1、图形的相似与位似一、选择题1. （2014山东潍坊，第 8 题 3 分）如图，已知矩形 ABCD 的长 AB 为 5，宽 BC 为 4 E 是BC 边上的一个动点， AE上 EF,EF 交 CD 于点 F设 BE=x,FC=y，则点 E 从点 B 运动到点C 时，能表示 y 关于 x 的函数关系的大致图象是（ ）考点：动点问题的函数图象分析：易证 ABE ECF，根据相似比得出函数表达式，在判断图像.解答：因为 ABE ECF，则 BE： CF=AB： EC，即 x： y=5：（4 x） y，整理，得 y= 51（ x 2） 2+ 4，很明显函数图象是开口向下、顶点坐标是（2， 5）的抛物线对
2、应 A 选项故选： A点评：此题考查了动点问题的函数图象，关键列出动点的函数关系，再判断选项2. (2014年山东东营,第 7 题 3 分)下列关于位似图形的表述：相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；位似图形一定有位似中心；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比其中正确命题的序号是（ ）A B C D 考点： 位似变换；命题与定理菁优网分析： 利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可解答： 解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故此选项错误；位似图形一定有位似中
3、心，此选项正确；如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，此选项正确；位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比，此选项错误正确的选项为故选：A点评： 此题主要考查了位似图形的性质与定义，熟练掌握位似图形的性质是解题关键3.（2014四川凉山州，第 7 题，4 分）如果两个相似多边形面积的比为 1：5，则它们的相似比为（ ）A 1：25 B 1：5 C 1：2.5 D 1：考点： 相似多边形的性质分析： 根据相似多边形的面积的比等于相似比的平方解答解答： 解：两个相似多边形面积的比为 1：5，它们的相似比为 1： 故选 D点评： 本题
4、考查了相似多边形的性质，熟记性质是解题的关键4 （2014四川泸州，第 11 题，3 分）如图，在直角梯形 ABCD 中， DC AB， DAB=90，AC BC， AC=BC， ABC 的平分线分别交 AD、 AC 于点 E， F，则 的值是（ ）ABCD解答： 解：作 FG AB 于点 G， DAB=90， AE FG， = ， AC BC， ACB=90，又 BE 是 ABC 的平分线， FG=FC，在 RT BGF 和 RT BCF 中， RT BGF RT BCF（ HL） ， CB=GB， AC=BC， CBA=45， AB= BC， = = = = +1故选： C点评： 本题主要
5、考查了平行线分线段成比例，全等三角形及角平分线的知识，解题的关键是找出线段之间的关系， CB=GB， AB= BC 再利用比例式求解5 （2014四川内江，第 10 题，3 分）如图，RtABC 中，ACB=90，AC=4，BC=6，以斜边 AB 上的一点 O 为圆心所作的半圆分别与 AC、BC 相切于点 D、E，则 AD 为（ ）A 2.5 B 1.6 C 1.5 D 1考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质分析： 连接 OD、OE，先设 AD=x，再证明四边形 ODCE 是矩形，可得出 OD=CE，OE=CD，从而得出 CD=CE=4x，BE=6（4x） ，可证明AODOBE，再由比例
6、式得出 AD 的长即可解答： 解：连接 OD、OE，设 AD=x，半圆分别与 AC、BC 相切，CDO=CEO=90，C=90，四边形 ODCE 是矩形，OD=CE，OE=CD，CD=CE=4x，BE=6（4x）=x+2，AOD+A=90，AOD+BOE=90，A=BOE，AODOBE， = ， = ，解得 x=1.6，故选 B点评： 本题考查了切线的性质相似三角形的性质与判定，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形，证明三角形相似解决有关问题6.（2014甘肃白银、临夏,第 10 题 3 分）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，点 E 在
7、CB 延长线上，连接 ED 交 AB 于点 F， AF=x（0.2 x0.8） ， EC=y则在下面函数图象中，大致能反映 y 与 x 之闻函数关系的是（ ）ABCD考点： 动点问题的函数图象分析： 通过相似三角形 EFB EDC 的对应边成比例列出比例式 = ，从而得到 y与 x 之间函数关系式，从而推知该函数图象解答： 解：根据题意知， BF=1 x， BE=y1，且 EFB EDC，则 = ，即 = ，所以 y=（0.2 x0.8） ，该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分A、 D 的图象都是直线的一部分， B 的图象是抛物线的一部分， C 的图象是双曲线的一部分故选 C点评： 本题考
