1、第 42 章 学科结合与高中衔接问题一、选择题1. （2011 台湾全区，30）如图 (十三)，ABC 中，以 B 为圆心， 长为半径画弧，分别C交 、ACB于 D、E 两点，并连接 、 若A=30 ， ，则BDE 的度数为何？DEAA 45 B 525 C 675 D 75【答案】2. （2011贵州安顺，9，3分）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H 分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH设小正方形EFGH 的面积为y，AE=x. 则y关于x的函数图象大致是（ ）A B C D【答案】C3. （2011 河北，11，3 分）如图 4，在矩形中截取两个相同的圆作为圆
2、柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱设矩形的长和宽分别为 y 和 x，则 y 与x 的函数图象大致是（ ）图4xyxxyOxyOxyOo xyA B C D 【答案】A3. （2011 重庆市潼南,10,4 分） 如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是菱形，点 C 的坐标为（4,0），AOC= 60，垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度向右平移，设直线 l 与菱形 OABC 的两边分别交于点 M,N（点 M 在点 N 的上方），若OMN的面积为 S，直线 l 的运动时间为 t 秒（0t4）,则能大致反映 S 与 t
3、 的函数关系的图象是【答案】C4. （2011 台湾台北，23）如图(八) ，三边均不等长的 ，若在此三角形内找一点ABCO，使得 、 、 的面积均相等。判断下列作法何者正确？ABOCA 作中线 ，再取 的中点 O DAB 分别作中线 、 ，再取此两中线的交点 OBEC 分别作 、 的中垂线，再取此两中垂线的交点 OCD 分别作 、 的角平分线，再取此两角平分线的交点 O【答案】B二、填空题1.2. 3. 4. 5. 三、解答题10题 图 xyABCOMNlts234ts243ts243tsO243D1. (2011 重庆綦江，26，12 分 )在如图的直角坐标系中，已知点 A（1，0）；B（
4、0，2），将线段 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90至 AC 求点 C 的坐标； 若抛物线 经过点 C212axy求抛物线的解析式；在抛物线上是否存在点 P（点 C 除外）使 ABP 是以 AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】：解：(1)过点 C 作 CDx 轴，垂足为 D，在 ACD 和 BAO 中，由已知有 CAD BAO90,而 ABO BAO90CAD ABO， 又 CAD AOB90,且由已知有 CA AB， ACDBAO， CD OA1,AD BO2，点 C 的坐标为(3,1)(2)抛物线 经过点 C(3,1)， ,解得2
5、12axy 2312a1抛物线的解析式为 212xy解法一： i) 当 A 为直角顶点时 ，延长 CA 至点 ,使 ,则 是以1PABC1PAB 为直角边的等腰直角三角形,如果点 在抛物线上,则 满足条件,过点 作 轴, , 1P11Ex11E， 90, ，AE AD 2, CD1,DCEDAE1D可求得 的坐标为(1,1)，经检验 点在抛物线上,因此存在点 满足条件；1 P1Pii） 当 B 点为直角顶点时，过点 B 作直线 LBA，在直线 L 上分别取 ，得到以 AB 为直角边的AB32等腰直角 和等腰直角 ，作 y 轴，同理可证 2AP3ABF2 F2O BF OA1，可得点 的坐标为（
6、2，1），经检验 点在抛,2OFP2P物线上,因此存在点 满足条件同理可得点 的坐标为（ 2，3），经检验 点不在2 3 3抛物线上综上：抛物线上存在点 ( 1,1)， （2，1）两点，使得 和1P1AB2是以 AB 为直角边的等腰直角三角形解法二：（2）（如果有用下面解法的考生可以给满分）i) 当点 A 为直角顶点时,易求出直线 AC 的解析式为 21xy由 解之可得 (1,1) （已知点 C 除外）作 x 轴于 E,则212xy1PP1AE 2, 1, 由勾股定理有又AB , ， 是以 AB 为直角边的EP1 5AB11等腰三角形；ii）当 B 点为直角顶点时，过 B 作直线 LAC 交抛
