BC CD，ADBD，E 为 AB 的中点求证：四边形 BCDE 是菱形ED CBA【解题思路】由直角三角形的性质可知 DEBE，接下来可先证四边形 BCDE 是平行四边形，然后再证它是菱形，也可用三角形全等证四边形 BCDE 的四边相等【答案】证明：ADBD，ADB90 又 E 为 AB 中点，DE AE，BE AB，DEBE1212DBEEDB又 ABCD，BDCEDBBC CD，DBCBDCDBCEDBBCD
33、E EBCD ，四边形 BCDE 是平行四边形 BC CD，四边形 BCDE 是菱形【点评】此题考查直角三角形的性质、平行线的性质、菱形的判定等知识，难度中等5 （2010 四川内江，加 5，12 分）阅读理解：同学们，我们曾经研究过 nn 正方形网格，得到网格中正方形总个数的表达式为12+22+32+n2，但 n=100 时如何计算正方形总个数呢？下面我们就一起来探索并解决这个问题首先通过探究我们知道 01+12+23+(n-1)n=,我们可以这样做：)1(3n）（1）观察并猜想：12+22=（1+0 ）1+ （1+1）2=1+01+2+12=（1+2）+(01+12)12+22+32=（1
34、+0）1+（1+1）2+(1+2)3=1+01+2+12+3+2 3=（1+2+3）+(01+12+23)12+22+32+42=（1+0）1+（1+1）2+(1+2)3+_=1+01+2+12+3+23+_=（）+_.（2）归纳结论12+22+32+n2=（1+0 ）1+（1+1）2+(1+2)3+.+1+(n-1) n=1+01+2+12+3+23+n+(n-1) n=( )+_=_+_= _61（3）实践应用通过以上探究过程，我们可以算出当 n=100 时，正方形网格中正方形总个数是_.【思路分析】通过提供材料求 12+22+32+n2值的方法是首先将其转化为（1+0）1+（ 1+1）2
35、+(1+2)3+.+1+( n-1) n，再分解结合为（1+2+3+4+.+n）+01+12+23+34+(n-1)n，最后根据已有知识及提供公式01+12+23+(n-1)n= 合并为 )1(3）（ 6)12(【答案】解：（1）观察并猜想：（1+3）4 （01+12+23+34）（2）归纳结论（1+2+3+4+.+n）+01+12+23+34+(n-1)n、(1+n)n+ 、 )1(3n）（ 6)12(n（3）338350.【点评】规律性探究问题通常指根据给出的材料，观察其中的规律，再运用这种规律解决问题的一类题型. 观察的三种主要途径：（1）、式与数的特征观察；（2）、式与数的分解过程观察
36、；（3）、转化合并推广到一般情况三、解答题25（2011 四川眉山，25，9 分）如图，点 P 是菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点，连接CP 并延长，交 AD 于 E，交 BA 的延长线于 F（1）求证：DCP=DAP；（2）若 AB=2，DP：PB=1：2，且 PABF，求对角线 BD 的长【解题思路】（1）根据菱形的性质得 CD=AD，CDP=ADP，证明CDP/ 1914ADP 即可；（2 ）由菱形的性质得 CDBA，可证CPDFPB，利用相似比，结合已知 DP：PB=1 ：2 ，CD=BA，可证 A 为 BF 的中点，又 PABF，从而得出 PB=PF，已证PA=CP，把问题转化
37、到 RtPAB 中，由勾股定理，列方程求解【答案】（1）证明：四边形 ABCD 为菱形，CD=AD，CDP= ADP ，CDPADP，DCP= DAP； （2）解：四边形 ABCD 为菱形，CDBA，CD=BA ，CPDFPB， ，21PFCBDCD= BF，CP= PF，21A 为 BF 的中点，又PABF，PB=PF，由（1）可知，PA=CP ，PA= PB，2在 RtPAB 中，PB2=22+（ PB） 2，解得 PB= ，34则 PD= ，BD=PB+PD= 2【点评】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，菱形的性质及勾股定理的运用关键是运用方程的思想，利用相似和勾股定理，列出
38、关于 PB 的方程难度较大22（2011 年河南，22，10 分）如图，在 RtABC 中，B90，BC5 ，C 30.点3D 从点 C 出发沿 CA 方向以每秒 2 个单位长的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A出发沿 AB 方向以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点 D、E 运动的时间是 t 秒（t0）过点 D 作 DFBC于点 F，连接 DE、EF （1）求证：AEDF ；（2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，说明理由.（3）当 t 为何值时，DEF 为直角三角形？请说明理由.【解题