8、查了动点问题的函数图象解题时，注意自变量 x 的取值范围4.5.6.7.8.二、填空题1.（2014湖南怀化，第 11 题，3 分）如图，D、E 分别是ABC 的边 AB、AC 上的中点，则SADE ：S ABC = 1：4 考点： 三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质分析： 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 DEBC 且 DE=BC，再求出ADE 和ABC 相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答解答： 解：D、E 是边 AB、AC 上的中点，DE 是ABC 的中位线，DEBC 且 DE=BC，ADEABC，S ADE ：S ABC =（1：2） 2=1：4
9、故答案为：1：4点评： 本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，相似三角形的判定与性质，熟记定理与性质是解题的关键2.（2014湖南张家界，第 10 题，3 分）如图，ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，则ADE 与ABC 的面积比为 1：4 考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理分析： 根据三角形的中位线得出 DE=BC，DEBC，推出ADEABC，根据相似三角形的性质得出即可解答： 解：D、E 分别为 AB、AC 的中点，DE=BC，DEBC，ADEABC， =（ ）2=，故答案为：1：4点评： 本题考查了三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注
10、意：相似三角形的面积比等于相似比的平方3.（2014遵义 17 （4 分） ） “今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自九章算术 ，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙 AB 长 9 里，南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E、南门点 F 分别是 AB，AD 的中点，EGAB，FEAD，EG=15 里，HG 经过 A 点，则 FH= 1.05 里考点： 相似三角形的应用分析： 首先根据题意得到GEAAFH，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式求得答案即可解答： 解：EGAB，FEAD，HG 经过 A 点，FAEG，EAFH，HF
11、A=AEG=90，FHA=EAG，GEAAFH， AB=9 里，DA=7 里，EG=15 里，FA=3.5 里，EA=4.5 里， ，解得：FH=1.05 里故答案为：1.05点评： 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大4.（2014娄底 17 （3 分） ）如图，小明用长为 3m 的竹竿 CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离 DB=12m，则旗杆 AB 的高为 9 m考点： 相似三角形的应用分析： 根据OCD 和OAB 相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可解答： 解：由题意得，CDAB，OCDOAB， =
12、，即 = ，解得 AB=9故答案为：9点评： 本题考查了相似三角形的应用，是基础题，熟记相似三角形对应边成比例是解题的关键5. (2014 年湖北咸宁 16 （3 分）)如图，在ABC 中，AB=AC=10，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B，C 重合） ，ADE=B=，DE 交 AC 于点 E，且 cos=下列结论：ADEACD；当 BD=6 时，ABD 与DCE 全等；DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或 ；0CE6.4其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网分析： 根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明由 B