7、物线于点 和点 ，易求出直线 L 的解2P3析式为 ，由 解得 或21xy212xy142x (2,1) ， （4，4）作 y 轴于 F，同理可求得2P3PABP52 是以 AB 为直角边的等腰三角形作 y 轴于 H，可求得ABP2 P3，Rt 不是等腰直角三角形，点 不满足条件AB543 3P综上：抛物线上存在点 ( 1,1)， （2，1）两点，使得 和 是以角1 1AB2AB 为直边的等腰直角三角形2. （2011 广东省，22，9 分）如图，抛物线 与 y 轴交于点 A，过点 A25714yx的直线与抛物线交于另一点 B，过点 B 作 BCx 轴，垂足为点 C（3，0）.（1）求直线 A
8、B 的函数关系式；（2）动点 P 在线段 OC 上，从原点 O 出发以每钞一个单位的速度向 C 移动，过点 P 作x 轴，交直线 AB 于点 M，抛物线于点 N，设点 P 移动的时间为 t 秒，MN 的长为 s 个单位，求 s 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点 P 与点 O，点 G 重合的情况），连接 CM，BN ，当 t 为何值时，四边形 BCMN 为平等四边形？问对于所求的 t 的值，平行四边形 BCMN 是否为菱形？说明理由.【解】（1）把 x=0 代入 ，得25174yx1y把 x=3 代入 ，得 ，5A、B 两点的坐标分别（0，1）、（3
9、， ）2设直线 AB 的解析式为 ，代入 A、B 的坐标，得ykxb，解得1532bk12bk所以， yx（2）把 x=t 分别代入到 和12yx25174yx分别得到点 M、N 的纵坐标为 和ttMN= -（ ）=25174t12即 s点 P 在线段 OC 上移动，0t3.(3)在四边形 BCMN 中，BCMN当 BC=MN 时，四边形 BCMN 即为平行四边形由 ，得2514t12,t即当 时，四边形 BCMN 为平行四边形或当 时，PC=2，PM= ，PN=4，由勾股定理求得 CM=BN= ,t352此时 BC=CM=MN=BN，平行四边形 BCMN 为菱形；当 时，PC=1，PM=2，
10、由勾股定理求得 CM= ,2t此时 BCCM，平行四边形 BCMN 不是菱形；所以，当 时，平行四边形 BCMN 为菱形1t3. （2011 湖南怀化，24，10 分）在矩形 AOBC 中，OB=6，OA=4，分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴和 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边 BC 上的一个动点（不与 B，C重合），过 F 点的反比例函数 的图像与 AC 边交于点 E.)0(kxy（1） 求证：AEAO=BFBO；（2） 若点 E 的坐标为（2，4），求经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式；（3） 是否存在这样的点 F，使得将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB
11、 上？若存在，求出此时的 OF 长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明：由题意知，点 E、F 均在反比例函数 图像上，且在第一象限，所以)0(kxyAEAO=k，BFBO=k，从而 AEAO=BFBO.(2)将点 E 的坐标为（2，4）代入反比例函数 得 k=8，)(所以反比例函数的解析式为 .xy8OB=6，当 x=6 时，y= ，点 F 的坐标为（6， ） .3434设过点 O、E、F 三点的二次函数表达式为 ，将点 O（0，0），)(2acbxyE（2、4），F（6， ）三点的坐标代入表达式得：解得3463240cba09264cba经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式为： .x
12、y9264(1) 如图 11，将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 边于点 C.过点 E 作 EHOB于点 H.设 CE=n，CF=m ，则 AE=6-n，BF=4-m由（1）得 AEAO=BFBO (6-n)4=(4-m)6 ,解得 n=1.5m.由折叠可知，CF=CF=m，CE=CE=1.5m，ECF=C=90在 Rt EHC中，ECH+ CEH=90，又ECH+ECF+FCB=180 ，ECF=90 CEH=FCB EHC=CBF=90ECHCFB ， FCEBH ，5.1.mFCEBH由四边形 AEHO 为矩形可得 EH=AO=4 CB= .38在 Rt BCF 中，由勾股
