1、 / 121【黄冈中考】备战 2012 年中考数学锐角三角函数与特殊角的押轴题解析汇编二锐角三角函数与特殊角一、选择题1（2011 湖北随州，9，3 分）cos30= （ ）A B C D223【思路分析】因为 cos30= ，所以 C 正确故选 C【答案】C【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键难度较小.1. （2011 甘肃兰州，4，4 分）如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将ABC 绕着点 A 逆时针旋转得到 则 tan 的值为（ ）A. B. C. D. 1231424A BCCB【解题思路】由旋转的性质可知， =B，利用网格构建
2、一个直角三角形，通过观察可以看出B 的对边为 1，相邻的直角边等于 3，所以 tan = tanB= ，故选 B，其余选项13显然不正确.【答案】B【点评】本题考查了旋转的性质和直角三角形三角函数的定义，旋转不改变图形的形状和大小，利用图形的初始位置进行思考是解决本题的重要方法，另ABC 显然不是一个直角三角形，巧妙的利用网格构建直角三角形也是一个非常重要的方法难度中等2. (2011 江苏镇江，6，2 分)如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为 D若AC ，BC 2，则 sinACD 的值为( )5A B C D3523CD BAMEDCBA【解题思路】ACDB，sinACD
3、sin B AC【答案】A【点评】此题主要考查三角形函数的定义直角三角形中，一个锐角的正弦是指对边与斜边的比具体求值时，可进行转化，使问题变得简单，难度较小2、（2011 四川乐山，2，3 分）如图（1），在 44 的正方形网格中，tan= (A) 1 (B) 2 （C） （D）152【解题思路】根据网格的特点：设每一小正方形的边长为 1，可以确定 的对边为 2，邻边为 1，然后利用正切的定义 tan= 的对边/ 的邻边 =2.故 A、C 、D 不正确。【答案】B。【点评】网格问题是近几年来中考的热点，它考查了学生的读图、析图的能力，充分利用网格的特点，构建适当的图形，确定图形相应的边长或角的
4、度数，根据题目条件要求列式计算。难度中等10（2011 年四川省南充市，10，3 分）如图，ABC 和CDE 均为等腰直角三角形，点 B,C,D 在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论：tanAEC= ;S ABC +SCDE S ACE ;BM DM; BM=DM.正确结论的个数是（ CDB）（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个【解题思路】此题易得ACE=90，tanAEC= 成立; 设 AC=a,CE=b，AE则 而 故221,4ABCCDEACESabSabA 20,20,ab ， ，即：2b414成立；延长 DM 交直线 AB 于 N,易证AMNEMD，进而
5、得到ABCDEACMD=MN,BD=BN,由等腰三角形三线合一，可得成立。/ 123NEA MB DC【答案】D【点评】本题是一个综合性题目，有一定难度。9. （2011 四川乐山，9，3 分）如图（5），在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD的中点，AE 交 BF 于点 H，CGAE 交 BF 于点 G。下列结论：tanHBE=cotHEB BH=FG .其中正确的序号是CGBF2BC(A) (B) （C） （D）【解题思路】：根据题意：E、F 分别是正方形 ABCD 边 BC、CD 的中点，ABEBCF,BAE= CBF, 又BEA 与BAE 互余，BEA 与EBH 互余，即
6、AEBF,BHE 是直角三角形，tanHBE=cot HEB 正确；又CGAE ， GFC 是直角三角形，即BCFCDF, 成立；又CGBFBE=CF,GFC=BEH,BHE=CGF, BHE CGF,故 BH=CG,BH=FG 不成立；E、F分别是边 BC、CD 的中点，设正方形 ABCD 的边长为 2，则 BE=1，根据勾股定理可得：BF= ,GF= ,即 =4，成立。故 D 正确。552BCGF【答案】D。【点评】本题是对三角形的全等、相似、勾股定理以及三角函数的应用的综合考查，解题的关键是先根据正方形的特点，确定边、角关系，判定三角形的形状，证得三角形全等、相似；并应用勾股定理求得边长
7、，利用全等、相似关系，从而判定四个结论的正误。 本 题难度较大。（2011 常州市第 6 题,2 分）如图，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB，垂足为 D。若AC= ，BC=2,则 sinACD 的值为 5A B 352C D253【解题思路】在 RtABC 中，由勾股定理得 AB= ，再根据等角的转化，32)5(SinACD=sinB= ,故选 A.35AB【答案】选 A.DCB A 第6 题 【点评】本题考查了三角函数的相关知识，解答本题的关键是实现等角ACD 与B 之间的转化.（2011 江苏苏州，9， 3 分）在四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，若EF=
