1、勾股定理的逆定理一、选择题(每小题 4 分,共 12 分)1.如图,每个小正方形的边长为 1,A,B,C 是小正方形的顶点,则ABC 的度数为( )A.90 B.60 C.45 D.302.如图所示,在由单位正方形组成的网格图中标有 AB,CD,EF,GH 四条线段,其中能构成直角三角形三边的线段是( )A.CD,EF,GHB.AB,EF,GHC.AB,CD,GHD.AB,CD,EF3.将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形( )A.仍是直角三角形 B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)4.把命题“如果直角三角
2、形的两直角边长分别为 a,b,斜边长为 c,那么 a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果,那么”的形式: .5.观察以下几组勾股数,并寻找规律:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;请你写出有以上规律的第组勾股数: .6.若 a,b,c 是直角三角形的三条边长,斜边 c 上的高的长是 h,给出下列结论:以 a2,b2,c2的长为边的三条线段能组成一个三角形;以 , , 的长为边的三条线段能组成一个三角形;以 a+b,c+h,h 的长为边的三条线段能组成直角三角形;以 , , 的长为边的三条线段能组成直角三角形.其中所有正确结论的序号为 .三、解答题(共 26 分)7.(8
3、 分)如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile 的 A,B 两个基地前去拦截,六分钟后同时到达 C 地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行 120nmile,乙巡逻艇每小时航行 50nmile,航向为北偏西 40,问:甲巡逻艇的航向是多少?8.(8 分)如图,每个小正方形的边长均为 1.求四边形 ABCD 的面积和周长(精确到 0.1).【拓展延伸】9.(10 分)王伟准备用一段长 30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为am,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的 2 倍多 2m.(1)请用 a 表示第三
4、条边长.(2)问第一条边长可以为 7m 吗?为什么?请说明理由,并求出 a 的取值范围.(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为整数?若能,说出你的围法;若不能,请说明理由.答案解析1.【解析】选 C.根据勾股定理可以得到:AC=BC= ,AB= .( )2+( )2=( )2,AC 2+BC2=AB2.ABC 是等腰直角三角形.ABC=45.2.【解析】选 B.AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,所以 AB2+EF2=GH2.3.【解析】选 A.设直角三角形的三边分别为 a,b,c,且满足 a2+b2=c2,扩大相
5、同倍数后各边分别为na,nb,nc,因为(na) 2+(nb)2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2,所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形.4.【解析】逆命题为:三角形三边长 a,b,c,满足 a2+b2=c2,这个三角形是直角三角形,逆命题改写成“如果,那么”的形式:如果三角形三边长 a,b,c,满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.答案:如果三角形三边长 a,b,c,满足 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形5.【解析】从上边可以发现第一个数是奇数,且逐步递增 2,故第 5 组第一个数是 11,又发现第二、第三个数相差为 1,故设第二个数为 x,则第三
6、个数为 x+1,根据勾股定理得:11 2+x2=(x+1)2,解得 x=60,则得第组勾股数是 11,60,61.答案:11,60,616.【解析】直角三角形的三条边满足勾股定理 a2+b2=c2,因而以 a2,b2,c2的长为边的三条线段不能满足两边之和大于第三边,故不能组成一个三角形,故错误;直角三角形的三边有 a+bc(a,b,c 中 c 最大),而在 , , 三个数中 最大,如果能组成一个三角形,则有 + 成立,即( + )2( )2,即a+b+2 c(由 a+bc),则不等式成立,从而满足两边之和大于第三边,则以 , , 的长为边的三条线段能组成一个三角形,故正确;a+b,c+h,h
7、 这三个数中 c+h 一定最大,(a+b) 2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch,又2ab=2ch=4S ABC ,(a+b) 2+h2=(c+h)2,根据勾股定理的逆定理即以 a+b,c+h,h 的长为边的三条线段能组成直角三角形,故正确;假设 a=3,b=4,c=5,则 , , 的长为 , , ,以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角形,故错误.答案:7.【解析】AC=120 =12(nmile),BC=50 =5(nmile),又因为 AB=13nmile,所以 AC2+BC2=AB2,所以ABC 是直角三角形,可知CAB+CBA=90,由CBA=5
8、0,知CAB=40,所以甲巡逻艇的航向为北偏东50.8.【解析】根据勾股定理得到:AD= = ,AB= = ,CD= =5;BC= = ,四边形 ABCD 的周长是AB+BC+CD+AD= + +5+ 18.8.连接 AC,BD,则 AC= =5.(2 )2+( )2=52,52+52=(5 )2,AB 2+BC2=AC2,AC2+CD2=AD2.ABC 和ACD 是直角.四边形 ABCD 的面积=直角ABC 的面积+直角ACD 的面积= BCAB+ ACCD=17.5.【归纳整合】勾股定理与其逆定理的联系和区别联系:(1)两者都与 a2+b2=c2有关.(2)两者所讨论的问题都是直角三角形.
9、区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形三边的数量关系,“a2+b2=c2”;勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足 a2+b2=c2”为条件,进而得到“这个三角形是直角三角形”,是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法.9.【解析】(1)第二条边长为 2a +2,第三条边长为 30-a-(2a +2)=28-3a.(2)当 a =7 时,三边长分别为 7,16,7.由于 7+716,所以不能构成三角形,即第一条边长不能为 7m.由 可解得 a ,即 a 的取值范围是 a .(3)在(2)的条件下,a 为整数时,a 只能取 5 或 6.当 a =5 时,三角形的三边长分别为 5,12,13.由 52+122=132知,恰好能构成直角三角形.当 a =6 时,三角形的三边长分别为 6,14,10.由 62+10214 2知,此时不能构成直角三角形.综上所述,能围成满足条件的小圈,它们的三边长分别为 5m,12m,13m.