13、D=6，则 DC=10，然后根据有两组对应角相等且夹边也相等的三角形全等，即可证得分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得依据相似三角形对应边成比例即可求得解答： 解：AB=AC，B=C，又ADE=BADE=C，ADEACD；故结论正确，AB=AC=10，ADE=B=，cos=，BC=16，BD=6，DC=10，AB=DC，在ABD 与DCE 中，ABDDCE（ASA） 故正确，当AED=90时，由可知：ADEACD，ADC=AED，AED=90，ADC=90，即 ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B= 且 cos=AB=10，BD=8当CDE=90时，易CDEBAD，CDE=90，BA
14、DF=90，B= 且 cos=AB=10，cosB= =，BD= 故正确易证得CDEBAD，由可知 BC=16，设 BD=y，CE=x， = ， =，整理得：y 216y+64=6410x，即（y8） 2=6410x，0y8，0x6.4故正确点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及利用三角函数求边长等6 （2014四川遂宁，第 15 题，4 分）已知：如图，在 ABC 中，点 A1， B1， C1分别是BC、 AC、 AB 的中点， A2， B2， C2分别是 B1C1， A1C1， A1B1的中点，依此类推若 ABC 的周长为 1，则 AnBnCn的周长为 考点：
15、 三角形中位线定理专题： 规律型分析： 由于 A1、 B1、 C1分别是 ABC 的边 BC、 CA、 AB 的中点，就可以得出 A1B1C1ABC，且相似比为， A2B2C2 ABC 的相似比为 ，依此类推 AnBnCn ABC 的相似比为，解答： 解： A1、 B1、 C1分别是 ABC 的边 BC、 CA、 AB 的中点， A1B1、 A1C1、 B1C1是 ABC 的中位线， A1B1C1 ABC，且相似比为， A2、 B2、 C2分别是 A1B1C1的边 B1C1、 C1A1、 A1B1的中点， A2B2C2 A1B1C1且相似比为， A2B2C2 ABC 的相似比为依此类推 AnB
16、nCn ABC 的相似比为 ， ABC 的周长为 1， AnBnCn的周长为 故答案为 点评： 本题考查了三角形中位线定理的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解题的关键是有相似三角形的性质：2.3.4.5.6.7.8.三、解答题1. （2014上海，第 23 题 12 分）已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，对角线AC、BD 相交于点 F，点 E 是边 BC 延长线上一点，且CDE=ABD（1）求证：四边形 ACED 是平行四边形；（2）联结 AE，交 BD 于点 G，求证： = 考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定分析： （1）证BAD
17、CDA，推出ABD=ACD=CDE，推出 ACDE 即可；（2）根据平行得出比例式，再根据比例式的性质进行变形，即可得出答案解答： 证明：（1）梯形 ABCD，ADBC，AB=CD，BAD=CDA，在BAD 和CDA 中BADCDA（SAS） ，ABD=ACD，CDE=ABD，ACD=CDE，ACDE，ADCE，四边形 ACED 是平行四边形；（2）ADBC， = ， = ， = ，平行四边形 ACED，AD=CE， = ， = ， = ， = 点评： 本题考查了比例的性质，平行四边形的判定，平行线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中2. （2014四川巴中，
18、第 24 题 7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， ABC 三个顶点坐标分别为 A（2，4） ， B（2，1） ， C（5，2） （1）请画出 ABC 关于 x 轴对称的 A1B1C1（2）将 A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点A2， B2， C2，请画出 A2B2C2（3）求 A1B1C1与 A2B2C2的面积比，即 ： = 1：4 （不写解答过程，直接写出结果） 考点：平面直角坐标系，相似三角形的面积比分析： （1）根据关于 x 轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）根据将 A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得出各点坐标，进而得