8、2，BC=5 ，CD=3 ，则 tanC 等于（ ）A. B. C. D. 34433545A B C D E 第 9题 F 【解题思路】连结 BD，根据中位线 EF 知 BDF=4，在DBC 中，因为BD2DC 2=423 2=25，BC 2=52=25，所以 BD2DC 2=BC2，所以 BDC=90，所以 tanC= = ，故选 BD4【答案】B【点评】本题综合考查了中位线、 勾股定理和锐角三角函数，求 tanC，就要把C构成在一个直角三角形中.二、填空题1. （ 2011 年 湖 北 省 武 汉 市 3 分 ） sin30的 值 为 _.分析：特殊角的三角函数值。答案：点评：本题主要考
9、察特殊角的三角函数值，属于基础题。1. （2011 福建泉州，16，4 分）如图，在 RtABC 中，C=90，AC=3,BC=4,则 AB= ， = .Asin【解题思路】由勾股定理可得 AB=5，由三角函数的定义可知： 54sinA【答案】5， ； 4【点评】本题侧重对勾股定理，及三角函数定义的考查，难度较小。2. (2011 江苏镇江，11，2 分 )若 的补角是 120，则 _，sin _【解题思路】 的补角是 180 sin60 32【答案】60， 32/ 125第 14 题CBA【点评】此题考查补角的概念，特殊角的三角函数值，难度较小（2011 常州市第 11 题,2 分）若 的补
10、角为 120，则 = ，Sin = 。 【解题思路】由 的补角为 120建立方程 180- =120，解得 =600，sin60 0= .23答案：60 0， 。23【点评】解答本题的关键是根据条件建立方程，熟记特殊角的三角函数值。（2011 江苏连云港，14，3 分）ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则 sinA_ 【解题思路】用勾股定理可以求得 AC= ，AB 边上的高为 2，即2525sinA【答案】 5【点评】本题考查勾股定理、三角函数等知识及构造思想。难度较小。1（2011 湖南株洲，11，3 分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚 出发，沿与地面A成 角的山坡向上走，送水到山上因今年
11、春季受旱缺水的王奶奶家（ 处），0 B米，则孔明从 到 上升的高度 是 米8ABABC【解题思路】由图形，结合含有 30角的直角三角形性质，或锐角函数的知识求得BC40 米.【答案】40.【点评】直角三角形是研究图形性质的基础，也是中考的常考知识.难度较小3. （2011 江西南昌，16，3 分）如图所示，两块完全相同的含 30角的直角三角形叠放在一起，且DAB=30有以下四个结论：AFBC ADGACF O 为 BC 的中点 AG：DE= ：4，其中正确结论的序号是 （错填得 0 分，少填酌情给分）30AC【解题思路】由DAB=30得BAE=60，所以CAF=30而C=60所以CAF=90即
12、AFBC,因为DAB=CAF, D=C=60AD=AC,所以ADGACF，连接 OA,易得OB=OA=OC，即 O 为 BC 的中点,在直角ADG 中，设 DG=a，则 AD=2a,AG= a,在直角ADE3中可得 DE=4a,所以 AG：DE= ：4.3【答案】【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定、锐角三角函数的意义和学生综合分析的能力，难度较大.三、解答题17（2011 四川乐山，17，9 分）计算： 13|2()2cos0【解题思路】：根据绝对值的意义、锐角三角函数、负指数的运算和最简二次根式的化简，进行计算：|-2|=2；cos30 0= ;( )-1=3; =2 .2
13、31【答案】 |2(cos=2- +3+223=2-2 +3+2=5.【点评】本题是对数与式的运算的考查，特别是对绝对值的意义、锐角三角函数、负指数的运算和最简二次根式的化简的理解，综合性强。本 题 难度中等。21 （2011 四川广安，21，7 分）计算： 1 32(3.4)sin602【解题思路】本题为基本计算题，主要考察负指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值和绝对值的运算【答案】解：原式= = 1322【点评】本题为基本计算题，主要考察负指数幂，零指数幂，特殊角三角函数值和绝对值的运算难度中等/ 12720（2011 内蒙古乌兰察布，19，7 分）计算： 00213tan8【解题思路】原式
14、= 1)2(3212【答案】 1【点评】本题主要考查了二次根式的化简、特殊角的三角函数值、绝对值的意义、零指数.难度较小.1（2011 四川内江，17，7 分）计算： tan30-（-2011） 0 -3821【思路分析】分别计算三角函数值、化简二次根式、求零次幂及去绝对值，然后合并同类项或同类二次根式. 【答案】解：原式= -1+2 +1-32=1+ 2【点评】对于二次根式化应化为最简二次根式，绝对值的化简应注意绝对号内的数的正负，任何不等于零的数（或式）的零次幂都等于 1本题易出现（-2011） 0=0、这样的错误11. （2011 甘肃兰州，21，7 分）已知 a 是锐角，且 sin（a
15、+15）= .32计算 4cos +tan+ 的值.80(3.14)1()3【解题思路】将 a+15看成一个角，考虑特殊角的三角函数值 sin60= ，求出 =45，32代入式子即可.【答案】 sin60= ，+15=60，=4532 4cos +tan+80(3.14)1()3= 4cos45 1+tan45+3= 4 1+1+3=3.2【点评】本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂的乘方、负指数幂的乘方等知识点.这三个知识点也是最容易出错的地方，计算时只要注意即可.难度较小.2. （2011 广东河源，11，6 分）计算： 30cos)1(20(30【解题思路】分别求出每个式子的值,再分别
