1、考点十九：与圆有关的计算聚焦考点温习理解弧长和扇形面积1、弧长公式n的圆心角所对的弧长 l 的计算公式为 180rnl2、扇形面积公式 lRnS21360扇其中 n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。3、圆锥的侧面积 rllS21其中 l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。名师点睛典例分类考点典例一、计算弧长【例 1】在半径为 2 的圆中，弦 AB 的长为 2，则 AB的长等于（ ）A 3 B C 23 D 32【答案】C【解析】试题分析：如图，连接 OA、OB，OA=OB=AB=2，AOB 是等边三角形，AOB=60， AB的长为 602183.故选 C【点睛】本题
2、考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是 R，弧 AB 对的圆心角的度数是 n，则弧 AB 的长= 180nR【举一反三】（2015 巴中）圆心角为 60，半径为 4cm 的扇形的弧长为 cm【答案】 43【解析】试题分析： L=180nr=64= 3故答案为： 43考点：弧长的计算考点典例二、求圆锥的底面半径【例 2】 （2015 凉山州）将圆心角为 90，面积为 4cm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ）A1cm B2cm C3cm D4cm【答案】A考点：圆锥的计算【点晴】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等
3、于底面周长【举一反三】（2015 泸州）用一个圆心角为 120，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 【答案】2【解析】试题分析：扇形的弧长= 12068=4，圆锥的底面半径为 42=2故答案为：2考点：圆锥的计算考点典例三、求扇形的面积【例 3】(2015湖北衡阳，17 题，3 分)圆心角为 120的扇形的半径为 3，则这个扇形的面积为 （结果保留 ） 【答案】 3考点： 扇形面积的计算【点睛】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般【举一反三】(2015.宁夏，第 12 题，3 分)已知扇形的圆心角为 120，所对的弧长为
4、83，则此扇形的面积是 【答案】 163.【解析】试题分析：设扇形的半径为 r，根据弧长公式 38102r可求得 r=4，根据扇形的面积公式可得3164821lrS扇 形.考点：弧长公式；扇形的面积公式.考点典例四、求圆锥侧面积【例 4】 （2015湖北黄冈，13 题，3 分）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图， 若 AOB=120，弧AB 的长为 12 cm， 则该圆锥的侧面积为_ cm2【答案】108考点：圆锥的计算【点睛】本题考查了圆锥的计算，圆锥的高。圆锥的底面半径和圆锥的母线构成一个直角三角形，扇形的面积公式为： 12lR【举一反三】（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）
5、底面周长为 10 cm，高为 12cm 的圆锥的侧面积为 【答案】65 cm2【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为 r，母线为 l， r=102=5， a= 251=13，圆锥的侧面积=121013=65，故答案为：65 cm2考点：圆锥的计算考点典例五、求阴影部分的面积【例 5】 （2015 甘孜州）如图，已知扇形 AOB 的半径为 2，圆心角为 90，连接 AB，则图中阴影部分的面积是（ ）A2 B4 C42 D44【答案】A【解析】16 题图试题分析： S 阴影部分 =S 扇形 OAB S OAB=290136=2故选 A考点：扇形面积的计算【点睛】本题考查了扇形面积公式，利用 S 阴影
6、部分 =S 扇形 OAB S OAB即可求解.【举一反三】（2015.重庆市 A 卷，第 16 题，4 分） 如图，在等腰直角三角形 ABC 中， ACB=90，AB= 42，以 A 为圆心，AC 长为半径作弧，交 AB 于点 D，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留 ）【答案】 28.考点：解直角三角形、扇形面积、割补法.课时作业能力提升一选择题1 （2015.山东莱芜第 8 题，3 分）已知圆锥的底面半径长为 5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A2.5 B5 C10 D15【答案】C考点：圆锥的侧面展开图2.（2015湖南常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这
7、称这两个扇形相似。如图，如果扇形 AOB 与扇形 10AB是相似扇形，且半径 1:OAk( 为不等于 0 的常数)。那么下面四个结论：AOB 1；AOB 10B； 1；扇形 AOB 与扇形 10A的面积之比为 2k。成立的个数为：（ ）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个OABB1O1A1【答案】D【解析】试题分析：这是一个阅读题，根据扇形相似的意义，可知正确，由边长的比等于相似比可知正确，由扇形面积的比等于相似比的平方，可得到正确.故选 D考点：弧长，扇形面积公式3.（2015.山东德州第 9 题，3 分）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需
