1、福建省 2013 届高三数学章末综合测试题：圆锥曲线与方程本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点，且AB 的中点为 N(12，15)，则 E 的方程为( )A 1 B 1x23 y26 x24 y25C 1 D 1x26 y23 x25 y24【答案】B2 已知 F1、F 2分别是双曲线2ab的
2、左、右焦点，过 F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点，若ABF 2为钝角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是（ ）A （1， ） B (1,3)C (,2)D (2,)【答案】D3过双曲线 1( a0， b0)的右顶点 A 作斜率为1 的直线，该直线与双曲线的两条渐x2a2 y2b2近线的交点分别为 B， C.若 ，则双曲线的离心率是( )12A B 2 3C D5 10【答案】C4椭圆 1( ab0)的两顶点为 A(a,0)， B(0， b)，且左焦点为 F， FAB 是以角 B 为直x2a2 y2b2角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为( )A B C D3 12
3、 5 12 1 54 3 14【答案】B5已知点 P 是抛物线 y22 x 上的动点，点 P 到准线的距离为 d，点 A( ，4)，则| PA| d 的最72小值是( )A B472C D592【答案】D6抛物线 y4 x2上一点到直线 y4 x5 的距离最短，则该点的坐标是( )A(1,2) B(0,0)C D(1,4)(12， 1)【答案】C7 设双曲线 C：12yx的左、右顶点分别为 A1、A2 ，垂直于 x 轴的直线 l 与双曲线 C交于不同的两点 P、Q.若直线 l 与 x 轴正半轴的交点为 M，且 121QAP，则点 M 的坐标为（ ）A （32，0） B （2，0） C （ 3，
4、0） D （3，0）【答案】B8直线 x y10 与圆( x1)2 y21 的位置关系是( )A相切B直线过圆心C直线不过圆心但与圆相交D相离【答案】B9已知抛物线 C： y24 x， F 为抛物线 C 的焦点， O 为坐标原点，则在抛物线 C 上且满足 OFP为等腰直角三角形的点 P 的个数为( )A2 B4C2 或 4 D P 点不存在【答案】D10 已知直线 01ymx交抛物线 2xy于 A、 两点，则 AOB（ ）A 为直角三角形 B 为锐角三角形C 为钝角三角形 D 前三种形状都有可能【答案】A11已知双曲线 1 的准线过椭圆 1 的焦点，则直线 y kx2 与椭圆至多有一x22 y
5、22 x24 y2b2个交点的充要条件是 ( )A k ， 12 12B k(， ，)12 12C k ， 22 22D k(， ，)22 22【答案】A12若双曲线 2163xyp的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上，则 p 的值为（ ）A2 B3 C4 D4 2 【答案】C第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13已知曲线 1 与直线 x y10 相交于 P、 Q 两点，且0( O 为原点)，则 的x2a y2b 1a 1b值为_【答案】214已知椭圆2()xyab的左、右焦点分别为 12(,0)(,Fc
6、，若椭圆上存在一点 P使 1221sinsicFP，则该椭圆的离心率的取值范围为 【答案】 ,15设 O 为坐标原点， F1、 F2是 1( a0， b0)的焦点，若在双曲线上存在点 P，满足x2a2 y2b2 F1PF260， OP a，则该双曲线的渐近线方程为_7【答案】 xy0216椭圆 C： 1 及直线 l：(2 m1) x( m1) y7 m4 ( mR)的位置关系是x216 y29_【答案】相交三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17已知向量 1m=（0， x） ， 1n=（1，1） ， 2m=（ x，0） ， 2n=（ y2，1
7、） （其中 x， y 是实数） ，又设向量 = + 2， = 2 1n，且 ，点 P（ x，y）的轨迹为曲线 C.(）求曲线 C 的方程；(）设直线 1:kxyl与曲线 C 交于 M、 N 两点，当| MN|= 324时，求直线 l 的方程.【答案】 （I）由已知， m22(0,),)(,),yyxn(,0)2,.xx/,()2)(0yx即所求曲线的方程是： .12(）由 .04)(:.1,22kxykxy得消 去解得 x1=0, x2= 2,(4分别为 M， N 的横坐标）.由 ,234|1| 221 kxkMN.:解 得所以直线 l 的方程 x y+1=0 或 x+y1=0.18 已知椭圆
