1、27.1 图形的相似 达标训练一、基础巩固达标1.在比例尺为 140 000 的工程示意图上，于年 9 月 1 日正式通车的南京地铁一号线 (奥体中心至迈皋桥段)的长度约为 54.3 cm，它的实际长度约为( )A.0.217 2 km B.2.172 km C.21.72 km D.217.2 km2 如图 27.34，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=12，则 DE 与 BC 的比是( )图 27.14 图 27.15A.14 B.13 C.12 D.233.(1)若 ，则 =_；5.0fedcbafdbeca2(2)若 ,则 k=_.kxyzzyx4.如图 27.1
2、5，在同一时刻，小明测得他的影长为 1 米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为 5 米，已知小明的身高为 1.5 米，则这棵槟榔树的高是_米.5.图 27.16 中，两组图形是否是相似图形?图 27.166.如图 27.17，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.图 27.177.如图 27.18，已知图中的两个梯形相似，求出未知边 x、y、z 的长度和、 的度数.图 27.18二、综合应用达标8.矩形相框如图 27.19 所示，图中两个矩形是否相似?图 27.199.判断下列各组线段是否成比例?(1)3 cm； 5 cm；7 cm ； 4 cm；(2)12 mm；5 cm；15 mm；4
3、 cm；(3)1 cm；5 mm；10 mm；2 cm.10.试将一个正方形纸片(如图 27.110) 分割为 8 个相似的小正方形 .图 27.11011.在如图 27.111 所示的相似四边形中， 比 大 15，求未知边 x、y 的长度和角度、 的大小.图 27.111三、回顾展望达标12.我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.现给出下列 4 对几何图形: 两个圆；两个菱形；两个长方形；两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形
4、，并简单地说明理由.13.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：(1)如图甲，已知ABC 中， C=90，你能把ABC分割成 2 个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.(2)一般地， “任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为 1 阶分割(如图 1)；把 1 阶分割得出的 4 个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为 2 阶分割(如图 2)，依次规则操作下去，n 阶分割后得到的每一个
5、小三角形都是全等三角形(n 为正整数) ，设此时小三角形的面积为 Sn.若DEF 的面积为 10 000，当 n 为何值时，21 时，请写出一个反映 Sn1 ，S n，S n+1 之间关系的等式( 不必证明)图乙 图 1(1 阶) 图 2(2 阶) 图 3(3 阶)参考答案一、基础巩固达标1.在比例尺为 140 000 的工程示意图上，于年 9 月 1 日正式通车的南京地铁一号线 (奥体中心至迈皋桥段)的长度约为 54.3 cm，它的实际长度约为( )A.0.217 2 km B.2.172 km C.21.72 km D.217.2 km思路解析：可设这两地的实际距离为 x cm (要注意统
6、一单位)，根据比例尺=得实 际 距 离图 上 距 离54.3x=140 000，解得：x=2 172 000(cm)=21.75(km).答案：C2 如图 27.34，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BC=12，则 DE 与 BC 的比是( )图 27.14A.14 B.13 C.12 D.23 来源:学优高考网思路解析：DE 是ABC 的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.答案：C3.(1)若 ，则 =_；5.0fedcbafdbeca23(2)若 ,则 k=_.kxyzzyx思路解析：连等式时，可用比例系数(即公比) 的办法解决 .(1)由 ，得到
7、a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f，代入 中解得;5.0fedcba fdbeca23(2)用“若 =k(b+d+n0)，则 ”，但要注意只有当nm kndbmcax+y+z0 时才成立.本题中，还需考虑 x+y+z=0 的情况，此时 x=(y+z)，y=(z+x)，z=(x+y) ，所以 k=1.答案：(1)0.5,(2) 或124.如图 27.15，在同一时刻，小明测得他的影长为 1 米，距他不远处的一棵槟榔树的影长为 5 米，已知小明的身高为 1.5 米，则这棵槟榔树的高是_米.来源:学优高考网图 27.15思路解析：相同时刻的物高与影长成比例，设树高为 x 米，则 1.51=x5
8、，解得x=7.5答案：7.55.图 27.16 中，两组图形是否是相似图形?图 27.16思路解析：比较两个图形的形状，第一对图形的形状不同，不相似；第二对图形都是三角形，但角的大小不同，形状不同，不相似.答案：两组图形都不相似6.如图 27.17，试一试，把下列左边的图形放大到右边的格点图中.图 27.17思路解析：在格点中作相似形时，找能够反映图形特征的点，作出这些被放大或缩小后来源:学优高考网的位置，再由这些点构造新图形.答案：(不唯一)7.如图 27.18，已知图中的两个梯形相似，求出未知边 x、y、z 的长度和、 的度数.图 27.18思路解析：依据多边形相似的特征：对应边成比例，对