8、扇形铁皮的圆心角应为（ ）A288 B144 C216 D120【答案】A【解析】试题分析：底面圆的半径与母线长的比是 4：5，设底面圆的半径为 4x，则母线长是 5x，设圆心角为n，则 524180nx，解得： n=288，故选 A考点：圆锥的计算4.（2015 攀枝花）如图，已知 O 的一条直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 AC=2， AE= 3， CE=1，则图中阴影部分的面积为（ ）A 239 B 439 C 29 D 49【答案】D考点：1扇形面积的计算；2勾股定理的逆定理；3圆周角定理；4解直角三角形5.（2015 自贡）如图， AB 是 O 的直径，弦 CD AB， CD
9、B30， CD 32，则阴影部分的面积为（ ）A2 B C 3 D 【答案】D【解析】试题分析：连接 OD CD AB， CE=DE=12CD= 3（垂径定理） ，故 S OCE=S ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积，又 CDB=30， COB=60（圆周角定理） ， OC=2，故 S 扇形 OBD=2603=32，即阴影部分的面积为 32故选 D考点：1扇形面积的计算；2垂径定理；3圆周角定理；4解直角三角形；5数形结合6.（2015 达州）如图，直径 AB 为 12 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60，此时点 B 旋转到点 B，则图中阴影部分的面积是（ ）A12 B24
10、 C6 D36【答案】B【解析】试题分析： AB=AB=12， BAB=60，图中阴影部分的面积是： S=S 扇形 B AB+S 半圆 O S 半圆 O=222601163=24故选 B考点：1扇形面积的计算；2旋转的性质7.（2015黑龙江绥化）如图 ，将一块含 300 角的直角三角版和半圆量角器按如图的方式摆放 ，使斜边与半圆相切。若半径 OA=2 ,则图中阴影部分的面积为_.(结果保留 )【答案】 432考点：1.切线的性质；2.直角三角形的性质；3. 扇形的面积计算.8.（山东潍坊，第 10 题，3 分）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图
11、所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是 8cm，水的最大深度是 2cm，则杯底有水部分的面积是（ ）A. （ 1643） 2cm B. （ 1683） 2cm C. （ 843） 2cmD. （ 43） 2cm【答案】A考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；3.扇形的面积.二填空题9.（2015.山东烟台，第 16 题，3 分）如图，将弧长为 6，圆心角为 120o的扇形纸片 AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径 OA 与 OB 重合(接缝粘结部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是_。【答案】 62【解析】试题分析：设烟筒帽的底面半径为 r，根据弧长等于底面圆的周长可得 2r=6，解得 r=3
12、，设圆锥的母线长为 R，根据扇形的弧长公式可得 120R=68 ，解得 R=9，由勾股定理可得圆锥纸帽的高为22R-r93762考点：扇形，圆锥，勾股定理10.（2015.山东淄博，第 16 题，4 分）现有一张圆心角为 108，半径为 40cm 的扇形纸片，小红剪去圆心角为 的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠） ，则剪去的扇形纸片的圆心角 为 【答案】18.考点：圆锥的计算11.（2015.河南省，第 14 题，3 分）如图，在扇形 AOB 中，AOB=90，点 C 为 OA 的中点，CEOA 交AB于点 E，以点 O 为圆心，OC 的长
13、为半径作 ACD交 OB 于点 D，若 OA=2，则阴影部分的面积为 .【答案】 321p+.【解析】试题分析：连接 OE,阴影部分面积=扇形 EOB 的面积+三角形 ECO 的面积-扇形 COD 的面积，OA=2,点 C 为OA 的中点CO=AC=1，又OE=2，ECCO,CEO=30，EOC=60,EOB=90-60=30，CE= 3CO= 1= 3.阴影部分面积=2306 132906= 3 4 2= 312.考点：利用扇形面积及直角三角形知识求阴影图形面积.12.如图，OAB 中，OA=OB=4，A=30，AB 与O 相切于点 C，则图中阴影部分的面积为 .（结果保留 ）【答案】 43
14、.【解析】试题分析：由 AB 为圆的切线，得到 OC 垂直于 AB，再由 OA=OB，利用三线合一得到 C 为 AB 中点，且 OC 为角平分线，在 RtAOC 中，利用 30 度所对的直角边等于斜边的一半求出 OC 的长，利用勾股定理求出 AC的长，进而确定出 AB 的长，求出AOB 度数，从而根据阴影部分面积=AOB 面积-扇形面积，求出即可：AB 与圆 O 相切，OCAB.OA=OB，AOC=BOC，A=B=30.在 RtAOC 中，A=30，OA=4，OC= 12OA=2，AOC=60.AOB=120， 2ACO3.AB=2AC= 43.2OB110S46 阴 影 扇 形.考点：1.切