19、出答案；（3）利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案解答：（1）如图所示： A1B1C1即为所求；（2）如图所示： A2B2C2即为所求；（3）将 A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以2，得到对应的点A2， B2， C2， A1B1C1与 A2B2C2的相似比为：1：2， ： =1：4故答案为：1：4点评： 此题主要考查了位似变换以及轴对对称变换，得出对应点位置是解题关键3. （2014四川巴中，第 29 题 10 分）如图，已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，以AB 为直径的 O 交 BC 于点 D，过 D 作 MN AC 于点 M，交 AB 的延长线于点 N，过
20、点 B 作BG MN 于 G（1）求证： BGD DMA；（2）求证：直线 MN 是 O 的切线考点：相似三角形的判定，切线的性质分析：（1）根据垂直定义得出 BGD= DMA=90，由圆周角定理、三角形内角和定理、对顶角性质及等角的余角相等得出 DBG= ADM，再根据两角对应相等的两三角形相似即可证明 BGD DMA；（2）连结 OD由三角形中位线的性质得出 OD AC，根据垂直于同一直线的两直线平行得出 AC BG，由平行公理推论得到 OD BG，再由 BG MN，可得 OD MN，然后根据切线的判定定理即可证明直线 MN 是 O 的切线解答：证明：（1） MN AC 于点 M， BG
21、MN 于 G， BGD= DMA=90以 AB 为直径的 O 交 BC 于点 D， AD BC， ADC=90， ADM+ CDM=90， DBG+ BDG=90， CDM= BDG， DBG= ADM在 BGD 与 DMA 中， ， BGD DMA；（2）连结 OD BO=OA， BD=DC， OD 是 ABC 的中位线， OD AC MN AC， BG MN， AC BG， OD BG， BG MN， OD MN，直线 MN 是 O 的切线点评：本题主要考查了切线的判定，相似三角形的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可4. （2014山东潍坊
22、，第 22 题 12 分）如图 1，在正方形 ABCD 中， E、 F 分别为 BC、 CD 的中点，连接 AE、 BF，交点为 G(1)求证： AE BF；(2)将 BCF 沿 BF 对折，得到 BPF（如图 2） ，延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q，求 sin BQP的值；(3)将 ABE 绕点 A 逆时针方向旋转，使边 AB 正好落在 AE 上，得到 AHM（如图 3） ，若 AM和 BF 相交于点 N，当正方形 ABCD 的面积为 4 时，求四边形 GHMN 的面积考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：（1）由四边形 ABCD 是正
23、方形，可得 ABE= BCF=90， AB=BC，又由 BE=CF，即可证得 ABE BCF,可得 BAE= CBF，由 ABF+ CBF=900可得 ABF+ BAE=900，即AE BF；（2）由 BCF BPF, 可得 CF=PF,BC=BP, BFE= BFP，由 CD AB 得 BFC= ABF,从而QB=QF，设 PF 为 x,则 BP 为 2x,在 Rt QBF 中可求 QB 为 25x，即可求得答案；（3）由 )(AMNHG可求出 AGN 的面积，进一步可求出四边形 GHMN 的面积解答：(1)证明： E、 F 分别是正方形 ABCD 边 BC、 CD 的中点， CF=BE，
24、Rt ABE Rt BCF BAE= CBF 又 BAE+ BEA=900， CBF+ BEA=900， BGE=900， AE BF (2)根据题意得： FP=FC， PFB= BFC， FPB=900， CD AB, CFB= ABF， ABF= PFB QF=QB 令 PF=k（ kO） ，则 PB=2k，在 Rt BPQ 中，设 QB=x， x2=(x k)2+4k2, x= 5k， sin BQP= 542kQPB(3)由题意得： BAE= EAM,又 AE BF, AN=AB=2, AHM=900, GN/HM, 2)(AMNHG 54)(12G 四边形 GHMN=SAHM SAG
25、N =1 一 54= 答：四边形 GHMN 的面积是 .点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用5. （2014山东烟台，第 24 题 8 分）如图， AB 是 O 的直径，延长 AB 至 P，使 BP=OB， BD垂直于弦 BC，垂足为点 B，点 D 在 PC 上设 PCB= ， POC= 求证：tan tan =考点：圆的基本性质，相似三角形的判定，锐角三角函数.分析：连接 AC 先求出 PBD PAC，再求出 =，最后得到 tan tan =解答：证明：连
