1、考点二十八：尺规作图 聚焦考点温习理解1尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺2基本作图(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和差；(2)作一个角等于已知角，以及角的和差；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线3利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形4与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；(2)作三角形的内切圆；(3)作圆的内接正方形和正六边形5有关中心对称或轴对称的作图
2、以及设计图案是中考的常见类型6作图的一般步骤尺规作图的基本步骤：(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；(3)作法：应用“五种基本作图” ，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；(6)结论：对所作图形下结论名师点睛典例分类考点典例一、画三角形【例 1】如图，已知线段 a 及O，只用直尺和圆规
3、，求作ABC，使 BCa，BO，C2B.(在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法)【答案】作图见解析【解析】试题分析：先作一个角等于已知角，即MBN=O，在边 BN 上截取 BC=a，以射线 CB 为一边，C 为顶点，作PCB=2O，CP 交 BM 于点 A，ABC 即为所求试题解析：如图所示：考点：作图复杂作图【点睛】(1)作三角形包括：已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；已知三角形的三边，求作三角形；(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形 【举一反三】1.（2015.山东青岛第 1
4、5 题，6 分）已知：线段 c，直线 l及 外一点 A求作：RtABC，使直角边为 AC（AC l，垂足为 C）斜边 ABc【答案】略.【解析】试题分析：首先作出 ABl，然后以 A 为圆心，c 的长度为半径画弧，与直线 l 的交点的就是点 C.试题解析：考点：作图.2.已知：线段 a、c 和（如图） ，利用直尺和圆规作ABC，使 BC=a，AB=c，ABC= （不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析.【解析】试题分析：先作MBN=，再在MBN 的两边上分别截取 BC=a，AB=c，连接 AC 即可试题解析：考点：作图基本作图考点典例二、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图【例 2】两
5、个城镇 A、B 与两条公路 l1、l 2位置如图所示，电信部门需在 C 处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇 A、B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l 2的距离也必须相等，那么点 C 应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点 C （不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）【答案】作图见解析考点：作图应用与设计作图【点睛】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用【举一反三】1.(2015.陕西省，第 17 题，5 分)（本题满分 5 分）如图，已知ABC，请用尺规过点 A 作一条直线，使其将ABC 分成面积相等的两部分， （保留作
6、图痕迹，不写作法）【答案】见下图.试题解析：考点：作图（复杂作图） 、三角形的中线的性质.2.（2015.山东淄博，第 19 题）如图，在ABC 中，AB=4cm，AC=6cm（1）作图：作 BC 边的垂直平分线分别交与 AC，BC 于点 D，E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法） ；（2）在（1）的条件下，连结 BD，求ABD 的周长【答案】(1)作图见解析；（2）10cm【解析】试题分析：（1）运用作垂直平分线的方法作图;（2）运用垂直平分线的性质得出 BD=DC，利用ABD 的周长=AB+BD+AD=AB+AC 即可求解试题解析：（1）如图 1，（2）如图 2，DE 是 BC 边
7、的垂直平分线，BD=DC，AB=4cm，AC=6cmABD 的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm考点：用尺规作线段垂直平分线的方法；线段垂直平分线的性质.考点典例三、通过画图确定圆心【例 3】如图，在ABC 中，先作BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，再以 AC 边上的一点 O 为圆心，过A，D 两点作O(用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)【答案】【解析】试题分析：先作出角平分线 AD，再作 AD 的中垂线交 AC 于点 O，O 就是O 的圆心，作出O，试题解析：作出角平分线 AD，作 AD 的中垂线交 AC 于点 O，作出O，O 为
8、所求作的圆考点：作图复杂作图【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆【举一反三】1(2015湖北孝感） （本题满分 8 分）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ） （1）用直尺和圆规作出 所在圆的圆心 O；（要求保留作图痕迹，不写作法） （4 分）（2）若 的中点 C到弦 AB的距离为 20m， 8ABm，求 所在圆的半径 （4 分）【答案】 （1）如图；（2） 50r.【解析】试题分析：（1）根据垂经定理画图，连接 AC,AB 分别做 AC,AB 的垂直平分线，交点就是圆心 O；（2）根据垂径定理， 连接 OCB， ， 交 AB于 D， 在 R