15、线的性质；2.等腰三角形的性质；3.含 30 度角的直角三角形的性质；4.勾股定理；5.扇形面积的计算；6.转换思想的应用13.（2015.重庆市 B 卷，第 16 题，4 分） 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，先以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以 AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是_（结果保留 ）16图BCAD【答案】 2考点：圆的面积计算.14.（2015湖南常德）一个圆锥的底面半径为 1 厘米，母线长为 2 厘米，则该圆锥的侧面积是 2厘 米（结果保留 ） 。【答案】2【解析】试题分析：此题考的是圆锥侧面积公式,根据公式可直接
16、求解：S= 12(1)lr.故答案为 2.考点：圆锥侧面积15.已知圆锥的底面半径是 4，母线长是 5，则该圆锥的侧面积是 （结果保留 ） 【答案】20.【解析】试题分析：根据公式：S 圆锥的侧面积 =12rl进行计算即可得出答案.试题解析：底面圆的半径为 4，则底面周长=8，侧面面积= 1285=20考点：圆锥的计算16.（2015 乐山）如图，已知 A（ 23，2） 、B（ 3，1） ，将AOB 绕着点 O 逆时针旋转，使点 A 旋转到点 A（2， 23）的位置，则图中阴影部分的面积为 【答案】 34考点：1扇形面积的计算；2坐标与图形变化-旋转三计算题17.如图，有一直径是 米的圆形铁皮
17、，现从中剪出一个圆周角是 90的最大扇形 ABC，则：（1）AB 的长为 米；（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米【答案】 （1）1；（2） 14.试题解析：（1）BAC=90，BC 为O 的直径，即 BC= 2，AB= 2BC=1；（2）设所得圆锥的底面圆的半径为 r，根据题意得 2r= 9018A，解得 r=14.考点：1.圆锥的计算；2.圆周角定理.18.（2015 绵阳） （11 分）如图， O 是 ABC 的内心， BO 的延长线和 ABC 的外接圆相交于点 D，连接DC， DA， OA， OC，四边形 OADC 为平行四边形（1）求证： BOC CDA；（2
18、）若 AB=2，求阴影部分的面积【答案】 （1）证明见试题解析；（2） 934阴 影S【解析】试题分析：解：（1）证明： O 是 ABC 的内心，2=3，5=6，1=2，1=3，由AD CO， AD=CO，4=5，4=6， BOC CDA（ AAS） ；（2）由（1）得， BC=AC，3=4=6， ABC= ACB， AB=AC， ABC 是等边三角形， O 是 ABC的内心也是外心， OA=OB=OC，设 E 为 BD 与 AC 的交点， BE 垂直平分 AC，在 Rt OCE 中，CE= AC= AB=1， OCE=30， OA=OB=OC= 32， AOC=120， AOBSS阴 影 扇
19、 =21013(3)6= 49考点：1三角形的内切圆与内心；2全等三角形的判定与性质；3扇形面积的计算19.（2015辽宁沈阳）如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， ABC=2 D，连接 OA、 OB、 OC、 AC， OB与 AC 相交于点 E（1）求 OCA 的度数；（2）若 COB=3 AOB， OC=23，求图中阴影部分面积（结果保留 和根号） 【答案】 （1）30；（2） 32【解析】试题分析：（1）圆内接四边形性质得到 ABC+ D=180，根据 ABC=2 D 得到 D+2 D=180，从而求得 D=60，由 OA=OC 得到 OAC= OCA=30；（2）由 COB=
20、3 AOB 得到 AOB=30，从而有 COB 为直角，然后利用 S 阴影 =S 扇形 OBC S OEC求解试题解析：（1）四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， ABC+ D=180， ABC=2 D， D+2 D=180， D=60， AOC=2 D=120， OA=OC， OAC= OCA=30；BCEA OD（第 23 题图）（2） COB=3 AOB， AOC= AOB+3 AOB=120， AOB=30， COB= AOC AOB=90，在Rt OCE 中， OC=23， OE=OCtan OCE=23tan30= 32=2， S OEC=1OEOC= = ， S 扇形 OBC
21、=90()6r=3， S 阴影 =S 扇形 OBC S OEC=32考点：1扇形面积的计算；2圆内接四边形的性质；3解直角三角形20.（2015.山东临沂第 23 题，9 分） （本小题满分 9 分）如图，点 O 为 RtABC 斜边 AB 上的一点，以 OA 为半径的O 与 BC 切于点 D，与 AC 交于点 E，连接 AD.（1）求证：AD 平分BAC；（2）若BAC = 60，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留 ）.【答案】 （2） 3试题解析：（1）证明：连接 OD.BC 是O 的切线，D 为切点，ODBC.BCEA ODBCEA OD又ACBC，ODAC，ADO=CAD.又OD=OA，ADO=OADCAD=OAD，即 AD 平分BAC.（2）方法一：连接 OE，ED.BAC=60，OE=OA，OAE 为等边三角形，AOE=60，ADE=30. 又 1302OADBC，ADE=OAD，EDAO， AEDOS ，阴影部分的面积 = S 扇形 ODE = 60423.方法二：同方法一，得 EDAO，四边形 AODE 为平行四边形， 1S23.AEDOV又 S 扇形 ODES OED = 60423.阴影部分的面积 = (S 扇形 ODES OED ) + SAED = 223.考点：圆的综合（切线的性质，角平分线，阴影部分面积，三角形的面积，扇形面积）