13、定理得，CF 2=BF2+CB2，即 m2=(4-m)2+ 38解得：m= 926BF=4- = ,10在 Rt BOF 中，由勾股定理得，OF 2=BF2+OB2，即 OF2=62+ = .910836OF= 97542存在这样的点 F，OF= ,使得将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上.975424. （2011 江苏淮安， 28，12 分）如图，在 RtABC 中，C=90，AC=8，BC=6，点 P 在AB 上，AP= 2.点 E、 F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、 PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点A、 B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立即以原速度沿 A
14、B 向点 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止.在点 E、 F 运动过程中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与 ABC在线段 AB 的同侧，设 E、 F 运动的时间为 t 秒（t0），正方形 EFGH 与ABC 重叠部分面积为 S.(1)当 t=1 时，正方形 EFGH 的边长是 ；当 t=3 时，正方形 EFGH 的边长是 ；(2)当 0t2 时，求 S 与 t 的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中，当 t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？A BCH GPE F【答案】(1)2；6；(2) 当 0t 时（如图），求 S 与 t 的函数关系式是：S=
15、=(2t)2=4t2；1 EFGHS形 A BCH GPEF当 t 时（如图），求 S 与 t 的函数关系式是： S= -S HMN=4t2-615 EFGH形 2t- (2-t) 2 = t2+ t- ；435413当 t2 时（如图），求 S 与 t 的函数关系式是：S= S ARF -S AQE = (2+t) 2 -65 134 (2-t) 2=3t.14(3)由（2）知：若 0t ，则当 t= 时 S 最大，其最大值 S= ；611142若 t ，则当 t= 时 S 最大，其最大值 S= ；585若 t2，则当 t=2 时 S 最大，其最大值 S=6.综上所述，当 t=2 时 S 最
16、大，最大面积是 6.5. （2011 山东临沂，26，13 分)如图，已知抛物线经过 A（2，0），B （3，3）及原点 O，顶点为 C（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在抛物线上，点 E 在抛物线的对称轴上，且以 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点 D 的坐标；（3）P 是抛物线上第一象限内的动点，过点 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P使得以点 P、M、A 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）抛物线过原点 O，可设抛物线的解析式为 yax 2bx，将 A（2， 0），B（3，3）代入，得.ba94 ，解得
17、.2b1a ，此抛物线的解析式为 yx 22x（3 分）（2）如图，当 AO 为边时，以 A、O、D、E 为顶点的四边形是平行四边形，DEAO，且 DEAO2，（ 4 分）点 E 在对称轴 x1 上，点 D 的横坐标为 1 或3，（ 5 分）即符合条件的点 D 有两个，分别记为：D 1，D 2，而当 x1 时，y3；当 x3 时，y3，D 1（1，3），D 2（3，3）（7 分）当 AO 为对角线时，则 DE 与 AO 互相平分，又点 E 在对称轴上，且线段 AO 的中点横坐标为1，由对称性知，符合条件的点 D 只有一个，即顶点 C（1，,1），综上所述，符合条件的点 D 共有三个，分别为 D
18、1（1，3），D2（3，3），C（1，,1）（8 分）存在（9 分）6. （2011 上海，24，12 分）已知平面直角坐标系 xOy（如图），一次函数 的图34yx像与 y 轴交于点 A，点 M 在正比例函数 的图像上，且 MO=MA二次函数32yxy=x2bxc 的图像经过点 A、M （1）求线段 AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点 B 在 y 轴上，且位于点 A 下方，点 C 在上述二次函数的图像上，点 D 在一次函数 的图像上，且四边形 ABCD 是菱形，求点 C 的坐标34yx【答案】（1）一次函数 ，当 x=0 时，y=3所以点 A 的坐标为（0，3）34y正比
