1、 / 61【黄冈中考】备战 2012 年中考数学直角三角形与勾股定理的押轴题解析汇编二直角三角形与勾股定理16. （2011 浙江温州，16,5 分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图 1）.图 2由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH,正方形 MNKT的面积分别为 , , .1S23若 + + =10，则 的值是 .1S232S【解题思路】设直角三角形面积为 x，最小正方形面积为 y, 则依题意得因为 即（8x+y）+(4x+y)+y=10, 所以1238,4,SxyxyS1230,S12
2、x+3y=10, 两边同除以 3， 4x+y= , 整体代换，这正好是 =024Sxy103【答案】 03【点评】本题是一道探究试题，它巧妙地将勾股定理与正方形的知识有机的结合在一起，考查了学生整体变换能力.对学生随机变换处理能力要求较高10. （ 2011 黑龙江绥化，10，3 分）已知三角形相邻两边长别为 20cm 和 30cm, 第三边上的高为 10cm,则此三角形的面积为 .2cm【解题思路】如图(1),当高在三角形内部时,AB=30,AC=20,ADBC,AD=10,BD=，CD= ，BC=BD+CD= ，202ABD2103ACD2013SABC = ；如图（2），当高在三角形外部
3、时，BC=BD-CD=153C，S ABC = .20315BAB CD图 1AB C D图 2徐新文MEDCBA【答案】 或(10253)(10253)【点评】本勾股定理的应用及分类讨论的数学思想，易错点是只考虑一种情况。难度较大。11、（2011 山西，11，2 分）如图，ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，点 G、F 在 BC 边上，四边形 DEFG 是正方形，若 DE=2cm。则 AC 的长为（ ）A、 cm B、4cm C、 cm D、 cm33252【解题思路】因为 E 是 AC 的中点，求 AC 只需求出 CE 即可。D、E分别是边 AB、AC 的中
4、点，DE=2cm，BC=4cm，EF=2cm。又AB=AC，DEFG 是正方形，易证DBGECF ，FC=BG=1cm，在 RTECF 中 EC= =2FC= ，所以 AC= cm21552【答案】D【点评】本题主要考察等腰三角形、中位线定理、正方形性质、勾股定理等内容，此题的关键在于灵活应用各个性质和定理。难度中等。（2011 年四川省南充市 10 题 3 分）10.如图，ABC 和CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论：tanAEC= ;S ABC +SCDE S ACE ;BM DM; BM=DM.正确结论的个数是（ CDB）（A）1
5、个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个【解题思路】此题易得ACE=90，tanAEC= 成立; 设 AC=a,CE=b，AE则 而 故221,4ABCCDEACESabSabA 20,20,ab ， ，即：2b414成立；延长 DM交直线 AB于 N,易证AMNEMD，进而得到ABCDEAC徐新文/ 63MD=MN,BD=BN,由等腰三角形三线合一，可得成立。NEA MB DC【答案】D【点评】本题是一个综合性题目，有一定难度。7. （2011 山东烟台，7,4 分）如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为 6m 和 8m.按照输油中心 O 到三条支路
6、的距离相等来连接管道，则 O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心 O 为点）是（ ）A2m B.3m C.6m D.9m【解题思路】利用面积法即可求出 O 到一条支路的距离。设 O 到一条支路的距离为 x，则 ，解xx102816281得 x=2。则 O 到三条支路的管道总长为 23=6m。选择 C。【答案】C【点评】数学基本方法是中考试题必然要考查的，在初三大复习时，希望大家在做题时要注意积累，本题难度中等。15. （2011 山东滨州，15，4 分）边长为 6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为_.【解题思路】画出图形很容易理解，做出一边上的高，在直角三角形中斜边长为 6cm，
7、一直角边长为 3cm，则第三边为 3273-62【答案】 cm3【点评】考察勾股定理的计算，要学会把等边三角形的问题转化为直角三角形来解决。难度较小。21（本题满分 8 分）（2011 山东枣庄，21，8 分）如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画线段 ADBC 且使 AD =BC，连接 CD；（2）线段 AC 的长为 ，CD 的长为 ，AD 的长为 ；（3）ACD 为 三角形，四边形 ABCD 的面积为 ；（4）若 E 为 BC 中点，则 tanCAE 的值是 ABCE第 21 题图O（第 7 题图）徐新文【解题思路】（1）利
