1、【黄冈中考】备战 2012 年中考数学圆的有关性质的押轴题解析汇编二圆的有关性质5. （浙江省绍兴市，5，4 分）如图, AB 为O 的直径 ,点 C 在O 上,若C =16，则BOC 的度数是( )A. 74 B. 48 C. 32 D. 16【解题思路】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半.由同圆的半径相等，可得A =C =16，故BOC=2A =32.【答案】C【点评】本题主要考查同圆中圆周角和圆心角的关系，难度较小5. （2011 浙江，5，4 分）如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA,OB 在 O 点钉在一起，并使他们保持垂直，在测直径时，把 O 点靠
2、在圆周上，读得刻度 OE=8 个单位，0F=6 个单位，则圆的直径为（ ） A12 个单位 B10 个单位 C4 个单位 D15 个单位 【解题思路】：在一个圆中，90 的圆周角所对的弦就是圆的直径，连接 EF， 则 EF 就是圆的直径。答案 B【点评】本题检测圆周角与圆的直径的知识，难度较小。9（2011 浙江湖州，9，3 分）如图，已知 AB 是O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC=OB，CE 是O 的切线，切点为 D，过点 A 作AECE，垂足为 E，则 CD：DE 的值是A B1 C2 D321【解题思路】连接 OD，则 ODAE，于是 ， 本题选 COADE【答案】C【点评】本
3、题考查了切线的性质，即过切点的半径垂直于切线，也考查了相似形的性质本题难度中等8. （2011 浙江衢州，8,3 分）一个圆形人工湖如图所示，弦 AB 是湖上的一座桥，已知 AB长 100cm,测得圆周角ACB=45，则这个人工湖的直径 AD 为( )/ 112A. B. C. D.250210215020【解题思路】本题连接 BD，ACB=45，根据同弧所对的圆周角相等，可知ADB=45，又因为 AD 是直径，ABD=90，可得 ABD 为等腰直角三角形，根据勾股定理或三角函数可求的 AD 为【答案】B【点评】本题考查了圆的基本性质和勾股定理的应用，同弧所对的圆周角相等，以及直径所对的圆周角
4、为 90，并且利用了勾股定理或三角函数可求的斜边长.难度中等.15（2011，天津，15，3 分）如图，AD、AC 分别是O 的直径和弦，且CAD=30 ，OBAD，交 AC 于点 B，若 OB=5，则 BC 的长等于 【解题思路】：连 CD，则ACD=90；可结合勾股定理、30角所对直角边等于斜边的一半、直角三角形边角关系（锐角三角函数），先求出 AC，AB，再利用 BC=ACAB；【答案】：5【点评】：本题考察了直角三角形的判定（直径所对圆周角是直角）和性质（勾股定理、30角所对直角边等于斜边的一半），也可运用相似三角形知识。难度中等。16(2011 河北省)如图 7，点 O 为优弧 AC
5、B 所在圆的圆心， AOC108，点 D 在 AB的延长线上，BDBC，则D _.【分析与解】根据圆周角定理可知ABC54，又BDBC，ABC2D27【点评】本题属于中等题，通过圆周角定理、等腰三角形的性质、外角定理的考查，培养学生简单的推理计算能力（2011 海南省，13，3 分）13、如图 3，在以 AB 为直径的半圆 O 中，C 是它的中点，若AC=2，则ABC 的面积是（ ）A、15 B、2 C、3 D、4A BCDO图 7OCBA【解题思路】由圆周角定理可知：C= ，而点 C 是半圆的中点可知：AC=BC ，故09ABC 是等腰直角三角形，所以： 12ABCS【答案】B【点评】本题主
6、要考查圆周角定理和圆中：弧、线段、圆周（圆心）角、弦心距之间的相互转化，即：“一等则三等”。 难度中等。9（2011 内蒙古乌兰察布，9，3 分）如图， AB 为 O 的直径， CD 为弦， AB CD ，如果BOC = 70 ，那么A 的度数为（ 0） A70 B30 C35 D 200000【解题思路】连接 OD,由垂径定理得弧 BC 等于弧 BD,再由“同圆中等弧所对的圆心角相等”得BODBOC70，最后由“同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半”，得A= BOD =35故选 C21【答案】C【点评】本题主要考查垂径定理及圆周角定理，是圆中典型的角度计算问题的综合，解决本题的关键是理解掌握