19、例函数 ，当 y = 时，x=1所以点 M 的坐标为（1， ）2yx 2如下图，AM= 2313（2）将点 A（0，3）、M（ 1， ）代入 y=x2bxc 中，得312cb， 解得53c，即这个二次函数的解析式为 253yx（3）设 B(0，m)（m0)是直线 y=x上的一个动点，Q 是 OP 的中点，以 PQ 为斜边按图（15.2）所示构造等腰直角三角形 PRQ.当PBR 与直线 CD 有公共点时,求 x 的取值范围；在的条件下，记 PBR 与 COD 的公共部分的面积为 S.求 S 关于 x 的函数关系式，并求 S 的最大值。【答案】解：.设以 A(1,5)为顶点的二次函数解析式为 51
20、2xay 的图像经过了点 B(5,5)512xay 解得)( 41a 42xy即： 91.如图，作点 A 关于 y 轴对称点 ,与 y 轴交与点 D,作点 B 关于 x 轴对称点 ,与 x 轴交与AB点 C,连接 AD,AC,CB,BA.四边形 ABCD 的周长最小。A(1,5),B(5,1) 15, ， B DACACD四 边 形2106415152222.如图 15, ， BA直线 AB 的解析式为 4xy直线 与直线 的交点4xy2,M ，点 Q 为 OP 的中点P, 2,yxPBR 与直线 CD 有公共点， 2,M ，即2x4x8. （2011 湖北黄冈，24，14 分）如图所示，过点
21、 F（0，1）的直线 y=kxb 与抛物线交于 M（x 1，y 1）和 N（x 2，y 2）两点（其中 x10，x 20）214y求 b 的值求 x1x2 的值分别过 M、N 作直线 l：y=1 的垂线，垂足分别是 M1、N 1，判断M 1FN1 的形状，并证明你的结论对于过点 F 的任意直线 MN，是否存在一条定直线 m，使 m 与以 MN 为直径的圆相切如果有，请法度出这条直线 m 的解析式；如果没有，请说明理由FMNN1M1 F1Oyxl第 24 题图【答案】解：b=1显然 和 是方程组 的两组解，解方程组消元得1xy2xy214ykx，依据“根与系数关系”得 =42104k12xAFM
22、NN1M1 F1Oyxl第 24 题解答用图PQM 1FN1 是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知 M1 的横坐标为 x1，N 1 的横坐标为 x2，设 M1N1 交 y 轴于 F1，则F1M1F1N1= x1x2=4，而 FF1=2，所以 F1M1F1N1=F1F2，另有M 1F1F=FF 1N1=90，易证 RtM 1FF1 RtN 1FF1，得M 1FF1=FN 1F1，故M 1FN1=M 1FF1F 1FN1=FN 1F1F 1FN1=90，所以M 1FN1 是直角三角形存在，该直线为 y=1理由如下：直线 y=1 即为直线 M1N1如图，设 N 点横坐标为 m，则 N 点纵坐标
23、为 ,计算知 NN1= ， NF=24m24，得 NN1=NF22()4m2同理 MM1=MF那么 MN=MM1NN 1，作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ，由中位线性质知PQ= （MM 1NN 1）= MN，即圆心到直线 y=1 的距离等于圆的半径，所以 y=1 总22与该圆相切9. （2011 湖南衡阳，27，10 分）已知抛物线 2172yxm(1)试说明：无论 m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；(2)如图，当该抛物线的对称轴为直线 x=3 时，抛物线的顶点为点 C，直线 y=x1 与抛物线交于 A、B 两点，并与它的对称轴交于点 D抛物线上是否存在一点 P 使得四边
24、形 ACPD 是正方形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由；平移直线 CD，交直线 AB 于点 M，交抛物线于点 N，通过怎样的平移能使得C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形【解】 (1) = = = =21742m47m243m，不管 m 为何实数，总有 0， = 0，无23m2论 m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点(2) 抛物线的对称轴为直线 x=3， ，抛物线的解析式为 = ，顶点 C 坐标为（3，2），215y21解方程组 ，解得 或 ，所以 A 的坐标为（1，0）、2,3x10xy276B 的坐标为（7，6）， 时 y=x1=31=2，D 的坐标为（