9、t OB中，由勾股定理建立等式关系，求出答案.试题解析：解：（1）作图如图所示； ABCOD考点：作图，弧.2.如图，在 RtABC 中，C=90，BAC 的角平分线 AD 交 BC 边于 D（1）以 AB 边上一点 O 为圆心，过 A，D 两点作O；（用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹）（2）判断直线 BC 与O 的位置关系，直接写出结论，不用说明理由【答案】 （1）作图见解析；（2）相切【解析】试题分析：（1）作 AD 的垂直平分线交 AB 于点 O，O 为圆心，OA 为半径作圆；（2）BC 与O 相切，连接 OD，由 OD=OA，则ODA=OAD，因为BAC 的角平分线 AD
10、交 BC 边于 D，所以OAD=CAD，再利用三角形的内角和定理即可证明ODC=90，即 BC 是圆的切线试题解析：（1）如图，O 为所求；考点：切线的判定；作图复杂作图课时作业能力提升一、选择题1.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出AOBAOB 的依据是( )ASAS BSSS CASA DAAS【答案】B.过点 D作射线 OB所以AOB就是与AOB 相等的角；作图完毕在OCD 与OCD，OCDOCDOCD（SSS），AOB=AOB，显然运用的判定方法是 SSS故选：B答案：作图基本作图；全等三角形的判定与性质2. （2015.山东潍坊，第 9 题，3 分）如图，在ABC 中，AD
11、 平分BAC,按如下步骤作图：第一步，分别以点 A、D 为圆心，以大于 12AD的长为半径在 AD 的两侧作弧，交于两点 M、N;第二步，连结 MN，分别交AB、AC 于点 E、F；第三步，连结 DE、DF若 BD=6，AF=4，CD=3，则 BE 的长是（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】D【解析】试题分析：根据作图的步骤和条件可得：四边形 AEDF 是菱形，所以 AE=AF=DE=DF=4，又 DE/AC，所以BEDAC,所以 643，所以 BE=8，故选：D.考点：1.菱形的判定与性质；2.平行线分线段成比例定理.3.（2015.河南省，第 7 题，3 分）如图，在ABC
12、D 中，用直尺和圆规作BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E，若 BF=6，AB=5，则 AE 的长为（ ）.A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C.【解析】试题分析：设 AG 与 BF 交点为 O,AB=AF,AG 平分BAD，AO=AO,可证ABOAFO,BO=FO=3，AOB=AOF=90，AB=5，AO=4，AFBE,可证AOFEOB,AO=EO,AE=2AO=8，故选 C.考点：角平分线的作图原理和平行四边形的性质.4.如图，AD 为O 的直径，作O 的内接正三角形 ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：作 OD 的垂直平分线，交O 于 B，C 两点连接 AB，AC
13、.ABC 即为所求作的三角形乙：以 D 为圆心，OD 的长为半径作圆弧，交O 于 B，C 两点连接 AB，BC，CA.ABC 即为所求作的三角形对于甲、乙两人的作法，可判断( )A甲、乙均正确 B甲、乙均错误C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确【答案】A.由乙的思路画出相应的图形，连接 OB，BD，由 BD=OD，且 OB=OD，等量代换可得出三角形 OBD 三边相等，即为等边三角形，的长BOE=DBO=60，由 BC 垂直平分 OD，根据三线合一得到 BE 为角平分线，可得出OBE 为 30，又BOE 为三角形 ABO 的外角，且 OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到ABO 也为30，可
14、得出ABC 为 60，同理得到ACB 也为 60，利用三角形的内角和定理得到BAC 为 60，即三角形 ABC 三内角相等，进而确定三角形 ABC 为等边三角形，进而得出两人的作法都正确试题解析：根据甲的思路，作出图形如下：连接 OB，BC 垂直平分 OD，E 为 OD 的中点，且 ODBC，OE=DE= 12OD，又 OB=OD，在 RtOBE 中，OE= OB，OBE=30，又OEB=90，BOE=60，OA=OB，OAB=OBA，又BOE 为AOB 的外角，OAB=OBA=30，ABC=ABO+OBE=60，同理C=60，BAC=60，ABC=BAC=C，ABC 为等边三角形，故甲作法正
15、确；根据乙的思路，作图如下：连接 OB，BD，OD=BD，OD=OB，OD=BD=OB，BOD 为等边三角形，OBD=BOD=60，又 BC 垂直平分 OD，OM=DM，BM 为OBD 的平分线，OBM=DBM=30，又 OA=OB，且BOD 为AOB 的外角，BAO=ABO=30，ABC=ABO+OBM=60，同理ACB=60，BAC=60，ABC=ACB=BAC，ABC 为等边三角形，故乙作法正确，故选 A考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含 30 度角的直角三角形二、填空题1.如图，BC 与 CD 重合，ABCCDE90，ABCCDE，并且CDE 可由ABC 逆时针旋转而得到请你利
16、用尺规作出旋转中心 O(保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑)，并直接写出旋转角度是 【答案】90【解析】试题分析：分别作出 AC，CE 的垂直平分线进而得出其交点 O，进而得出答案试题解析：如图所示：旋转角度是 90考点：作图-旋转变换2.如图，在ABC 中，按以下步骤作图：分别以 B，C 为圆心，以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点；作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD，若 CD=AC，B=25，则ACB 的度数为 【答案】105【解析】试题分析：首先根据题目中的作图方法确定 MN 是线段 BC 的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可考点：作图
