1、考点十五：四边形聚焦考点温习理解一、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于 360。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于 360。推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于 )2(n180；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360。二、平行四边形 1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的
2、交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形三、矩形 1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理 1：有三个角是直角的四边形是
3、矩形（3）定理 2：对角线相等的平行四边形是矩形四、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理 1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S 菱形 =底边长高=两条对角线乘积的一半五、正方形 1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正
4、方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。六、梯形 1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。2、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（3）等腰梯形的对角线相等。（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。3、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯
5、形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。4、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。名师点睛典例分类考点典例一、四边形的内角和及外角和【例 1】 （2015 眉山）一个多边形的外角和是内角和的 52，这个多边形的边数为（ ）A5 B6 C7 D8【答案】C【解析】试题分析：设多边形边数为 n，则 52（ n2）180=360，解得： n=7，则这个多边形的边数是 7，故选C考点：多边形内角与外角【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键【举一反三】1.（2015 广元）一个多边形的内角和是外角和的
6、 2 倍这个多边形的边数为（ ）A5 B6 C7 D8【答案】B考点：多边形内角与外角2.（2015 遂宁）一个 n 边形的内角和为 1080，则 n= 【答案】8【解析】试题分析：（ n2）180=1080，解得 n=8故答案为：8考点：多边形内角与外角考点典例二、平行四边形的性质与判定【例 2】(2014辽宁省本溪市)如图，在ABCD 中，AB=4，BC=6，B=30，则此平行四边形的面积是（ ）A 6 B 12 C 18 D 24【答案】B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半【
7、举一反三】1.（2015辽宁营口） ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，DAC=42，CBD=23，则COD 是( ).A61 B63 C65 D67【答案】C.【解析】试题分析：ADBC,BCA=DAC=42，根据三角形的外角等于和它不相邻的内角和，COD=BCO+CBO=4223=65，故选 C.考点：1.平行四边形的性质；2.三角形外角性质.2.如图， AABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,ABAC.若 AB =4,AC =6,则 BD 的长是( )(A)8 (B) 9 (C)10 （D）11 【答案】C考点典例三、矩形的性质与判定【例 3】 （2015湖南益
8、阳）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，以下说法错误的是（ ）A.ABC=90 B.AC=BD C.OA=OB D.OA=AD【答案】D【解析】试题分析：四边形 ABCD 是矩形，ABC=BCD=CDA=BAD=90，AC=BD，OA= AC，OB= BD，OA=OB，A、B、C 正确，D 错误考点：矩形的性质【点睛】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键.矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论.【举一反三】1.（2015山东泰安，第 23 题） （3 分）如图，在矩形 ABCD 中， M、 N 分别是边 AD、 B
