1、考点二十七：弧长及扇形的面积 聚焦考点温习理解1弧长及扇形的面积(1)半径为 r， n的圆心角所对的弧长公式： l ；n r180(2)半径为 r， n的圆心角所对的扇形面积公式： S lrn r2360 122圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r，那么这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2 r.(1)圆锥侧面积公式： S 圆锥侧rl；(2)圆锥全面积公式： S 圆锥全rlr 23求阴影部分面积的几种常见方法(1)公式法；(2)割补法；(3)拼凑法；(4)等积变形构造方程法；(5)去重法名师点睛典例分类考点典例一、弧长公式的应用【例 1】如图，
2、将边长为 1cm 的等边三角形 ABC 沿直线 l 向右翻动（不滑动） ，点 B 从开始到结束，所经过路径的长度为（ ）A 32cm B （2+ 23）cm C 43cm D3cm【答案】C考点：弧长的计算；等边三角形的性质；旋转的性质【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是仔细观察图形，从开始到结束经过两次翻动，求出点B 两次划过的弧长，即可得出所经过路径的长度注意熟练掌握弧长的计算公式【举一反三】1(2015.安徽省，第 12 题，5 分)如 图 ， 点 A、 B、 C 在 半 径 为 9 的 O 上 ， 的 长 为 2， 则 ACBAB 的大小是 【答案】20.【解析】试题分析：连
3、接 OA、OB，由弧长公式的 92180n可求得AOB=40,再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得ACB=20.考点：弧长公式；圆周角定理.2.（2015 成都）如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和 BC 弧线的长分别为（ ）A2， 3 B 2， C 3， 2 D 3， 【答案】D考点：1正多边形和圆；2弧长的计算考点典例二、扇形面积的计算【例 2】 （2015 自贡）如图， AB 是 O 的直径，弦 CD AB， CDB30， CD 32，则阴影部分的面积为（ ）A2 B C 3 D 【答案】D【解析】试题分析：连接 OD CD AB，
4、 CE=DE= 12CD= 3（垂径定理） ，故 S OCE=S ODE，即可得阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积，又 CDB=30， COB=60（圆周角定理） ， OC=2，故 S 扇形 OBD=2603=32，即阴影部分的面积为 32故选 D考点：1扇形面积的计算；2垂径定理；3圆周角定理；4解直角三角形；5数形结合【举一反三】（2015 攀枝花）如图，已知 O 的一条直径 AB 与弦 CD 相交于点 E，且 AC=2， AE= 3， CE=1，则图中阴影部分的面积为（ ）A 239 B 439 C 29 D 49【答案】D【解析】考点：1扇形面积的计算；2勾股定理的逆定理；3圆周角
5、定理；4解直角三角形考点典例三、扇形面积公式的运用【例 3】 （2015 达州）如图，直径 AB 为 12 的半圆，绕 A 点逆时针旋转 60，此时点 B 旋转到点 B，则图中阴影部分的面积是（ ）A12 B24 C6 D36【答案】B【解析】试题分析： AB=AB=12， BAB=60，图中阴影部分的面积是： S=S 扇形 B AB+S 半圆 O S 半圆 O=222601163=24故选 B考点：1扇形面积的计算；2旋转的性质【点睛】阴影部分一般都是不规则的图形，不能直接用公式求解，通常有两条思路：一是转化成规则图形面积的和、差；二是进行图形的割补.【举一反三】（2015.河南省，第 14
6、 题，3 分）如图，在扇形 AOB 中，AOB=90，点 C 为 OA 的中点，CEOA 交 AB于点 E，以点 O 为圆心，OC 的长为半径作 ACD交 OB 于点 D，若 OA=2，则阴影部分的面积为 .【答案】 321p+.考点：利用扇形面积及直角三角形知识求阴影图形面积.考点典例四、圆锥的侧面展开图【例 4】 （2015.山东莱芜第 8 题，3 分）已知圆锥的底面半径长为 5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为( )A2.5 B5 C10 D15【答案】C【解析】试题分析：根据侧面展开后得到一个半圆就是底面圆的周长，因此可设母线长为 x，根据题意得：2x2=25，解得 x=10
7、故选 C考点：圆锥的侧面展开图【点睛】就圆锥而言， “底面圆的半径”和“侧面展开图的扇形半径”是完全不同的两个概念，要注意其区别和联系，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长；圆锥的底面半径、母线和高组成了一个直角三角形【举一反三】1.（2015 凉山州）将圆心角为 90，面积为 4cm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ）A1cm B2cm C3cm D4cm【答案】A【解析】试题分析：设扇形的半径为 R，根据题意得290436r，解得 R=4，设圆锥的底面圆的半径为 r，则122r4=4，解得 r=1，即所围成的圆锥的底面半径为 1cm故选 A考