7、圆中的垂径定理及圆周角定理，难度中等.9.(2011 内蒙古呼和浩特,9,3 分)如图所示,四边形 ABCD 中, DC AB,BC=1,AB=AC=AD=2.则BD 的长为( )A. B. C. D.1415323【解题思路】由 AB=AC=AD=2 得,当以点 为圆心, 长为半径作圆, 必ABA经过 ,作直径 ,连接 ,由 DC AB 得 ,从而得CDEBDEC到 ,在 中,由勾股定理可求出 的长.RtD【答案】B【点评】构造圆是本题的亮点和难点,到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,定长为半径的圆,利用直径对直角构造直角三角形,丰富了试题的载体,难度较大.6（2011 四川乐山，
8、6，3 分）如图（3），CD 是O 的弦，直径 AB 过 CD 的中点 M，若BOC=40，则ABD=A BCD ACBE图 4图 5/ 114NMBA(A) 40 (B) 60 （C）70 （D）80【解题思路】：根据图（3）可得：CD 是O 的弦，直径 AB 过 CD 的中点M，ABCD, = ,又BOC=40，CDB=20 0，ABD,90 0-200=700.故 C 正BCD确。【答案】C。【点评】本题是对垂径定理及圆心角与圆周角关系定理的考查，解决本题的关键是分析图形，确定垂直、平分关系，找准同弧或等弧所对的圆心角和圆周角，利 用 定 理 列 出 关 系 式 ，代 值 计 算 。 本
9、 题 难度中等。1. （2011 四川内江，9， 3 分）如图O 是ABC 的外接圆， BAC=60，若圆 O的半径 OC 是 2，则弦 BC 的长是（ ）A1 B C2 D2 3 OCBA【思路分析】由BAC=60，得O=120作 ODBC 于 D，有垂径定理知BD=CD，在 RtOBD 中由勾股定理得：BD= ，所以 BC= 33【答案】D【点评】求圆的弦长是圆中常见的计算题，基本方法是构造以半径为斜边，半弦长、弦心距为直角边的直角三角形，利用勾股定理求出9.（2011 年四川省南充市 9 题 3 分）9.在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽 AB为 6 分米，如果再注入一些油 后，
10、油面 AB 上升 1 分米，油面宽变为 8 分米，圆柱形油槽直径 MN 为（ ）（A）6 分米 （B）8 分米 （C）10 分米 （D）12 分米【解题思路】在解决有关弦的问题时，通常作垂直于弦的直径或过圆心向弦作垂线段，再过弦的一个端点作半径，构成一个直角三角形利用垂径定理和勾股定理解决问题。若弦心距为 d,半径为 r，弦长为 a，则有2adr【答案】C【点评】本题关键在于熟练常见的辅助线的作法，善于分解基本图形。1.（山东临沂 第 6 题 3 分）如图，O 的直径 CD5cm，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M,OMOD35,则 AB 的长是（）A.2cm B.3cm C.4cm D.
11、2 cm21解题思路：O 的直径 CD5cm，半径 OD=2.5cm,由 OMOD35,求得 OM=1.5cm，连接OA，有勾股定理得 AM= ,根据垂径定理得 AB=2AM=4cm,故选 C.25.12解答：选 C.点评：本题考查了垂径定理和勾股定理等知识.涉及垂径定理的问题通常都是连接半径，构造直角三角形，以便于运用勾股定理来求解.本题难度较小.7（2011 山东枣庄，7,3 分）如图， 是 的切线，切点为PAOA，PA=2 , APO=30，则 的半径为3A.1 B. 3C.2 D.4【解题思路】直接求解对照法，首先见切点连半径，得到直角三角形 AOP，由于APO=30，所以 OP=2O
12、A，设 的半径为 r，由勾股定理得：4r 2-r2=（2 ） 2，解得O 3r=2，故选 C【答案】C【点评】本题主要考查了圆的切线的性质与勾股定理得理解与应用，解题的关键是连接半径得到直角三角形，然后利用勾股定理列出方程，难度中等10（2011 山东泰安，10 ，3 分）如图，O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，若 AB= ，则6O 的半径为 （ ）AMBCD OOPA第 7 题图/ 116OCBAA. B.2 C. D.2 2【解题思路】如图，设O 的半径为 r，AB 与 OC 交于点 M，连接 OA，则 OA=OC= r. 21由于 ABOC，根据垂径定理可得 AM=BM= AB= .
