1、2011 年全国各地中考试题压轴题精选讲座五抛物线与几何问题(浙江省宁波滨海学校数学组)【知识纵横】抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式： (a0)；2、顶点式：y =a(xh) 2yxbc2- k； 3、交点式：y=a(x x 1)(xx 2 ) ，这里 x 1、 x 2 是方程 ax 2 +bx+c=0 的两个实根。解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。【典型例题】来源:xyzkw.Com【例 1】 （浙江宁波）如图，平面直角坐标系 中，点 A 的坐标为（2，2）,点 B 的坐标为Oxy（6，
2、6） ，抛物线经过 A、O、B 三点，连结 OA、OB、AB ，线段 AB 交 轴于点 Ey（1） 求点 E 的坐标；（2） 求抛物线的函数解析式；（3） 点 F 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合） ，直线 EF 与抛物线交于 M、N 两点（点 N 在 轴右侧） ，连结yON、BN，当点 F 在线段 OB 上运动时，求BON 面积的最大值，并求出此时点 N 的坐标；（4） 连结 AN，当BON 面积最大时，在坐标平面内求使得 BOP 与OAN 相似（点B、O、P 分别与点 O、A、N 对应）的点 P 的坐标【思路点拨】 （1）根据 A、B 两点坐标求直线 AB 的解析式，令 =
3、0，即可求 E 点坐标。 （2）列方x程组求 、 的值。 （3）依题意，设 N ，求出BON 面积关于 的函数表达式，用ab21 ,4xx二次函数的最值原理，可求 N 点的坐标。 （4）根据三角形相似的性质得到BO：OA=OP：AN=BP：ON，然后根据勾股定理即可求出点 P 的坐标。【例 2】 （天津）已知抛物线 ： 点 F(1，1)1C21yx() 求抛物线 的顶点坐标；1学优中考网 () 若抛物线 与 轴的交点为 A连接 AF，并延长交抛物线 于点 B，求证：1Cy 1C12AF抛物线 上任意一点 P（ ）)（ ） 连接 PF并延长交抛物线 于点 Q（Px， 01Px1） ，试判断 是否
4、成立？请说明理由；Qxy， 12FQ() 将抛物线 作适当的平移得抛物线 ： ，若 时 恒成立，1C2C21()yxhxm2yx求 m 的最大值【思路点拨】(I) 只要把二次函数变形为 的形式即可。 (II) 求出 AF 和 BF2yaxmn即可证明。应用勾股定理和相似三角形的判定和性质求出 PF 和 QF 即可。() 应用图象平移和抛物线的性质来证明。【例 3】 （浙江省）如图，在直角坐标系中，抛物线 与 轴交与点20yaxbcxA（1,0） 、B（3,0）两点，抛物线交 轴于y点 C（0,3 ） ，点 D 为抛物线的顶点直线交抛物线于点 M、N 两点，过线段1yxMN 上一点 P 作 轴的
5、平行线交抛物线于点yQ(1)求此抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；(2)问点 P 在何处时，线段 PQ 最长，最长为多少？(3)设 E 为线段 OC 上的三等分点，连接 EP，EQ，若 EP=EQ，求点 P 的坐标【思路点拨】 （1）由待定系数法可求抛物线的解析式，化为顶点式可求顶点坐标。 （2）把线段 PQ用含 P( , 1) ，Q ( , )来表示，用二次函数的最值原理可求。xx23x【例 4】 （四川成都）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC 的 A、B 两个顶点在 轴上，x顶点 C 在 轴的负半轴上已知 |OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，ABC 的面积 SABC =