8、 132，直线 l 到原点的距离为,23求证：直线 l 与椭圆必有两上交点【答案】当直线 l 垂直 x 轴时，由题意知：,:x不妨取 23x代入曲线 E 的方程得：y即 G（ 23， ） ，H（ 23， ）有两个不同的交点，当直线 l 不垂直 x 轴时，设直线 l 的方程为： bkxy由题意知：)1(43,21| 2kbkb即由036)(:3 222 bxyxy得消 037)1(1)3(146 2222 kkbkbk直线 l 与椭圆 E 交于两点综上，直线 l 必与椭圆 E 交于两点19已知点 ,P，圆 C： 2()5(3)xmy与椭圆 E：21(0)xyab有一个公共点 31A， 2F、 分
9、别是椭圆的左、右焦点，直线 1PF与圆 C相切(）求 m的值与椭圆 的方程.(）设 Q为椭圆 E上的一个动点，求 APQ的取值范围QPOyxF1AC F2【答案】（）点 A 代入圆 C 方程，得 2(3)15m m3， m1 圆 C： 2(1)5xy设直线 PF1的斜率为 k，则 PF1： (4)ykx，即 40k直线 PF1与圆 C 相切， 2|0|5解得 ,2k或当 k 1时，直线 PF1与 x 轴的交点横坐标为 361，不合题意，舍去当 k 2时，直线 PF1与 x 轴的交点横坐标为4， c4 F1（4，0） ， F2（4，0） 2a AF1 AF2 562， 3a， a218， b22
10、椭圆 E 的方程为： 18xy (） (1,3)AP，设 Q（ x， y） ， (3,1)Axy，()6x 218y，即 2318y，而 2(3)|xx ，186 xy18 则 2()618yyxy的取值范围是0，363x的取值范围是6，6 6APQxy的取值范围是 12，0 20已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，椭圆 C 上任意一点到椭圆 C 两个焦点的距x2a2 y2b2 63离之和为 6.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l： y kx2 与椭圆 C 交于 A， B 两点，点 P(0,1)，且| PA| PB|，求直线 l 的方程【答案】(1)由已知 2a6， e ，ca
11、 63解得 a3， c ，所以 b2 a2 c23，6所以椭圆 C 的方程为 1.x29 y23(2)由Error! 得，(13 k2)x212 kx30，因为直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点，所以 144 k212(13 k2)0，解得 k2 19设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， AB 的中点为 E，则 x1 x2 ， x1x2 ，12k1 3k2 31 3k2y1 y2 k(x1 x2)4 k 4 ，12k1 3k2 41 3k2所以 AB 的中点坐标为 E ，(6k1 3k2， 21 3k2)因为| PA| PB|，所以 PE AB， kPEkAB1，所以 k1， 2
12、1 3k2 16k1 3k2解得 k1 或 k1，经检验，符合题意所以直线 l 的方程为 x y20 或 x y20.21已知过抛物线 y22 px(p0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1， y1)， B(x2， y2)2(x1b0)的离心率为 ，右焦点为(2 ，0)斜率为 1 的直线 l 与x2a2 y2b2 63 2椭圆 G 交于 A， B 两点，以 AB 为底边作等腰三角形，顶点为 P(3,2)(1)求椭圆 G 的方程；(2)求 PAB 的面积【答案】(1)由已知得， c2 ， 2ca 63解得 a2 3又 b2 a2 c24，所以椭圆 G 的方程为 1.x212 y24(2)设直线 l 的方程为 y x m，由Error! 得4x26 mx3 m2120.设 A， B 的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)(x1x2)， AB 中点为 E(x0， y0)，则x0 ，x1 x22 3m4y0 x0 m m4因为 AB 是等腰 PAB 的底边，所以 PE AB.所以 PE 的斜率 k 1，解得 m2.2 m4 3 3m4此时方程为 4x212 x0.解得 x13， x20.所以 y11， y22.所以| AB|3 2此时，点 P(3,2)到直线 AB： x y20 的距离d ，| 3 2 2|2 322所以 PAB 的面积 S |AB|d 12 92