8、用在方格纸画平行线的方法即可；（2）利用勾股定理计算；（3）利用勾股定理逆定理判断三角形的形状，利用割补法或数格子的方法算出四边形ABCD 的面积；（4）由于 E 为 BC 中点，所以 E 必在 AM 上，在 RtAMC 中，利用正切的定义计算即可【答案】（1）如图； （2） 5， ，5； （3）直角，10；（4） 【点评】本题考查了在方格纸画平行线的基本技能、勾股定理及其逆定理、三角函数等知识，解题的关键在方格纸中确定 E 点的位置及图形的面积的计算方法、正切的定义，难度中等18（2011 四川乐山，18，9 分）如图（10），在直角ABC 中，C=90 ，CAB 的平分线 AD 交 BC
9、于 D，若 DE 垂直平分 AB，求B 的度数。【解题思路】：根据角平分线性质、线段垂直平分线的意义及直角三角形的锐角互余可得：BAC=2B,即 3B=90 0，求得B 的度数。【答案】解：CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D（已知）CAD=DAB( 角平分线的定义)；又DE 垂直平分 AB（已知） DA=DB,B=DAB, 又C=90 ， B+CAD+DAB=90 0，即 3B=90 0，B=30 0.【点评】此题属于解直角三角形的问题，利用角平分线性质、线段垂直平分线的意义，正确分析图形，明确本题中角的关系，根据直角三角形中两锐角互余列式计算。本 题 难度中等。23（2011 四川绵阳
10、 23，12）(本题满分 12 分）王伟准备用一段长 30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔已知第一条边长为 a 米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的 2 倍多 2 米(1)请用 a 表示第三条边长；(2)问第一条边长可以为 7 米吗？为什么?请说明理由，并求出 a 的取值范围；(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为整数？若能，说明你的围法;ABCE第 21 题图DM/ 65若不能，请说明理由【解题思路】(1)根据第二条边长与第一条边长的关系，用代数式表示第二条边长，然后用周长减去第一条边长和第二条边长，表示出第三条边长(2)由第一条边长是 7，求出第
11、二条边长和第三条边长，由三角形三边不等关系，得出不能围成三角形；由三边不等关系得出关于三边长的不等式组，求出 a 的取值范围(3)分第二条边长是最长边与第三条边长是最长边两种情况，根据勾股定理列出方程，解方程得出小圈是直角三角形，且边长为整数时，三边边长为 5，12，13【答案】(1)第一条边为 a，第二条边为 2a+2，第三条边为 30a(2a+2)283a(2)不可以是 7理由：a7 时，2a+216，283a7，即第一条边为 7，第二条边为 16，第三条边为 7又7+716，不满足三边之间的关系， 不能构成三角形根据三角形的三边不等关系，得 2a+2a283a 2a+2+a ，解得 a
12、132(3)能围成直角三角形形状当 283a 是最长边时，a 2+(2a+2)2(283a) 2，解得a15，a 239(不合题意，舍去) ，所以三边分别是 5，12，13当 2a+2 是最长边时，a2+(283a) 2(2a+2) 2，由于解不是整数，舍去所以能围成直角三角形形状，三边分别是5，12，13【点评】 由三角形三边不等关系列出不等式组，求出 a 的取值范围；当最长边不确定时，要分类讨论；(3)由勾股定理列方程，解方程求出边长24.（满分 10 分）（2011 山东烟台，24,10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中，ABC90 ，CDAD，AD 2CD 22AB 2（1）求证
13、：ABBC；（2）当 BEAD 于 E 时，试证明：BEAECD【解题思路】（1）连接 AC，在ABC 和ADC 中用两次勾股定理就推出AB BC。（2）运用常用的截长补短法即可证明之。方法是过 C 作 CFBE 于 F.【答案】（1）证明：连接 AC，ABC90，AB 2BC 2 AC2.CDAD，AD 2CD 2AC 2.AD 2CD 22AB 2，AB 2BC 22AB 2，ABBC.（2）证明：过 C 作 CFBE 于 F.ABCDEBEAD ，四边形 CDEF 是矩形.CDEF .ABE BAE90，ABECBF 90 ，BAE CBF，BAECBF.AEBF.BEBFEF AE C
14、D . 【点评】本题主要考查勾股定理以及利用三角形全等证明两条线段相等的方法，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”证明 BE、CD、AE 三者之间的关系。18.(2011内蒙古呼和浩特,18,6 分)如图所示,在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧 A、B 两个凉亭之间的距离,现测得 AC=30m,BC=70m, CAB=120,请计算A、 B两个凉亭之间的距离.【解题思路】作一条高线 ,构造直角三角形,利用 CAB=120和 AC=30m求出 和 ；CDCDA然后在 中利用勾股定理求出 的长.RtBDB【答案】解:过点 C作 CD AB,垂足为 D (1分) AC=30m CAB=120 AD=15m CD= (4分)153m在 Rt BDC中, BD= =65m (5分)2270() (6分)6AB【点评】构造直角三角形是解此类问题的关键,利用边角关系或勾股定理求出其它的边.难度中等.A BCA BCD