26、接 AC，则 A= POC= ， AB 是 O 的直径， ACB=90， tan = ， BD AC， BPD= A， P= P， PBD PAC， = ， PB=0B=OA， =， tanatan = = =点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质及圆周角的知识，本题解题的关键是求出 PBD PAC，再求出 tan tan =6.（( 2014 年河南) 20.9 分）如图，在直角梯形 OABC 中， BC/AO， AOC=900，点 A、 B的坐标分别为(5,0)、(2,6)，点 D 为 AB 上一点，且 BD=2AD.双曲线 y= kx（ x0）经过点 D,交BC 于点 E.（1）求双
27、曲线的解析式；（2）求四边形 ODBE 的面积。解：（1）过点 B、 D 作 x 轴的的垂线，垂足分别为点 M、 N. A (5.0)、 B（2，6）， OM=BC=2,BM=OC=6,AM=3 DN BM, AND ABM. 13NM DN =2,AN=1, ON=4点 D 的坐标为(4,2)3 分DEOBAC xyMN又 双曲线 y= kx(x0)经过点 D， k=24=8双曲线的解析式为 y= 85 分（2）点 E 在 BC 上，点 E 的纵坐标为 6.又点 E 在双曲线 y= x上，点 E 的坐标为( 43,6), CE= 7 分 S 四边形 ODBE=S 梯形 OABC S OCE
28、S AOD= 12(BC+OA)OC 12OCCE 12OADN= (2+5)6 6 43 52=12四边形 ODBE 的面积为 12. 9 分7. （2014江苏盐城,第 25 题 10 分）菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作一条直线分别交 DA、BC 的延长线于点 E、F，连接 BE、DF（1）求证：四边形 BFDE 是平行四边形；（2）若 EFAB，垂足为 M，tanMBO=，求 EM：MF 的值考点： 菱形的性质；平行四边形的判定分析： （1）根据两直线平行，内错角相等可得AEO=CFO，然后利用“角角边”证明AEO 和CFO 全等，根据全等三角形对应边
29、相等可得 OE=OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可；（2）设 OM=x，根据MBO 的正切值表示出 BM，再根据AOM 和OBM 相似，利用相似三角形对应边成比例求出 AM，然后根据AEM 和BFM 相似，利用相似三角形对应边成比例求解即可解答： （1）证明：在菱形 ABCD 中，ADBC，OA=OC，OB=OD，AEO=CFO，在AEO 和CFO 中，AEOCFO（AAS） ，OE=OF，又OB=OD，四边形 BFDE 是平行四边形；（2）解：设 OM=x，EFAB，tanMBO=，BM=2x，又ACBD，AOMOBM， = ，AM= =x，ADBC，AEMBFM，EM：
30、MF=AM：BM=x：2x=1：4点评： 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难点在于（2）两次求出三角形相似8. (2014年山东东营,第 24 题 11 分)【探究发现】如图 1，ABC 是等边三角形，AEF=60，EF 交等边三角形外角平分线 CF 所在的直线于点 F，当点 E 是 BC 的中点时，有 AE=EF 成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究 AE、EF 的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点 E 是直线 BC 上（B，C 除外）任意一点时（其它条件不变） ，结论 AE=EF 仍然成立假如你是该
31、兴趣小组中的一员，请你从“点 E 是线段 BC 上的任意一点” ；“点 E 时线段 BC延长线上的任意一点” ；“点 E 时线段 BC 反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图 2 中画出图形，并证明 AE=EF【拓展应用】当点 E 在线段 BC 的延长线上时，若 CE=BC，在图 3 中画出图形，并运用上述结论求出 SABC ：S AEF 的值考点： 相似形综合题菁优网分析： 根据等边三角形的性质，可得 AB=BC，B=ACB=60，根据三角形外角的性质，可得AEC=B+GAE=60+GAE，根据 ASA，可得AGEECF（，根据全等三角形的性质，可得结论；根据等边三角形的判定