9、C 的中点， E、 F 分别是线段 BM、 CM 的中点若 AB=8， AD=12，则四边形 ENFM 的周长为 【答案】20考点：1三角形中位线定理；2勾股定理；3矩形的性质2.(2015.宁夏，第 13 题，3 分)如图，在矩形 ABCD 中， AB=3,BC=5,在 CD 上任取一点 E，连接 BE,将 BCE沿 BE 折 叠 ， 使 点 E 恰 好 落 在 AD 边 上 的 点 F 处 ， 则 CE 的 长 为 【答案】 35.考点：矩形的性质；折叠的性质；勾 股 定 理 .考点典例四、菱形的性质与判定【例 4】（2015 南充）如图，菱形 ABCD 的周长为 8cm，高 AE 长为
10、3cm，则对角线 AC 长和 BD 长之比为（ ）A1：2 B1：3 C1： 2 D1： 3【答案】D【解析】试题分析：如图，设 AC， BD 相较于点 O，菱形 ABCD 的周长为 8cm， AB=BC=2cm，高 AE 长为3cm， BE= 2ABE=1（ cm） ， CE=BE=1cm， AC=AB=2cm， OA=1cm， AC BD， OB=2O= 3（ cm） ， BD=2OB=23cm， AC： BD=1： 3故选 D考点：菱形的性质【点睛】本题主要考查了根据菱形的性质；勾 股 定 理 .【举一反三】1(2015辽宁葫芦岛） （3 分）如图，在菱形 ABCD 中， AB=10，
11、AC=12，则它的面积是 【答案】96考点：菱形的性质2.（2015辽宁丹东）在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 的长分别是 6 和 8，则菱形的周长是 .【答案】20.【解析】试题分析：因为菱形的对角线垂直平分，对角线 AC，BD 的长分别是 6 和 8，所以一半长是 3 和 4，所以菱形的边长是 5，所以周长是 54=20.考点：菱形的性质.考点典例五、正方形的性质与判定【例 5】如图，ABCD 是正方形场地，点 E 在 DC 的延长线上，AE 与 BC 相交于点 F有甲、乙、丙三名同学同时从点 A 出发，甲沿着 ABFC 的路径行走至 C，乙沿着 AFECD 的路径行走至 D，丙沿
12、着AFCD 的路径行走至 D若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）A 甲乙丙 B 甲丙乙 C 乙丙甲 D 丙甲乙【答案】B【解析】试题分析：四边形 ABCD 是正方形，AB=BC=CD=AD，B=90，甲行走的距离是 AB+BF+CF=AB+BC=2AB；乙行走的距离是 AF+EF+EC+CD；丙行走的距离是 AF+FC+CD，B=ECF=90，AFAB，EFCF，AF+FC+CD2AB，AF+FC+CDAF+EF+EC+CD，甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选 B 【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质的应用，题目比较典型，难度适
13、中【举一反三】1 （2015湖北黄冈，12 题，3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为 CD 上一点， BF 与 AC 交于点 E，若 CBF=20，则 AED 等于_度【答案】65考点：1正方形的性质；2全等三角形的判定与性质2.（2015湖北鄂州，18 题，8 分）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，连接 BE，CE（1）求证：BE=CE（2）求BEC 的度数【答案】(1)证明见解析；（2）30 【解析】试题分析：（1）由正方形和等边三角形的性质得出 AB=AE，DC=DE，BAE=150，CDE=150，可证BAECDE，即可证出 BE=CE；（2）由（1）
14、知：AEB=CED=15，从而可求BEC 的度数.试题解析：（1）证明：四边形 ABCD 为正方形AB=AD=CD,BAD= ADC=90三角形 ADE 为正三角形 AE=AD=DE,EAD=EDA=60BAE=CDE=150BAECDEBE=CE (2) AB=AD, AD=AE,AB=AE ABE=AEB 又 BAE=150 ABE=AEB=15同理：CED=15BEC=600152=30 考点：1.正方形的性质；2.等边三角形的性质考点典例六、等腰梯形的性质与判定（2015山东潍坊，第 14 题，3 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD/BC,BC=50，AB=20，B=60,则AD
15、= .【答案】30考点：1.等腰梯形的性质；2.平行四边形的判定与性质；3.等边三角形的判定与性质.【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，题目比较典型，难度适中是基础知识要熟练掌握【举一反三】1.如图，等腰梯形 ABCD 的周长为 16，BC=4，CD=3，则 AB= 【答案】5.【解析】试题分析：根据等腰梯形的性质可得出 AD=BC，再由 BC=4，CD=3，得出 AB 的长试题解析：四边形 ABCD 为等腰梯形，AD=BC，BC=4，AD=4，CD=3，等腰梯形 ABCD 的周长为 16，AB=16-3-4-4=5.2.如图，等腰梯形 ABCD