17、基本作图；线段垂直平分线的性质3.如图，在 RtABC 中，B=90，分别以 A、C 为圆心，大于 12AC 长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，连结 MN，与 AC、BC 分别交于点 D、E，连结 AE，则：（1）ADE= ；（2）AE EC；（填“=”“”或“”）（3）当 AB=3，AC=5 时，ABE 的周长= 【答案】（1）90；（2）=；（3）7.【解析】试题分析：（1）由作图可知，MN 是线段 AC 的垂直平分线，故可得出结论；（2）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；（3）先根据勾股定理求出 BC 的长，进而可得出结论试题解析：（1）由作图可知，MN 是线段 AC 的垂直平分线
18、，ADE=90（2）MN 是线段 AC 的垂直平分线，AE=EC（3）在 RtABC 中，B=90，AB=3，AC=5，BC= 25=4，AE=CE，ABE 的周长=AB+BC=3+4=7考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用4.(2015.河北省，第 22 题，10 分) (本小题满分 10 分)嘉淇同学要证明命“两相对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形 ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证.已知：如图，在四边形 ABCD 中，BC AD，AB_.求证：四边形 ABCD 是_四过形.(1)在方框中填空，以补全已知和求证；(2)按嘉淇的想法写出证明：
19、证明：(3)用文宇叙述所证命题的逆命题为_.【答案】 (1) CD；平行【解析】试题分析：平行四边形的判定，除要熟记判定定理内容外，还有注重定理的由来.试题解析：（1）略； (2)证明：连接 BD. 在 ABD 和 CDB 中， AB CD， AD CB， BD DB， ABD CDB. 12，34， AB/CD， AD/CB， 四边形 ABCD 是平行四边形. (3)平行四边形的对边相等 考点:平行四边形的判定，全等三角形的判定三、解答题1.（2015.青岛）如图，在ABC 中，AB=BC，点点 D 在 AB 的延长线上（1）利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写
20、作法） 作CBD 的平分线 BM；作边 BC 上的中线 AE，并延长 AE 交 BM 于点 F（2）由（1）得：BF 与边 AC 的位置关系是 【答案】 （1）作图见解析；（2）BFAC【解析】试题分析：（1）利用角平分线的作法得出 BM；首先作出 BC 的垂直平分线，进而得出 BC 的中点，进而得出边 BC 上的中线 AE；（2）利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得出即可试题解析：（1）如图所示：BM 即为所求；如图所示：AF 即为所求；（2）AB=BC，CAB=C，C+CAB=CBD，CBM=MBD，C=CBM，BFAC考点：作图复杂作图；三角形的外角性质；等腰三角形的性质2.（2
21、015.山东济宁，第 19 题,8 分）(本题满分 8 分)如图，在ABC 中，AB=AC，DAC 是ABC 的一个外角.实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）. （1）作DAC 的平分线 AM；（2）作线段 AC 的垂直平分线，与 AM 交于点 F，与 BC 边交于点 E，连接 AE、CF.猜想并证明：判断四边形 AECF 的形状并加以证明. DCBA【答案】【解析】试题分析：（1）根据题意画出图形即可；（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明ACB=FAC，进而可得 AFBC；然后再根据线段的垂直平分线的性质可知：OA=OC, AOF
22、=COE=90，AE=EC，FA=FC,由 OA=OC, AOF=COE=90，CAM=ACB 可证明 AOFCOE，即可得到 AF=EC.因此可由 AFBC，AF=EC,得证四边形 AECF 是平行四边形最后可由 ACEF 得证结论：菱形.试题解析：（1）（2）猜想：四边形 AECF 是菱形证明：AB=AC ，AM 平分CAD B=ACB，CAD=2CAMCAD 是ABC 的外角CAD=B+ACBCAD=2ACB CAM=ACBAFCEEF 垂直平分 AC OA=OC, AOF=COE= 90AOFCOE AF=CE在四边形 AECF 中，AFCE，AF=CE四边形 AECF 是平行四边形又
23、EFAC 四边形 AECF 是菱形考点：角平分线，线段的垂直平分线的基本作图，等腰三角形的内外角，三角形全等，菱形的判定3.(2015.天津市，第 18 题，3 分)如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A， B， C， D 均在格点上，点 E， F 分别为线段 BC，DB 上的动点，且 BE =DF. （）如图，当 BE = 52时，计算 AEF的值等于 ；（）当 AEF取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 AE， AF，并简要说明点 E 和点 F 的位置是如何找到的（不要求证明） .FA BCDEABCD【答案】() 5612；（）如图（见试题分析） ，取格点 H、K,连接 BH、CK，相交于点 P.连接 AP，与 BC 相交于点 E.取格点M、N，连接 DM、CN,相交于点 G.连接 AG，与 BD 相交，得点 F.线段 AE、AF 即为所求.【解析】试题分析：()在 RtABE 中，由勾股定理可得 AE= 225613()ABE；（）图 图第（18）题考点：勾股定理；三角形全等的判定即性质；最短距离问题.