25、3，2），设抛物线的对称轴与 轴的交点为 E，则 E 的坐标为（3，0），所以 AE=BE=3，DE=CE=2，x 假设抛物线上存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形，则 AP、CD 互相垂直平分且相等，于是 P 与点 B 重合，但 AP=6，CD=4，APCD，故抛物线上不存在一点 P 使得四边形 ACPD 是正方形 ()设直线 CD 向右平移 个单位（ 0）可使得 C、D 、M、N 为顶点的四边形n是平行四边形，则直线 CD 的解析式为 x=3 ，直线 CD 与直线 y=x1 交于点nM（3 ，2 ），又D 的坐标为（3，2），C 坐标为（3，2），D 通过n向下平移 4 个单位得到
26、 CC、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，四边形 CDMN 是平行四边形或四边形 CDNM 是平行四边形（）当四边形 CDMN 是平行四边形，M 向下平移 4 个单位得 N，N 坐标为（3 ， ），n2又 N 在抛物线 上， ，153yx21532nn解得 （不合题意，舍去）， ，102（）当四边形 CDNM 是平行四边形，M 向上平移 4 个单位得 N，N 坐标为（3 ， ），n6又 N 在抛物线 上， ，253yx215632nn解得 （不合题意，舍去）， ，1727() 设直线 CD 向左平移 个单位（ 0）可使得 C、 D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，则直线 CD 的解析
27、式为 x=3 ，直线 CD 与直线 y=x1 交于点 M（3n，2 ），又D 的坐标为（ 3，2），C 坐标为（3，2），D 通过向下平移n4 个单位得到 CC、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形，四边形 CDMN 是平行四边形或四边形 CDNM 是平行四边形（）当四边形 CDMN 是平行四边形，M 向下平移 4 个单位得 N，N 坐标为（3 ， ），n2又 N 在抛物线 上， ，153yx215232nn解得 （不合题意，舍去）， （不合题意，舍去），10（）当四边形 CDNM 是平行四边形，M 向上平移 4 个单位得 N，N 坐标为（3 ， ），n6又 N 在抛物线 上， ，253yx
28、215632nn解得 ， （不合题意，舍去），17217综上所述，直线 CD 向右平移 2 或（ ）个单位或向左平移（ ）个单位，17可使得 C、D、M、N 为顶点的四边形是平行四边形10（2011 湖北襄阳，26，13 分)如图 10，在平面直角坐标系 xOy 中，AB 在 x 轴上，AB10，以 AB 为直径的O与y 轴正半轴交于点 C，连接 BC，AC .CD 是O的切线，AD CD 于点D，tanCAD ，抛物线 过 A，B，C 三点.21cbaxy2（1）求证：CADCAB；（2）求抛物线的解析式；判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点
29、P，使四边形 PBCA 是直角梯形.若存在，直接写出点 P的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由. yxDCBO OA图 10【答案】（1）证明：连接 OC.CD 是O的切线，OCCD 1 分ADCD，OCAD ，OCACAD 2 分OCOA， OCA CABCADCAB. 3 分（2）AB 是O的直径， ACB90OCAB ，CABOCB，CAOBCO， OCBA即 4 分OBAC2tanCAOtanCAD ，OA2OC1又AB10， OC0)0(2OCOC4，OA8，OB2.A（8，0），B（2，0），C （0，4） 5 分抛物线 过 A，B，C 三点.c4cbxay2由题意得 ，解
30、之得 ，0486ba231ba .7 分2341xy（3）设直线 DC 交 x 轴于点 F，易证AOCADC，ADAO 8.O CAD ， FOCFAD， ADCOF8(BF5)5(BF10) ， ， .8 分310BF)0,6( 设直线 DC 的解析式为 ，则 ，即mkxy4k43mk .9 分43xy由 得425)3(121x顶点 E 的坐标为 10 分45,将 代入直线 DC 的解析式 中，)45,3( 43xy右边 左边.425抛物线的顶点 E 在直线 CD 上.11 分（3）存在. ， 13 分)6,10(P)36,(2 FEyxDCBO OA11. （2011 山东东营，24，12