6、15，抛物线y）经过 A、B、C 三点2(0)axbc（1）求此抛物线的函数表达式；（2）设 E 是 轴右侧抛物线上异于点 B 的一个动点，过点 E 作 轴的平行线交抛物线于另一点y xF，过点 F 作 FG 垂直于 轴于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于 轴于点 H，得到矩形 EFGH则在x点 E 的运动过程中，当矩形 EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于 B、C 的点 M，使MBC 中 BC 边上的高为错误！未找到引用源。？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】 （1） 由已知 设 ，根据题意求 的值。OA(0)tt （2）设 E
7、点坐标为 ，抛物线对称轴为 =2，根据2(45)x， x EHF，列方程求解。 （3）利用直线解析式与抛物线解析式联立，求 M 点 的坐标。【学力训练】学优中考网 1、 （浙江绍兴）抛物线 与 轴交于点 A，顶点为 B，对称轴 BC 与 轴交于点2134yxy xC（1）如图 1求点 A 的坐标及线段 OC 的长；（2）点 P 在抛物线上，直线 PQBC 交 x 轴于点 Q，连接 BQ若含 45角的直角三角板如图 2 所示放置其中，一个顶点与点 C 重合，直角顶点 D 在 BQ 上，另一 个顶点 E 在 PQ 上求直线 BQ 的函数解析式；若含 30角的直角三角板一个顶点与点 C 重合，直角顶
8、点 D 在直线 BQ 上，另一个顶点 E 在PQ 上，求点 P 的坐标2、 （浙江衢州）已知两直线 l1，l 2 分别经过点 A（1，0） ，点 B（3，0） ，并且当两直线同时相交于 正半轴的点 C 时，恰好有 l1l2，经过点 A、B 、 C 的抛y物线的对称轴与直线 l2 交于点 K，如图所示（1）求点 C 的坐标，并求出抛物线的函数解析式；（2）抛物线的对称轴被直线 l1，抛物线，直线 l2 和 轴依次截得x三条线段，问这三条线段有何数量关系？请说明理由；来源 :学优中考网 xyzkw（3）当直线 l2 绕点 C 旋转时，与抛物线的另一个交点为 M，请找出使MCK 为等腰三角形的点 M
9、，简述理由，并写出点 M 的坐标3、 （广西桂林）已知二次函数 错误！未找到引用源。 的图象如图2134yx（1）求它的对称轴与 轴交点 D 的坐标；x（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与 轴， 轴的交点分别为xyA、B、 C 三点，若 ACB=90，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为 M，以 AB 为直径，D 为圆心作D，试判断直线 CM与D 的位置关系，并说明理由学优中考网 4、 （山东日照）如图，抛物线 与双曲线 相交于点 A，B 已知点 B 的20yaxbkyx坐标为（2，2） ，点 A 在第一象限内，且 tanAOX 错误！未找到引用源。
10、4过点 A 作直线AC 轴，交抛物线于另一点 Cx（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点 D，使ABD 的面积等于ABC的面积若存在，请你写出点 D 的坐标；若不存在，请你说明理由5、 （湖北黄冈）如图所示，过点 F（0，1）的直线 y=kx+b 与抛物线 y= x2 错误！未找到引用14源。交于 M（x 1，y 1）和 N（ x2，y 2）两点（其中 x10，x 20） （1）求 b 的值（2）求 x1x2 的值（3）分别过 M，N 作直线 l：y=1 的垂线，垂足分别是 M1 和 N1判断M 1FN1 的形状，并证明你的结论（4）对于过点 F
11、的任意直线 MN，是否存在一条定直线 m，使 m 与以 MN 为直径的圆相切如果有，请求出这条直线 m 的解析式；如果没有，请说明理由来源:学优中考网学优中考网 抛物线与几何问题的参考答案【典型例题】【例 1】 （浙江宁波）解：（1）设 ， 将点 A（2，2）,点 B 6，6）代入得nmxy得 。 。63,1nm321xy当 时， 。 点 E 的坐标（0，3） 。 0xy（2）设抛物线的函数解析式为 ，bxay2将 A（2，2）,点 B 6，6）代入得解得 。抛物线的解析式为 。634ba21,4xy214（4）过点 A 作 ASGQ 于 SA（2，2） , B（6，6） ， N（3， ） ，