8、点：圆锥的计算2.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）底面周长为 10 cm，高为 12cm 的圆锥的侧面积为 【答案】65 cm2【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为 r，母线为 l， r=102=5， a= 251=13，圆锥的侧面积= 121013=65，故答案为：65 cm2考点：圆锥的计算考点典例五、求阴影部分的面积【例 5】 （2015辽宁营口）如图，点 P 是O 外一点，PA 切O 于点 A，AB 是O 的直径，连接 OP，过点B 作 BCOP 交O 于点 C，连接 AC 交 OP 于点 D(1)求证：PC 是O 的切线；(2)若 PD= 316cm，AC=8cm，求
9、图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点 E 是Error!的中点，连接 CE，求 CE 的长【答案】 （1）参见解析；（2） 2548cm；（3） 7cm.试题解析：（1）如图，连接 OC，PA 切O 于A，PAO=90OPBC，AOP=OBC，COP=OCBOC=OB，OBC=OCB，AOP=COP又OA=OC，OP=OP，PAOPCO (SAS)，PAO=PCO=90 ，又OC 是O 的半径，PC 是O的切线；（2）由（1）得 PA，PC 都为圆的切线，PA=PC，OP 平分APC，ADO=PAO=90，PAD+DAO=DAO+AOD，PAD =AOD，ADOPDAADOP， 2
10、PDO，AC=8， PD=163，AD= 2AC=4，OD=3，AO=5，由题意知 OD 为ABC 的中位线，BC=2OD=6，AB=10S 阴 =S 半O S ACB = 20125486=cm阴影部分的面积为 2548cm；（3）如图，连接 AE，BE，点 E 是Error!的中点,AB 是直径，则AEB 是等腰直角三角形，过点 B 作 BMCE 于点 MCMB=EMB=AEB=90，由同弧所对的圆周角相等，ECB=EAB=45，CBM=45，BC=6，CM=MB = 62=3，BE=ABcos45=10 2=5，在RtEBM 中， EM= 22=4BE，CE=CM+EM= 7cm,CE
11、的长为 7cm考点：1.圆的有关性质；2.三角形全等与相似的判定；3.解直角三角形.【点睛】本题考查了圆的有关性质、三角形全等与相似的判定、解直角三角形等知识点的综合运用【举一反三】（2015聊城，第 12 题）如图，点 O 是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使 和 都经过圆心 O，则阴影部分的面积是O 面积的（ ）A. 12 B.13 C. 23 D.35【答案】B【解析】试题分析：作 ODAB 于点 D，连接 AO，BO，CO，求出OAD=30，得到AOB=2AOD=120，进而求得AOC=120，再利用阴影部分的面积= AOCS扇 形 得出阴影部分的面积是O 面积的 13.
12、故选 B考点：翻折变换（折叠问题） ；扇形面积的计算课时作业能力提升一、选择题1. (2015湖北衡阳，17 题，3 分)圆心角为 120的扇形的半径为 3，则这个扇形的面积为 （结果保留 ） 【答案】 3【解析】试题分析： 此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式2360nrS=，即可求解.根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为210S.考点： 扇形面积的计算2. （2015湖北鄂州，14 题，3 分）圆锥体的底面周长为 6，侧面积为 12，则该圆锥体的高为 【答案】 7考点：圆锥的计算3. （2015山东潍坊，第 10 题，3 分）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置
13、在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是 8cm，水的最大深度是 2cm，则杯底有水部分的面积是（ ）A. （ 1643） 2cm B. （ 1683） 2cm C. （ 843） 2cmD. （ 43） 2cm【答案】A【解析】试题分析：如图：过点 O 作 ODAB,垂足为 C，连结 OA,OB,则 AC=BC= 12AB,OA=OB=OD=4，CD=2，所以在RtOAC 中，OC=2，AC= 23,AOC=60,所以 AB=43,AOB=120,所以阴影部分的面积=扇形 AOB 的面积-OAB 的面积= 1041626，故选：A.考点：1.垂径定理；2.解直角三角形；