31、 分）(本题满分 12 分)如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为（-3,0），（0,1），点D 是线段 BC 上的动点（与端点 B、C 不重合），过点 D 做直线 交折现12yxbOAB 与点 E。（1）记 ODE 的面积为 S，求 S 与 b 的函数关系式；（2）当点 E 在线段 OA 上时，且 tanDEO= 。若矩形 OABC 关于直线 DE 的对12称图形为四边形 ，试探究四边形 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否1OABC1OABC发生变化，如不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。【答案】解（1）由题意得 B（-3,1）.若直线经过点 A(-3,
32、0)时，则 b= ；32若直线经过点 B(-3,1)时，则 b= ；5若直线经过点 C(0,1)时，则 b=1； 若直线与折线 OAB 的交点在 OA 上时，即 1b ，如图（ 1），此时 E（-322b，0），S=122OECbA若直线与折线 OAB 的交点在 BA 上时，即 b ，如图（2），此时点 E（-353，b- ），D（-2b+2,1） 2 OCDBEOAS-+SA矩 （ ）15133-2b-2b2b 25b2355()Sb（ ）（2）如图 3，设 O1A1 与 CB 相交与点 M，OA 与 C1B1 相交与点 N，则矩形 O1A1 B1 C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积即
33、为四边形 DNEM 的面积。由题意知，DMNE，DNME， 四边形 DNEM 为平行四边形，根据轴对称知，MED= NED，又MDE= NED，MD=ME，四边形 DNEM 为菱形。过点 D 作 DHOA，垂足为 H，依题意知，tanDEH= ，DH=1，12 HE=2，设菱形 DNEM 的边长为 a,则在 RtDHN 中，由勾股定理知：， 221a54a5S=NED4A矩 M矩形 O1A1 B1 C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为5413. （2011 湖北鄂州，24，14 分）如图所示，过点 F（0，1）的直线 y=kxb 与抛物线交于 M（x 1，y 1）和
34、N（x 2，y 2）两点（其中 x10，x 20）214y求 b 的值求 x1x2 的值分别过 M、N 作直线 l：y=1 的垂线，垂足分别是 M1、N 1，判断M 1FN1 的形状，并证明你的结论对于过点 F 的任意直线 MN，是否存在一条定直线 m，使 m 与以 MN 为直径的圆相切如果有，请法度出这条直线 m 的解析式；如果没有，请说明理由FMNN1M1 F1Oyxl第 24 题图【答案】解：b=1显然 和 是方程组 的两组解，解方程组消元得1xy2xy214ykx，依据“根与系数关系”得 =42104k12xAFMNN1M1 F1Oyxl第 24 题解答用图PQM 1FN1 是直角三角
35、形是直角三角形，理由如下：由题知 M1 的横坐标为 x1，N 1 的横坐标为 x2，设 M1N1 交 y 轴于 F1，则F1M1F1N1= x1x2=4，而 FF1=2，所以 F1M1F1N1=F1F2，另有M 1F1F=FF 1N1=90，易证 RtM 1FF1 RtN 1FF1，得M 1FF1=FN 1F1，故M 1FN1=M 1FF1F 1FN1=FN 1F1F 1FN1=90，所以M 1FN1 是直角三角形存在，该直线为 y=1理由如下：直线 y=1 即为直线 M1N1如图，设 N 点横坐标为 m，则 N 点纵坐标为 ,计算知 NN1= ， NF=24m24，得 NN1=NF22()4
36、m2同理 MM1=MF那么 MN=MM1NN 1，作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ，由中位线性质知PQ= （MM 1NN 1）= MN，即圆心到直线 y=1 的距离等于圆的半径，所以 y=1 总22与该圆相切14. （2011 广东湛江 28,14 分）如图，抛物线 的顶点为 ,与 轴2yxbc(4)Dy相交点 ，与 轴交于 两点（点 A 在点 B 的左边）(0,3)Cx,B（1）求抛物线的解析式；（2）连接 AC，CD，AD，试证明 为直角三角形；CD（3）若点 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点 F，使以 A,B,E,F 四点为顶点的四E边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点