32、，可得AEF 是等边三角形，根据根据等边三角形像似，可得ABC与AEF 的关系，根据等腰三角形的性质，可得 AC 与 AH 的关系，AC 与 AE 的关系，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得答案解答： 证明：如图一，在 B 上截取 AG，使 AG=EC，连接 EG，ABC 是等边三角形，AB=BC，B=ACB=60AG=EC，BG=BE，BEG 是等边三角形，BGE=60，AGE=120FC 是外角的平分线，ECF=120=AGEAEC 是ABE 的外角，AEC=B+GAE=60+GAEAEC=AEF+FEC=60+FEC，GAE=FEC在AGE 和ECF 中 ，AGEECF（ASA
33、） ，AE=EF；拓展应用：如图二：作 CHAE 于 H 点，AHC=90由数学思考得 AE=EF，又AEF=60，AEF 是等边三角形，ABCAEFCE=BC=AC，ABC 是等边三角形，CAH=30，AH=EHCH=AC，AH= AC，AE= AC， = =点评： 本题考查了相似形综合题，利用了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键，题目稍有难度9. （2014山东淄博,第 23 题 9 分）如图，四边形 ABCD 中，ACBD 交 BD 于点 E，点 F，M分别是 AB，BC 的中点，BN 平分ABE 交 AM 于点 N，AB=AC=BD连接 MF，NF
34、（1）判断BMN 的形状，并证明你的结论；（2）判断MFN 与BDC 之间的关系，并说明理由考点： 相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形中位线定理菁优网分析： （1）根据等腰三角形的性质，可得 AM 是高线、顶角的角平分线，根据直角三角形的性质，可得EAB+EBA=90，根据三角形外角的性质，可得答案；（2）根据三角形中位线的性质，可得 MF 与 AC 的关系，根据等量代换，可得 MF 与 BD 的关系，根据等腰直角三角形，可得 BM 与 NM 的关系，根据等量代换，可得 NM 与 BC 的关系，根据同角的余角相等，可得CBD 与NMF 的关系，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角
35、形相似，可得答案解答： （1）答：BMN 是等腰直角三角形证明：AB=AC，点 M 是 BC 的中点，AMBC，AM 平分BACBN 平分ABE，ACBD，AEB=90，EAB+EBA=90，MNB=NAB+ABN=（BAE+ABE）=45BMN 是等腰直角三角形；（2）答：MFNBDC证明：点 F，M 分别是 AB，BC 的中点，FMAC，FM=ACAC=BD，FM=BD，即 BMN 是等腰直角三角形，NM=BM=BC，即 ， AMBC，NMF+FMB=90FMAC，ACB=FMBCEB=90，ACB+CBD=90CBD+FMB=90，NMF=CBDMFNBDC点评： 本题考查了相似三角形的
36、判定与性质，利用了锐角是 45的直角三角形是等腰直角三角形，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似10（2014四川凉山州，第 27 题，8 分）已知：如图， P 是 O 外一点，过点 P 引圆的切线 PC（ C 为切点）和割线 PAB，分别交 O 于 A、 B，连接 AC， BC（1）求证： PCA= PBC；（2）利用（1）的结论，已知 PA=3， PB=5，求 PC 的长考点： 切线的性质；相似三角形的判定与性质分析： （1）连结 OC， OA，先根据等腰三角形的性质得出 ACO= CAO，再由 PC 是 O 的切线， C 为切点得出 PCO=90， PCA+ ACO=90，在 AOC
37、 中根据三角形内角和定理可知 ACO+ CAO+ AOC=180，由圆周角定理可知 AOC=2 PBC，故可得出 ACO+ PBC=90，再根据 PCA+ ACO=90即可得出结论；（2）先根据相似三角形的判定定理得出 PAC PCB，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论解答： （1）证明：连结 OC， OA， OC=OA， ACO= CAO， PC 是 O 的切线， C 为切点， PC OC， PCO=90， PCA+ ACO=90，在 AOC 中， ACO+ CAO+ AOC=180， AOC=2 PBC，2 ACO+2 PBC=180， ACO+ PBC=90， PCA+ ACO=90
38、， PCA= PBC；（2）解： PCA= PBC， CPA= BPC， PAC PCB， = ， PC2=PAPB， PA=3， PB=5， PC= = 点评： 本题考查的是切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键11 （2014四川内江，第 26 题，12 分）如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的点（不与点B、C 重合） ，连结 AD问题引入：（1）如图，当点 D 是 BC 边上的中点时，S ABD ：S ABC = 1：2 ；当点 D 是 BC 边上任意一点时，S ABD ：S ABC = BD：BC （用图中已有线段表示） 探索研究：（2）如图，在ABC 中，O