12、4AOE=OAS=BOH= 45, OG=3，NG= ，NS= ，AS=5。45在 RtSAN 和 RtNOG 中，tanSAN=tan NOG= 。SAN= NOG。1OAS SAN= BOG NOG。 OAN=BON 。ON 的延长线上存在一点 P，使BOPOAN。A（2，2） , N（3， ） ，4在 RtASN 中， AN= 。22517AS+4当BOP OAN 时， ，即 ，得 OP= 。OBPN6OP2517445过点 P 作 PTx 轴于点 T，OPTONG 。 。 PG1O4设 P（ ） ， ，解得， （舍） 。4 ,t2)(t2)75( 415,21tt点 P 的坐标为 将O
13、PT 沿直线 OB 翻折，可得出另一个满足条件的点 P 。 1,5 )15,4(由以上推理可知，当点 P 的坐标为 或 时，BOP 与OAN 相似。)45,1()1,(学优中考网 RtPMF 中，有勾股定理，得 2222PPPFM(1)()xy又点 P（ ）在抛物线 上，得 ，Pxy， 1CP()yx即 2(1) ，即 。2PPF()yyPFy过点 Q（ ）作 QNAB，与 AB 的延长线交于点 N，x，同理可得 PMF=QNF=90 ，MFP=NFQ，QyPMFQNF。 ，这里 ， 。PFMNP1FyQN1Fy ，即 。1Q2FQ() 令 ，设其图象与抛物线 交点的横坐标为 ， ，且 ，3y
14、x2C0x0x抛物线 可以看作是抛物线 左右平移得到的，2C1yx观察图象随着抛物线 向右不断平移， ， 的值不断增大，20当满足 ， 恒成立时，m 的最大值在 处取得。2xyx0x【例 3】 （浙江省）解：（1）由题意，抛物线交 轴于点 C（0,3） ，故设抛物线的解析式为 ，y 23yaxb把 A（1,0） 、B（3,0）代入，得：，解得 。309ab12ab抛物线的解析式为 。234yxx抛物线的顶点坐标为（1，4） 。（2）由题意，得 P( , 1) ，Q ( , )，23 线段 PQ= 。222173144xxx当 = 时，线段 PQ 最长为 。174（3）E 为线段 OC 上的三等
15、分点，OC=3, E(0，1)，或 E(0，2) 。EP=EQ，PQ 与 y 轴平行， 2OE= 231xx当 OE=1 时， 1=0， 2=3，点 P 坐标为（0，1）或（3，2） 。x当 OE=2 时， 1=1， 2=2， 点 P 坐标为（1，0）或（2，1） 。综上所述，点 P 的坐标为（0，1）或（3，2）或（1，0）或（2，1） 。抛物线 经过 A、B、C 三点，2yaxbc设 ，把 代入得 。来源:xyzkw.Com(1)5(0 5)， 1a此抛物线的函数表达式为 。24yx（2）设点 E 的坐标为 ，()，点 E 在 Y 轴右侧的抛物线上， 。0x学优中考网 由抛物线的对称性，知
16、点 F 与点 E 关于抛物线的对称轴 =2 对称，x易得点 F 的坐标为 。2(45)x，要使矩形 EFGH 能成为正方形，有 ,则 。HF2454xx 或 。25xx24x由得， ，解得 （舍去） 。6101230310x，由得， ，解得 （舍去） 。29x 4x，当 时， ，此时正方形 EFGH 的边长为 。3EF2()210当 时， ，此时正方形 EFGH 的边长为 。10x1021 当矩形 EFGH 为正方形时，该正方形的边长为 或 。021（3）假设存在点 M，使MBC 中 BC 边上的高为 。7M 点应在与直线 BC 平行，且相距 的两条平行直线 和 上。21l2由平行线的性质可得
17、： 和 与 y 轴的交点到直线 BC 的距离也为 。1l2 7。12:9:19lyxlyx；根据题意，列出方程组： ， 。2-459yx2-4519yx由得， ，解得 ； 。201762xy由得， ，=-310 此方程无实数根。2514x在抛物线上存在点 M，使MBC 中 BC 边上的高为 ，其坐标分别为：72。12(7 6)( 7)， 、 ，DMQN 是正方形。BQC=45。CQ=CB=3。Q （4，0） 。设 BQ 的解析式为： ，ykxb把 B（1，3） ，Q（4，0）代入解析式，得 ，解得 。340kb14kb直线 BQ 的解析式为 。yx当点 P 在对称轴右侧，如图：过点 D 作 D