14、3.扇形的面积.4.（2014宿迁）若一个圆锥的主视图是腰长为 5，底边长为 6 的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）A. 15 B. 20 C.24 D. 30【答案】A考点：1.简单几何体的三视图；2. 圆锥的计算5. （2015 凉山州）将圆心角为 90，面积为 4cm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ）A1cm B2cm C3cm D4cm【答案】A【解析】试题分析：设扇形的半径为 R，根据题意得290436r，解得 R=4，设圆锥的底面圆的半径为 r，则122r4=4，解得 r=1，即所围成的圆锥的底面半径为 1cm故选 A考点：圆锥的计算6. （2015
15、.山东德州第 9 题，3 分）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ）A288 B144 C216 D120【答案】A【解析】试题分析：底面圆的半径与母线长的比是 4：5，设底面圆的半径为 4x，则母线长是 5x，设圆心角为n，则 524180nx，解得： n=288，故选 A考点：圆锥的计算7 （2015 甘孜州）如图，已知扇形 AOB 的半径为 2，圆心角为 90，连接 AB，则图中阴影部分的面积是（ ）A2 B4 C42 D44【答案】A【解析】试题分析： S 阴影部分 =S 扇形 OAB S OAB=290136=2故选 A
16、考点：扇形面积的计算二、填空题8(2015.宁夏，第 12 题，3 分)已知扇形的圆心角为 120，所对的弧长为 83，则此扇形的面积是 【答案】 163.【解析】试题分析：设扇形的半径为 r，根据弧长公式 38102r可求得 r=4，根据扇形的面积公式可得3164821lrS扇 形.考点：弧长公式；扇形的面积公式.9（2015湖南常德）一个圆锥的底面半径为 1 厘米，母线长为 2 厘米，则该圆锥的侧面积是 2厘 米（结果保留 ） 。【答案】2【解析】试题分析：此题考的是圆锥侧面积公式,根据公式可直接求解：S= 12(1)lr.故答案为 2.考点：圆锥侧面积10（2015湖南长沙）圆心角是 6
17、0且半径为 2 的扇形的面积为 （结果保留 ） 。【答案】 23p【解析】试题分析：根据扇形的面积计算公式进行求解.S=226033nrpp=.考点：扇形的面积计算.11. （2015湖北黄冈，13 题，3 分）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图， 若 AOB=120，弧 AB 的长为 12 cm， 则该圆锥的侧面积为_ cm2【答案】108考点：圆锥的计算12. （2015 乐山）如图，已知 A（ 23，2） 、B（ 3，1） ，将AOB 绕着点 O 逆时针旋转，使点 A 旋转到点 A（2， 23）的位置，则图中阴影部分的面积为 【答案】 34【解析】试题分析：A（ 2，2） 、B（ 3，
18、1） ，OA=4，OB= 13，由 A（ 23，2）使点 A 旋转到点A（2， 3） ，AOA=BOB=90，根据旋转的性质可得， OBCS，阴影部分的面积等于 S 扇形 AOAS 扇形 COC= 224()= 4，故答案为： 4考点：1扇形面积的计算；2坐标与图形变化-旋转13. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径 r=2cm，扇形圆心角0，则该圆锥母线长 l 为 cm.【答案】6.【解析】试题分析：圆锥底面圆半径 r=2cm， 根据圆的周长公式，得圆的周长为 2r4侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长，扇形弧长 4.又侧面展开后所得扇形的圆心角为 120，根
19、据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为 120ll68cm.考点：圆锥和扇形的计算14. (2015湖北襄阳,16 题)如图， P 为 O 外一点， PA， PB 是 O 的切线， A， B 为切点，PA= 3， P=60，则图中阴影部分的面积为 【答案】 13【解析】试题分析：连结 AO，连结 PO 交圆于 C PA， PB 是 O 的切线， A， B 为切点， PA= 3， P=60， OAP=90， OA=1， S 阴影 =2（ S PAO S 扇形 AOC）=216012(3)= 故答案为：13考点：1扇形面积的计算；2切线的性质15.（2015.重庆市 A 卷，第 16 题，4
20、 分） 如图，在等腰直角三角形 ABC 中， ACB=90，AB= 42，以A 为圆心，AC 长为半径作弧，交 AB 于点 D，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留 ）【答案】 28.【解析】考点：解直角三角形、扇形面积、割补法.16. （2015.重庆市 B 卷，第 16 题，4 分） 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，先以点 A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以 AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是_（结果保留 ） 16图BCAD【答案】 2【解析】试题分析：根据题意可得：阴影部分的面积等于半径为 4 的圆的四分之一的面积减去半径为 2 的圆的一半的面积.S= 244 22=42=2.考点：圆的面积计算.