16、中，对角线 AC、DB 相交于点 P，BAC=CDB=90，AB=AD=DC则 cosDPC 的值是（ ）A 12B 2C 32D 3【答案】A【解析】试题分析：梯形 ABCD 是等腰梯形，DAB+BAC=180，ADBC，DAP=ACB，ADB=ABD，AB=AD=DC，ABD=ADB，DAP=ACD，DAP=ABD=DBC，BAC=CDB=90，3ABD=90，ABD=30，在ABP 中，ABD=30，BAC=90，APB=60，DPC=60，cosDPC=cos60= 12故选 A课时作业能力提升一选择题1(2015.安徽省，第 8 题，4 分)在四边形 ABCD 中， A B C， 点
17、 E 在 边 AB 上 ， AED 60，则 一 定 有 （ ）A ADE 20 B ADE 30C ADE ADC D ADE ADC12 13【答案】D.【解析】试题分析：设ADE=x，ADC=y，由题意可得，ADE+AED+A=180，A+B+C+ADC=360,即x+60+A=180，3A+y=360，由3-可得 3x-y=0，所以 13xy， 即ADE= 13ADC.故答案选 D.考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理.2.(2015辽宁葫芦岛） （3 分）如图，在五边形 ABCDE 中， A+ B+ E=300， DP、 CP 分别平分 EDC、 BCD，则 P 的度数是（ ）
18、A60 B65 C55 D50【答案】A考点：1多边形内角与外角；2三角形内角和定理3.（2015湖南长沙）下列命题中，为真命题的是（ ）A.六边形的内角和为 360 B.多边形的外角和与边数有关C.矩形的对角线互相垂直 D.三角形两边的和大于第三边【答案】D考点：多边形的内角和与外角和，三角形的边的关系，矩形的性质.4.(2015.陕西省，第 9 题，3 分)在 ABCD 中，AB=10，BC=14，E、F 分别为边 BC、AD 上的点，若四边形AECF 为正方形，则 AE 的长为（ ）A.7 B.4 或 10 C.5 或 9 D.6 或 8【答案】D【解析】试题分析：如图设 AE=x 则
19、BE=14-x因为四边形 AECF 为正方形 所以AEC=AEB=90在ABE 中，有勾股定理可得 10)x-142（ 解得 x=6 或 8.故选 D. FE DCBA考点：正方形的性质、勾股定理.5.（2015 泸州）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A两组对边分别平行 B两组对角分别相等C对角线互相平分 D对角线互相垂直【答案】D【解析】试题分析：A不正确，两组对边分别平行；B不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确， ；C不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；D菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质故选 D考点：1菱形的性质；2平行四边形的性质6. (2015 山东日照
20、，第 6 题，3 分)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：AB=BC，ABC=90，AC=BD，ACBD 中选两个作为补充条件，使ABCD 为正方形（如图） ，现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：解：A、四边形 ABCD 是平行四边形，当AB=BC 时，平行四边形 ABCD 是菱形，当ABC=90时，菱形 ABCD 是正方形，故此选项错误；B、四边形 ABCD 是平行四边形，当ABC=90时，平行四边形 ABCD 是矩形，当 AC=BD 时，这是矩形的性质，无法得出四边形 ABCD 是正方形，故此选项正确；C、四
21、边形 ABCD 是平行四边形，当AB=BC 时，平行四边形 ABCD 是菱形，当AC=BD 时，菱形 ABCD 是正方形，故此选项错误；D、四边形 ABCD 是平行四边形，当ABC=90时，平行四边形 ABCD 是矩形，当ACBD 时，矩形 ABCD 是正方形，故此选项错误故选：B考点：正方形的判定7.（2015 内江）如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12， ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A 3 B 23 C 26 D 6【答案】B考点：1轴对称-最短路线问题；2正方形的性质8.（2015
22、 攀枝花）如图，在菱形 ABCD 中， AB=BD，点 E、 F 分别是 AB、 AD 上任意的点（不与端点重合） ，且 AE=DF，连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H给出如下几个结论： AEDDFB； S 四边形 BCDG= 23C；若 AF=2DF，则 BG=6GF； CG 与 BD 一定不垂直； BGE 的大小为定值其中正确的结论个数为（ ）A4 B3 C2 D1【答案】B【解析】过点 F 作 FP AE 于 P 点（如图 2） ， AF=2FD， FP： AE=DF： DA=1：3， AE=DF， AB=AD， BE=2AE， FP： BE=FP：