9、应角相等，即可求出 x、y、z的比例式，并得到D=D=、C=C=110 ，再由梯形的定义和平行的性质即可求出 和 .解：因为两个梯形相似，它们的对应边成比例，对应角相等.所以 且D=D=，C=C=110.zyx5.42.384解得:x=3 y=6 z=3.因为梯形 ABCD 中，AB CD,所以 =18062=118,=180 110=70.二、综合应用达标8.矩形相框如图 27.19 所示，图中两个矩形是否相似?图 27.19思路解析：矩形的四个角都是直角，所以这两个矩形的角都能对应相等；能不能相似关键就看边是否能对应成比例了，不能只凭直觉了.解：由图可知：大矩形的四条边长分别是 14、8、
10、14、8；而小矩形的长为：1422=10，宽为：822=4，四条边分别是 10,4,10,4.141084,这两个矩形不相似.来源:学优高考网9.判断下列各组线段是否成比例?(1)3 cm； 5 cm；7 cm ； 4 cm；(2)12 mm；5 cm；15 mm；4 cm；(3)1 cm；5 mm；10 mm；2 cm.思路解析：要解决此类问题,应先统一单位(当四条线段的长度单位不相同时) ，把它们按从小到大(或从大到小)的顺序进行排列，然后依次计算第一条与第二条、第三条与第四条线段的比，看这两个比值是否相等；有时计算乘积要方便些，如果第一、四两个数的积等于第二三两个数的积，则四条线段成比例
11、，否则不成比例.解：(1)四条线段按从小大的顺序排列为 3，4，5，7.3745，即 3457，3 cm,4 cm,5 cm,7 cm 这四条线段不成比例.(2)5 cm=50 mm,4 cm=40 mm,四条线段按从小大的顺序排列为 12，15，40，50.1250=1540，即 1215=4050，12 mm,5 cm,15 mm,4 cm 这四条线段成比例.(3)1 cm=10 mm,2 cm=20 mm, 四条线段按从小大的顺序排列为 5，10，10，20.520=1010，即 510=1020，5 mm,1 cm,10 mm,2 cm 这四条线段成比例.10.试将一个正方形纸片(如图
12、 27.110) 分割为 8 个相似的小正方形 .图 27.110答案：11.在如图 27.111 所示的相似四边形中， 比 大 15，求未知边 x、y 的长度和角度、 的大小.图 27.111思路解析：依据多边形相似的特征：对应边成比例，对应角相等，即可求出 x、y、和 解：因为两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等，所以 126=8y=x 3.解得 y=4，x=6.由 +115=360，=+15，得 =100，=85.三、回顾展望达标12.我们已经学习了相似三角形,也知道:如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同,我们就把它们叫做相似图形.比如两个正方形,它们的边长,对角线等所有元
13、素都对应成比例,就可以称它们为相似图形.现给出下列 4 对几何图形: 两个圆；两个菱形；两个长方形；两个正六边形.请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由.思路解析：根据相似形的定义，比较两个图形的对应边的比是否相等，对应角是否相等.答：两个圆是相似形.因为任何圆的形状相同；两个菱形不是相似形.因为两个菱形的对角线不对应成比例，两个菱形的形状不同；两个长方形不是相似形.因为两个长方形的边、对角线不对应成比例，两个长方形的形状不同；两个正六边形是相似形.因为任何正六边形的形状相等.13.定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形.探究：(1)
14、如图甲，已知ABC 中， C=90，你能把ABC 分割成 2 个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由.(2)一般地， “任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，则可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形.我们把DEF(图乙)第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为 1 阶分割(如图 1)；把 1 阶分割得出的 4 个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为 2 阶分割(如图 2)，依次规则操作下去，n 阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形(n 为正整数) ，设此时小三角形的面积为 Sn.若DEF 的面积为 10 000，当
15、n 为何值时，21 时，请写出一个反映 Sn1 ，S n，S n+1 之间关系的等式( 不必证明)图乙 图 1(1 阶) 图 2(2 阶) 图 3(3 阶)思路解析：本题是阅读理解题，n 阶分割实际是把原三角形分为 4n 个相同的小三角形，所以每个小三角形的面积是原三角形的 .n41解：(1)正确画出分割线 CD(如图，过点 C 作 CDAB ，垂足为 D，CD 即是满足要求的分割线).理由：B=B，CDB=ACB=90 ，BCDACB.(2)DEF 经 n 阶分割所得的小三角形的个数为 .n41 S n= . http:/410当 n=5 时，S 5= 9.77;当 n=6 时，S 6= 2.44;当 n=7 时，S 7= 0.61.410当 n=6 时，2S 63. =Sn1 Sn+1.
