1、学优中考网 第 39 章 猜想、规律与探索一 选择题1. （2011 浙江省，10，3 分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图 A2比图 A1多出 2 个“树枝”， 图 A3比图 A2多出 4 个“树枝”， 图 A4比图 A3多出 8 个“树枝”，照此规律，图 A6比图 A2多出“树枝”（ ）A.28 B.56 C.60 D. 124【答案】C3. （2011 广东肇庆，15，3 分）如图 5 所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 （ 是大于 0 的整数）个图形需要黑色棋子的个数n是 【答案】 )2(n4. （2011 内蒙古乌兰
2、察布，18，4 分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）第 1 个图形 第 1个 图 形 第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形第 18 题图【答案】 或()4n2n5. （2011 湖南益阳，16，8 分）观察下列算式： 1 3 - 22 = 3 - 4 = -1 2 4 - 32 = 8 - 9 = -1 3 5 - 42 = 15 - 16 = -1 （1）请你按以上规律写出第 4 个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由【答案】解： ； 246
3、51答案不唯一.如 ； 2n 21n21nn.6（2011 广东汕头，20，9 分）如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第 8 行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第 8 行共有 个数；（2）用含 n 的代数式表示：第 n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第 n行共有 个数；（3）求第 n 行各数之和【解】（1）64，8，15；（2） ， ， ；2()121（3）第 2 行各数之和等于 33；第 3 行各数之和等于 57；第 4 行各数之和等于77-13；类似的，第 n 行各数之和等于 = .2(1)n321n二 填空题1. （2011 四川绵阳
4、 18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_个图形共有 120 个。【答案】152. （2011 广东东莞，10，4 分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 AFBDCE，它的面积为 1，取ABC 和DEF 各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图 (2)中阴影部分；取A 1B1C1 和 1D1E1F1 各边中点，连接成正六角星形 A2F2B2D2C2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去，则正六角星形 AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .学优中考网 【答案】 14n3. （2011 湖南常德，8，3 分）先找规律，
5、再填数：1111,242563078456+_.0112则【答案】 64. （2011 广东湛江 20,4 分）已知：,23233556,460,4120,54360AAA,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算 （直接写出计算结果） 7，并比较 （填“ ”或“ ”或“=”）59310【答案】 三 解答题1. （2011 山东济宁，18，6 分）观察下面的变形规律： 1 ； ； ；2321431解答下面的问题：（1）若 n 为正整数，请你猜想 ；)1(n（2）证明你猜想的结论；（3）求和： .21342019【答案】（1） 1 分n（2）证明： .3 分n1)1(n)(1()n)(（3）原式1
6、234209 .5 分0912. （2011 湖南邵阳，23，8 分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图（十）所示，在正三角形 ABC 中，M 是 BC 边（不含端点 B，C）上任意一点，P 是BC 延长线上一点，N 是ACP 的平分线上一点，若AMN=60，求证：AM=MN。（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。证明：在 AB 上截取 EA=MC，连结 EM，得AEM。1=180- AMB-AMN，2=180- AMB -B，AMN=B=60，1=2.又CN、平分ACP，4= ACP=60。12MCN=3+4=120。又BA=BC，EA=MC，BA-EA=
7、BC-MC，即 BE=BM。BEM 为等边三角形，6=60。5=10-6=120。由得MCN=5.在AEM 和MCN 中，_,_,_,AEMMCN（ASA）。AM=MN.(2)若将试题中的“正三角形 ABC”改为“正方形 A1B1C1D1”(如图)，N 1是D 1C1P1的平分线上一点，则当A 1M1N1=90时，结论 A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）（3）若将题中的“正三角形 ABC”改为“正多边形 AnBnCnDnXn”，请你猜想：当A nMnNn=_时，结论 AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）【答案】解：（1）5=MCN，AE=MC ，2=
8、1；（2）结论成立；学优中考网 （3） 。0218n3. （2011 四川成都，23,4 分）设 , , , 12=S221=3S21=4S22=1()nS设 ，则 S=_ (用含 n 的代数式表示，其中 n 为正12.nS整数)【答案】 2n= =221()nS211()()nn211()()nn= 2()S= + + + .1()31()41()n12n接下去利用拆项法 即可求和()nn4. （2011 四川内江，加试 5，12 分）同学们，我们曾经研究过 nn 的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为 12+22+32+n2但 n 为 100 时，应如何计算正方形的具体个数呢?下
9、面我们就一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道01+12+23+(n1)n= n(n+1)(n1)时，我们可以这样做：3(1)观察并猜想：12+22=(1+0)1+(1+1)2=1+01+2+12=(1+2)+(01+12)12+22+32=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3=1+01+2+12+3+23=(1+2+3)+(01+12+23)12+22+32+42=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3+ =1+01+2+12+3+23+ =(1+2+3+4)+( )(2)归纳结论：12+22+32+n2=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3+1+(n1)n=1+01+
10、2+12+3+23+n+(n 一 1)n=( ) + = + = 16(3)实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当 n 为 100 时，正方形网格中正方形的总个数是 【答案】（1+3）44+3401+12+23+341+2+3+n01+12+23+(n-1)n1()2nn(n+1)(n1)3n(n+1)(2n+1)5. （2011 广东东莞，20，9 分）如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第 8 行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第 8 行共有 个数；（2）用含 n 的代数式表示：第 n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第 n行共有 个
11、数；（3）求第 n 行各数之和【解】（1）64，8，15；（2） ， ， ；2()121（3）第 2 行各数之和等于 33；第 3 行各数之和等于 57；第 4 行各数之和等于77-13；类似的，第 n 行各数之和等于 = .2(1)n321n6. （2011 四川凉山州，19，6 分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 （n 为正整数）的展开式（按 a 的次数由大到小ab的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应展开式中的系数;第四行的四
12、个数 1，3，3，1，恰好对应着22abab展开式中的系数等等。33学优中考网 111 211 3311 （a+b） 1（a+b） 2（a+b） 3（1）根据上面的规律，写出 的展开式。5ab（2）利用上面的规律计算： 43221051【答案】解： 54324abab原式= 3454 21 1 = 5(2)=1 注：不用以上规律计算不给分.7. （2011 四川凉山州，20，7 分）如图， 是平行四边形 的对角线 上的EF、 ABCD点， ，请你猜想：线段 与线段 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。CEAFBDB CDEFA20 题图【答案】猜想： 。ED证明： 四边形 ABCD 是平行四边形 ， AB CF在 和 EDA BC F ， A 即 。EF学优中考!，网