39、思路】（1）在DFC 中，DFC=90，C=30 ，由已知条件可以证明；（2）先证明四边形 AEFD 是平行四边形，再证明一组邻边相等即可，可令ADAE；（3） DEF 为直角三角形，则共有三种情况，即 DEF90，EDF90和DFE90【解】（1）在DFC 中，DFC90，C 30，DC2t，DFt.又AEt，AE DF（2）能.理由如下：ABBC，DFBC，AEDF.又 AEDF ，四边形 AEFD 为平行四边形.ABBCtan30 35,210.ACBADACDC102t若使AEFD 为菱形，则需 AEAD，t102t，即 t 3即当 时，四边形 AEFD 为菱形103t（3）EDF90
40、时，四边形 EBFD 为矩形. 在 Rt AED 中，ADEC30 ，AD 2AE.即 102t2t， .5tDEF90时，由（2）知 EFAD ，ADE DEF90.A90 C60 ，ADAEcos60.即 10,4.tEFD90时，此种情况不存在 .综上所述，当 或 4 时，DEF 为直角三角形25t【点评】本题考查了平行四边形的判定定理、菱形的判定定理，以及矩形的判定定理分类讨论是解题的关键 20（2011 年内蒙古呼和浩特，20，7）如图，四边形 ABCD 是正方形,点 E 是边 BC 的中点且AEF=90, EF 交正方形外角平分线 CF 于点 F,取边 AB 的中点 G,连接 EG
41、.(1)求证:EG =CF；(2)将ECF 绕点 E 逆时针旋转 90,请在图中直接画出旋转后的图形,并指出旋转后 CF与 EG 的位置关系.AB CDEFG/ 1916【解题思路】(1)要证两线段相等,可以去寻找两线段所在的两个三角形全等 ,即AGEECF.(2)画旋转后的图形,关键看旋转前后的对应边与对应顶点的位置,要注意旋转的方向与角度.【答案】(1)证明: 正方形 ABCD点 G,E 为边 AB、BC 中点AG= EC (1 分)又CF 为正方形外角平分线且AEF =90,BG=BEAGE=E(2 分)GAE=FEC (3 分)AGEECF (4 分)EG= CF (5 分)(2)如图
42、所示 (6 分)旋转后 CF 与 EG 平行 (7 分)【点评】本题来源于课本,是教材的改编题,背景公平,学生不陌生,能让学生正常发挥自己的水平.试题考查了全等三角形的判定与性质、旋转、两直线平行的判定等知识.利用两三角形全等后的对应边相等与对应角相等,是解决本题的关键.难度中等.23 （2011 四川广安，23，8 分）如图 5 所示，在菱形 ABCD 中，ABC= 60，DEAC 交 BC 的延长线于点 E求证：DE = BE12EDCBA【解题思路】本题先利用菱形定义证明相等的线段，再利用平行四边形对边相等的性质的到相等的线段。【答案】证明：ABCD 是菱形，ABC= 60BC=AC=A
43、D又DEAC ACED 为平行四边形CE=AD=BC DE=AC DE=CE=BCB CDEFG CA(F )图 5DE= BE12【点评】本题主要考察菱形和平行四边形的性质20（2011 四川乐山，20，10 分）如图（11），E、F 分别是矩形 ABCD 的对角线 AC 和BD 上的点，且 AE=DF。求证：BE=CF【解题思路】：根据矩形的性质：矩形的对边平行且相等，邻边互相垂直，对角线相等且互相平分，推出边与角的关系，证得ABE 与 DCF 全等，得出结论：BE=CF 。【答案】证明：四边形 ABCD 是矩形，AB=CD,OA=OB，CAD=BDA, BAC=BDC, 又AE=DF，A
44、BEDCF(SAS),BE=CF.【点评】本题是对平面几何推理证明的考查，证明两条线段相等或两角相等，常用的方法就是先证得三角形全等，利用全等形的性质，推出结论。本 题 难度中等。（2011 江苏南京，7 分）如图，将 ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CE=DC，连接 AE，交 BC 于点 F求证：ABFECF若AFC=2 D，连接 AC、BE 求证：四边形ABEC 是矩形【解题思路】（）证明两个三角形全等的关键是根据所学的 SSS，SAS。AAS ，ASA，HL 等去证明，结果本题，可以看出有一组边对应相等，所以可以考虑用 AAS 或ASA。（）证明一个四边形是矩形时首先考虑证明它是
45、一个平行四边形，然后证明它的一个角是直角或是对角线相等即可。【答案】证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AB CD,AB=CD ABF= ECF.EC=DC, AB=EC 在ABF 和ECF 中， ABF= ECF， AFB= EFC，AB=EC ，ABF ECF（2）解法一：AB=EC ，AB EC，四边形 ABEC 是平行四边形AF=EF， BF=CFAB CDEF(第 21 题 )/ 1918四边形 ABCD 是平行四边形， ABC= D，又 AFC=2 D， AFC=2 ABC AFC= ABF+ BAF， ABF= BAFFA=FB FA=FE=FB=FC, AE=BC 口 ABEC 是矩形解法二：A