13、因此在 RtOMA 中，216（ r） 2+（ ） 2=r2，解得 r= （舍去负值）.16 2MCOBA【答案】A 【点评】本题是利用垂径定理解题的基本图形，同时考查了勾股定理、方程思想与二次根式的计算等. 连接半径，构造直角三角形是解答与垂径定理有关试题常用辅助线之一. 难度中等.15.（山东省威，15,3 分）如图，O 的直径 AB 与弦 CD 交于点 E，若 AE=5，BE=1，CD=4，则AED= .2【解题思路】过点 O 作 OFCD 于 F，求出 OE、FE 的长，再解直角三角形，求出AED 的度数.【答案】30.【点评】本题涉及到相交弦定理，解直角三角形的相关内容.过点 O 作
14、 OFCD 于 F，由AEBE=CEDE,求得 CE=2 - ,EF=CF-23CE= ,OE=2，cosAED= = ,AED=30.难度较小.3OEFOEDCBA16. （2011 山东烟台，16,4 分）如图，ABC 的外心坐标是_.O xyBCA【解题思路】三角形的外心就是三角形外接圆的圆心，圆心到三角形各顶点的距离相等，所以只需作边 AB、BC 的垂直平分线即可。两条垂直平分线的焦点即是圆心。【答案】（2，1）【点评】了解外心的含义，并知道到线段两端点的距离相等的点就在线段的垂直平分线上是解决该题的关键。本题难度中等。19 （2011 四川广安，19，3 分）如图 3 所示，若 O
15、的半径为 13cm，点 是弦 上pAB一动点，且到圆心的最短距离为 5 cm，则弦 的长为_cmABPOBA【解题思路】由点 是弦 上一动点，且到圆心的最短距离为 5 cm，可知圆心 opA到弦 AB 的最小距离为 5 厘米，圆的半径为 13 厘米，根据垂径定理作 OCAB 于 C,连结OA,在 RtAOC 中，根据勾股定理知 AC= =12，所以 AB=2AC=24.2OC【答案】24【点评】本题主要考察勾股定理和垂径定理。14（2011 山东日照，14，5 分） 如图，在以 AB 为直径的半圆中，有一个边长为 1 的内接正方形 CDEF，则以 AC 和 BC 的长为两根的一元二次方程是 图
16、 3/ 118【解题思路】连接 OD，作 OHDE,所以 OH=1，HD= ，根据勾股定理可得：OD=21。所以 AC= - ，BC= - ,所以可得方程 x2- x+1=0 等。25)1(25155【答案】如：x 2- x+1=0；【点评】本题主要考察了圆与一元二次方程相结合的题目，培养了同学们的综合应用能力。难度中等。25.（满分 12 分）（2011 山东烟台，25,12 分）已知：AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 G，E 是直线AB 上一动点（不与点 A、B、 G 重合），直线 DE 交O 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点P.设O 的半径为 r.（1）如图 1，当点 E
17、在直径 AB 上时，试证明：OEOP r 2（2）当点 E 在 AB（或 BA）的延长线上时，以如图 2 点 E 的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，（1）中的结论是否成立？请说明理由.【解题思路】（1）待证是乘积式，首先转换成比例式，而后寻找两个三角形相似；（2）探究性试题探究的这一问，一般的思考方法就是按照前面的思路继续探究一下，就能考虑出来的。【答案】（1）证明：连接 FO 并延长交O 于 Q，连接 DQ.FQ 是O 直径，FDQ90.QFD Q90. CDAB ，PC90.QC，QFD P.FOEPOF，FOEPOF. .OE OPOF 2r 2.OEFP（2）解：（1）中
18、的结论成立.理由：如图 2，依题意画出图形，连接 FO 并延长交O 于A BCDEFP.OG（图 1）.ABCDE.OG（图 2）丁佩军M，连接 CM.FM 是O 直径，FCM90，MCFM90.CDAB ，ED90.MD，CFME. POFFOE，POFFOE. ，OE OPOF 2r 2. PFO【点评】此题就是运用三角形相似的性质和判定来解决的题目，解决的关键是基本方法（见乘积式化成比例式，而后证明三角形相似）熟练运用。本题属于中等难度。20（2011 浙江湖州，20，8 分）如图，已知 AB 是O 的直径，CDAB，垂足为E，AOC=60，OC=2（1）求 OE 和 CD 的长；（2）
19、求图中阴影部分的面积【解题思路】根据特殊角的三角形函数可求得 OE 的长 再由垂径定理可算得 CD 的长 用割补法可求得图中阴影部分的面积 也就是用半圆的面积减去直角三角形的面积 【答案】解：（1）在OCE 中，CEO=90 ，EOC=60 ，OC=2，OE= OC=1，2CE= .3OCOACD，CE=DE，CD= 32 3241CEABSC 321阴 影丁佩军/ 1110【点评】本题考查了解直角三角形以及垂径定理 ， 以及圆和三角形的面积计算 难度中等 20. （2011 浙江温州，20,8 分）（本题 8 分）如图，AB 是 的直径，弦 CDABOA于点 E，过点 B 作 的切线，交 AC 的延长线于点 F.已知 OA=3，AE=2，求OACD 的长；求 BF 的长.【解题思路】依题意，由切线性质，得 FB AB，由垂径定理知 CE=DE。【答案】解：连结 OC，在 RtOCE 中，2912CEO，CD AB, CD=2CE= 4（2）BF 是O 的切线，FB AB, CEFB, ACEAFB, ,ABF2,62BF【点评】求圆的弦长是圆中常见的计算题，基本方法是构造以半径为斜边，半弦长、弦心距为直角边的直角三角形，利用勾股定理求出，属于中档题本题求解方法较多，如本题（1）问，连结 BC,利用相似知识也可求解。