37、F 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1） ，所以抛物线的解析式为 ；224(1)33bcc 23yx（2）因为 ，可得 ,2yx(0)A所以有 22222(03)(18,14).ACD所以 ，所以 为直角三角形；2ACD（3）可知 ,假设存在这样的点 F，设 ，所以4B200(,3)x,20(1,3)Ex要使以 A,B,E,F 四点为顶点的四边形为平行四边形，只需要 ,即 ，4ABEF0|1|4x所以 或 ，因此点 F 的坐标为 或 。0x05(3,12)5,)15. （2011 山东枣庄，25，10 分）如图，在平面直角坐标系 中，把抛物线 向左xoy2yx平移 1 个单位，再向下平移
38、 4 个单位，得到抛物线 .所得抛物线与 轴交于2()yhk两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，顶点为 .AB、 BCD（1）写出 的值；hk、（2）判断 的形状，并说明理由；ACD（3）在线段 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐MAO B M标；若不存在，说明理由. xy解：（1） 2()yxhk的顶点坐标为 （，）， . 1hk， =-4分（2）由（1）得 2(1)4yx.当 0y时， 0 解之，得 123x， . (3)AB， ， ，又当 x时， 22(1)4()yx， C 点坐标为 0， -.4分又抛物线顶点坐标 14D， ，作抛物线的对称轴 1x交 轴于点 E， DFy
39、轴于点 易知在 RtAE 中， 2240；在 OC 中， 318；在 tFD 中， 22； 2A ACD 是直角三角形 分（3）存在作 OMBC 交 AC 于 M， 点即为所求点由（2）知， AOC 为等腰直角三角形， 45BAC， 1832由 AOMBC ，得 AOM即 3329442， . 分过 点作 GAB于点 ，则29481964M， 934OGA.又点 M 在第三象限，所以 . 3-（ ， ）10 分 xyMFE G16. （2011 湖南湘潭市，26，10 分）（本题满分 10 分）已知，AB 是O 的直径，AB=8，点 C 在O 的半径 OA 上运动，PCAB，垂足为C，PC=5
40、，PT 为 O 的切线，切点为 T. 如图，当 C 点运动到 O 点时，求 PT 的长; 如图，当 C 点运动到 A 点时，连结 PO、BT，求证：POBT; 如图，设 ， ，求 与 的函数关系式及 的最小值.yPT2xyyBATP(C)O图(1) 图(2)BTA(C)P O图(3)BATPC O【答案】解：（1）连接 OT， 当 C 点运动到 O 点时，PT 为O 的切线，OTPT,在 RtPTO 中， 2222()543ABPTPO(2)连接 AT,当 C 点运动到 A 点时，PCAB ，PA 是O 的切线PT 为O 的切线，PA=PT、PO 平分APT，POAT.AB 是O 的直径，AT
41、B 是直角，即 BTAT，POBT连接 OP、OT。 ， xC4OACx在 RtPCO 中， 2225(4)POCx在 Rt POT 中， ,TP ，即 22245()PTx22()yx 985y当 x=4 时，y 最小其值为 9. 与 的函数关系式为 ， 的最小值是 9.x285yxy17. （2011 湖北荆州，24，12 分）（本题满分 12 分）如图甲，分别以两个彼此相信的正方形 OABC 与 CDEF 的边 OC、OA 所在直线不 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系（O、C、F 三点在 x 轴正半轴上）.若P 过 A、B、E 三点（圆心在 x 轴上），抛物线 经cbxy241过 A、C
42、 两点，与 x 轴的另一交点为 G，M 是 FG 的中点，正方形 CDEF 的面积为 1.（1）求 B 点的坐标；（2）求证：ME 是P 的切线；（3）设直线 AC 与抛物线对称轴交于 N，Q 点是此对称轴上不与 N 点重合的一动点，求ACQ 周长的最小值；若 FQt， ，直接写出 s 与 t 之间的函数关系式.SAC图甲 图乙【答案】解：（1）如图甲，连接 PE、PB ，设 PCn图正方形 CDEF 面积为 1CDCF1图根据圆和正方形的对称性知 OPPCn图BC2PC2n而 PB PE，PB 2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2图又 PE2=PF2+EF2=(n+1)2+15n 2=(n+1)2+1图解得 n1=1， (舍去)BCOC 2