16、加减.，一个负数的允绝对值是这个数相反数， ， 。01()a()pas2【答案】原式=3+1-3- =1- =-231【点评】此题综合考查绝对值、二次根式、三角函数、零指数幂及负整数指数幂的运算，是一道综合多个简单知识点的常规计算题，计算时要认真仔细，难度中等3. (2011 江苏镇江，18(1) ，4 分)计算：sin45 ； 1238【解题思路】(1)将 sin45和 进行转化，然后再加减【答案】解：(1)原式 22【点评】本小题考查实数的运算，难度较小.22（2011 四川眉山，22，8 分）在一次数学课外活动中，一位同学在教学楼的点 A 处观察旗杆 BC，测得旗杆顶部 B 的仰角为 3
17、0，测得旗杆底部 C 的俯角为 60，已知点 A 距地面的高 AD 为 15cm求旗杆的高度【解题思路】过 A 作 AEBC ，构造两个直角三角形，然后利用解直角三角形的知识解答/ 129【答案】过 A 作 AEBC，垂足为 E，由题意可知，四边形 ADCE 为矩形，EC=AD=15，在 RtAEC 中，tanEAC= ，ACAE= （米），3560tan1taE在 RtAEB 中， tanBAE= ，EBBE=AEtanEAB= tan30=5（米），BC=CE+BE=20（米）故旗杆高度为 20 米【点评】此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键难度中等（201
18、1 江苏南京，7 分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔 AB 的高度，他们借助一个高度为 30m 的建筑物 CD 进行测量，在点 C 处塔顶 B 的仰角为 45，在点 E 处测得B 的仰角为 37（B、D、E 三点在一条直线上）求电视塔的高度 h（参考数据：sin370.60， cos370.80，tan 370.75）ABE CD h37 45(第 25 题 )【解题思路】本题主要考查了利用三角形函数求三角形的边长，因为在点 C 处塔顶 B的仰角为 45，所以可以知道ABC 为等腰直角三角形，所以 AB=AC，这样就可以借助直角ABE 求出电视塔的高度了。【答案】在 中， RtEDtanE
19、CDEC （ ）tanC304.75m在 中，BCA45，BABA在 中， （ ） ttE0.75h120hm答：电视塔高度约为 120 点评：本题利用测电视塔的知识来考查三角形函数的知识，鲜活的背景，丰富了试题的载体难度中等。4.（2011 甘肃兰州，26，9 分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图，在ABC 中，AB=AC，顶角 A 的正对记作 sadA，这时sadA=底边/腰= .容易知道一个角
20、的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根BCA据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60= .（2）对于 0A180， A 的正对值 sadA 的取值范围是 .（3）如图，已知 sinA= ，其中A 为锐角，试求 sadA 的值.35【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出 0 度和 180 度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角ABC ，构造等腰三角形 ACD，根据正对的定义解答【答案】（1）根据正对定义，当顶角为 60时，等腰三角形底角为 60，则三角形为等边三角形，则 sad60= =1（2）当A
21、 接近 0时，sad 接近 0，当A 接近 180时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故 sad 接近 2于是 sadA 的取值范围是 0sadA 2故答案为0sadA 2（3） 如图，在ABC 中，ACB=90 ，sinA= / 1211在 AB 上取点 D，使 AD=AC，作 DHAC，H 为垂足，令 BC=3k，AB=5k ，则 AD=AC= =4k，又在ADH 中，AHD=90，sinA= DH=ADsinA= k，AH= = k则在CDH 中，CH=AC-AH= k，CD= = k于是在ACD 中，AD=AC=4k，CD= k由正对的定义可得：sadA= = 【点评】此题是一道新定义的
22、题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答难度中等.1（2011 湖南省邵阳市，20，8 分）崀山成功列入世界自然遗产名录后，景区管理部门决定在八角寨架设旅游索道设计人员为了计算索道 AB（索道起点为山脚 B 处，终点为山顶 A 处）的长度，采取了如图（八）所示的测量方法在 B 处测得山顶 A 的仰角为 16，查阅相关资料得山高 AC325 米，求索道 AB 的长度（结果精确到 1 米）参考数据sin160.28cos160.96tan160.29【解题思路】：如图：RtABC 中，AC=325 B = 016ABC016sin0.28= AB1161 米28.016sinAB35【点评】：本题考察了锐角三角函数，已知量与待求边集中制直角三角形的斜边、直角边所以用弦，由于 AC 是直角三角形中已知角的对边，所以用正弦。难度较小