39、 点是线段 AD 上一点（不与点 A、D 重合） ，连结 BO、CO，试猜想 SBOC 与 SABC 之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由拓展应用：（3）如图，O 是线段 AD 上一点（不与点 A、D 重合） ，连结 BO 并延长交 AC 于点 F，连结CO 并延长交 AB 于点 E，试猜想 + + 的值，并说明理由考点： 相似形综合题分析： （1）根据三角形的面积公式，两三角形等高时，可得两三角形底与面积的关系，可得答案；（2）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，可得答案；（3）根据三角形的面积公式，两三角形等底时，可得两三角形的高与面积的关系，再根据分
40、式的加减，可得答案解答： 解：（1）如图，当点 D 是 BC 边上的中点时，S ABD ：S ABC =1：2；当点 D 是 BC 边上任意一点时，S ABD ：S ABC =BD：BC，故答案为：1：2，BD：BC；（2）S BOC ：S ABC =OD：AD，如图作 OEBC 与 E，作 AFBC 与 F， ，OEAF，OEDAFD， ， ；（3） + + =1，理由如下：由（2）得 ， ， + + =1点评： 本题考查了相似形综合题，利用了等底的三角形面积与高的关系，相似三角形的判定与性质12 （2014四川南充，第 25 题，10 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x1
41、 交于A、 B 两点点 A 的横坐标为3，点 B 在 y 轴上，点 P 是 y 轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为 m，过点 P 作 PC x 轴于 C，交直线 AB 于 D（1）求抛物线的解析式；（2）当 m 为何值时， S 四边形 OBDC=2S BPD；（3）是否存在点 P，使 PAD 是直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由分析（1）由 x=0 时带入 y=x1 求出 y 的值求出 B 的坐标，当 x=3 时，代入 y=x1 求出y 的值就可以求出 A 的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式；（2）连结 OP，由 P 点的横坐标为 m 可以表示出 P、 D 的坐
42、标，可以表示出 S 四边形 OBDC和2S BPD建立方程求出其解即可（3）如图 2，当 APD=90时，设出 P 点的坐标，就可以表示出 D 的坐标，由 APDFCD 就可与求出结论，如图 3，当 PAD=90时，作 AE x 轴于 E，就有 ，可以表示出 AD，再由 PAD FEA 由相似三角形的性质就可以求出结论解：（1） y=x1， x=0 时， y=1， B（0，1） 当 x=3 时， y=4， A（3，4） y=x2+bx+c 与直线 y=x1 交于 A、 B 两点， ， ，抛物线的解析式为： y=x2+4x1；（2） P 点横坐标是 m（ m0） ， P（ m， m2+4m1）
43、， D（ m， m1）如图 1，作 BE PC 于 E， BE= mCD=1 m， OB=1， OC= m， CP=14 m m2， PD=14 m m21+ m=3 m m2， ，解得： m1=0（舍去） ， m2=2， m3=；如图 1，作 BE PC 于 E， BE= mPD=14 m m2+1 m=24 m m2， ，解得： m=0（舍去）或 m=3， m=，2 或3 时 S 四边形 OBDC=2S BPD；（3） ）如图 2，当 APD=90时，设 P（ a， a2+4a1） ，则 D（ a， a1） ， AP=m+4， CD=1 m， OC= m， CP=14 m m2， DP=1
44、4 m m21+ m=3 m m2在 y=x1 中，当 y=0 时， x=1，（1，0） ， OF=1， CF=1 m AF=4 PC x 轴， PCF=90， PCF= APD， CF AP， APD FCD， ， ，解得： m=1 舍去或 m=2， P（2，5）如图 3，当 PAD=90时，作 AE x 轴于 E， AEF=90 CE=3 m， EF=4， AF=4 ， PD=1 m（14 m m2）=3 m+m2 PC x 轴， DCF=90， DCF= AEF， AE CD ， AD= （3 m） PAD FEA， ， ， m=2 或 m=3 P（2，5）或（3，4）与点 A 重合，舍去， P（2，5） 点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，四边形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时函数的解析式是关键，用相似三角形的性质求解是难点