18、M 轴于 M，DN PQ 于 N，CDE=90， CDM=EDN。学优中考网 CDMEDN。当DCE=30 ， ，DCM3EN又 DN=MQ， 。Q ，BC=3，CQ= 。BC33Q（ 1+ ， 0） 。P 1（ ） 。9 ,4当DCE=60 ，点 P2（ ） 。153 ,当点 P 在对称轴的左边时，由对称性知：P 3（ ） ，P 4（ ） 。9 ,1513 ,4综上所述，所求点 P 的坐标为 P1（ ） ，P 2（ ） ，P 3（ ） ， ,4 , 9 ,P4（ ） 。1513 ,4抛物线的函数解析式为 。233yx（2）截得三条线段的数量关系为 KD=DE=EF。理由如下：可求得直线 l1
19、 的解析式为 ，直线 l2 的解析式为 ，3yx3yx抛物线的函数解析式可化为 ，431抛物线的对称轴为直线 =1，顶点 D 的坐标为（ 1， ） ；x把 =1 代入 即可求得点 K 的坐标为（ 1， ） ；x3y23把 =1 代入 即可求得点 E 的坐标为（1， ） ；x3yx23又点 F 的坐标为（ 1，0） ，KD= ，DE= ，EF= 。2323KD=DE=EF。（3）当点 M 的坐标分别为（2， ） ， （ 1， ）时， MCK 为等腰三角形理由如下：343（ii）连接 CD，由 KD= ，CK=CG=2 ， CKD=30，易知KDC 为等腰三角形。23当 l2 过抛物线顶点 D 时
20、，符合题意，此时点 M2 坐标为（ 1， ） 。43（iii ）当点 M 在抛物线对称轴右边时，只有点 M 与点 A 重合时，满足 CM=CK，但点 A、C、K 在同一直线上，不能构成三角形。综上所述，当点 M 的坐标分别为（2， ） ， （ 1， ）时，MCK 为等腰三角形。3433、 （广西桂林）解：（1）由错误！未找到引用源。 ，得 错误！未找到引用源。 ，D （3，0） 。2bxa（2）如图 1，设平移后的抛物线的解析式为错误！未找到引用源。 ，则 C（0， ） ，OC= ，k令 =0，即错误！未找到引用源。 ，y得 错误！未找到引用源。 。12349 ,349xxkA 错误！未找到引
21、用源。 ，B 错误！未找到引用源。 ，0k 错误！未找到引用源。 ，2 2B 163k。22C349 +49 836kkkAC 2+BC2=AB2，即： ，得 1=4， 2=0（舍去） ，2168k学优中考网 抛物线的解析式为错误！未找到引用源。 。（3）如图 2，由抛物线的解析式错误！未找到引用源。可得，A（2，0） ，B（8，0） ，C（ 4，0） ，D（3，0） ，M 错误！未找到引用源。 ， 253 ,4过 C、M 作直线，连接 CD，过 M 作 MH 垂直 y 轴于 H，则 MH=3， ，2256D41。2225CH3416在 Rt COD 中， ， 2CAD点 C 在D 上。 错误
22、！未找到引用源。 ，2256M41DM 2=CM2+CD2。CDM 是直角三角形。CD CM。直线 CM 与D 相切。4、 （山东日照）来源:学优中考网 xyzkwC 点的坐标为（4，4） ，且 AC 错误！未找到引用源。5。又ABC 的高为 6，ABC 的面积错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。56 错误！未找到引用源。15。（3）存在 D 点使ABD 的面积等于ABC 的面积。理由如下：过点 C 作 CD AB 交抛物线于另一点 D，此时ABD 的面积等于ABC 的面积（同底：AB，等高：CD 和 AB 的距离） 。直线 AB 相应的一次函数是： ，且 CDAB，2yx可设直线 CD
23、解析式为 ，p把 C 点的坐标（4，4）代入可得， 。12直线 CD 相应的一次函数是： 。yx解方程组 ，解错误！未找到引用源。得， 。231yx 318xy错误！未找到引用源。点 D 的坐标为（3，18） 。5、 （湖北黄冈）解：（1）直线 y=kx+b 过点 F（0，1） ，b=1。（2）直线 y=kx+b 与抛物线错误！未找到引用源。交于 M（x 1，y 1）和 N（x 2，y 2）两点，可以得出：kx+b=错误！未找到引用源。x 2，整理得： 错误！未找到引用源。x 24kx4=0 。x 1x2=4。计算知 NN1= 2m4学优中考网 NF= ，221m()42m1得 NN1=NF。同理 MM1=MF。MN=MM 1NN 1。作梯形 MM1N1N 的中位线 PQ，由中位线性质知 PQ= （MM 1NN 1）= MN，22即圆心到直线 y=1 的距离等于圆的半径，所以 y=1 总与该圆相切。：http:/ 学 优%中%考 ，网