23、12AE=1：6， FP AE， PF BE， FG： BG=FP： BE=1：6，即 BG=6GF，故本选项正确；当点 E， F 分别是 AB， AD 中点时（如图 3） ，由（1）知， ABD， BDC 为等边三角形，点 E， F 分别是 AB， AD 中点， BDE= DBG=30， DG=BG，在 GDC 与 BGC 中， DG=BG， CG=CG， CD=CB，GDC BGC， DCG= BCG， CH BD，即 CG BD，故本选项错误； BGE= BDG+ DBF= BDG+ GDF=60，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有，共 3 个，故选 B考点：四边形综合题二填空
24、题9.（2015 资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 【答案】8【解析】试题分析：设多边形的边数为 n，根据题意，得：（ n2）180=3360，解得 n=8则这个多边形的边数是 8故答案为：8考点：多边形内角与外角10. (2015.北京市，第 12 题，3 分)下图是由射线 AB， BC， CD， DE， EA 组成的平面图形，则12345_.【答案】360【解析】试题分析：根据多边形的外角和为 360可得出答案.考点：多边形的外角和11.（2015 广安）如图，已知 E、 F、 G、 H 分别为菱形 ABCD 四边的中点， AB=6cm， ABC=60，
25、则四边形EFGH 的面积为 cm2【答案】 93【解析】试题分析：连接 AC， BD，相交于点 O，如图所示， E、 F、 G、 H 分别是菱形四边上的中点， EH= 12BD=FG， EH BD FG， EF= 12AC=HG，四边形 EHGF 是平行四边形，菱形 ABCD 中，AC BD， EF EH，四边形 EFGH 是矩形，四边形 ABCD 是菱形， ABC=60， ABO=30， AC BD， AOB=90， AO= AB=3， AC=6，在 Rt AOB 中，由勾股定理得： OB= 2ABO=3， BD=63， EH= 12BD， EF= AC， EH=3， EF=3，矩形 EFG
26、H 的面积= EFFG=93cm2故答案为： 9考点：1中点四边形；2菱形的性质12.如图，若该图案是由 8 个全等的等腰梯形拼成的，则图中的 1_.【答案】67.5.考点：1.多边形内角和定理；2. 等腰梯形的性质.13.(2015.宁夏，第 13 题，3 分)如图，在矩形 ABCD 中， AB=3,BC=5,在 CD 上任取一点 E，连接 BE,将 BCE沿 BE 折 叠 ， 使 点 E 恰 好 落 在 AD 边 上 的 点 F 处 ， 则 CE 的 长 为 【答案】 35.【解析】试题分析：由矩形的性质可得 AB=CD=4，AD=BC=5，再根据折叠的性质可得 CE=EF,BF=BC=5
27、.在 Rt ABF 中 ，根 据 勾 股 定 理 可 求 得 AF=4， 设 CE=x， 在 Rt EDF 中 ， 由 勾 股 定 理 可 得 222)45()3(x， 解 得 x=35， 即 CE 的 长 为 35.考点：矩形的性质；折叠的性质；勾 股 定 理 .14（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）菱形 ABCD 的对角线 AC=6cm， BD=4cm，以 AC 为边作正方形 ACEF，则 BF 长为 【答案】5 cm 或 73cm【解析】试题分析： AC=6cm， BD=4cm， AO= 12AC= 6=3cm， BO= 12BD= 4=2m，如图 1，正方形 ACEF 在
28、 AC的上方时，过点 B 作 BG AF 交 FA 的延长线于 G， BG=AO=3cm， FG=AF+AG=6+2=8cm，在 Rt BFG 中， BF=2GF= 238= 7cm，如图 2，正方形 ACEF 在 AC 的下方时，过点 B 作 BG AF 于 G， BG=AO=3cm， FG=AF AG=62=4 cm，在 RtBFG 中， BF= 2B= 24=5cm，综上所述， BF 长为 5cm 或 73cm故答案为：5 cm 或73cm考点：1菱形的性质；2正方形的性质；3分类讨论15.（2015辽宁营口）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这
29、个损矩形的直径，即损矩形外接圆的直径如图，ABC 中，ABC=90，以 AC 为一边向形外作菱形 ACEF，点 D 是菱形 ACEF 对角线的交点，连接BD，若DBC=60，ACB=15，BD= 23，则菱形 ACEF 的面积为 【答案】 123.考点：1.圆的性质；2.菱形性质与面积计算；3.解 30 度角，45 度角直角三角形.三、解答题16.（2015聊城，第 21 题）如图，在ABC 中，AB=BC，BD 平分ABC四边形 ABED 是平行四边形，DE交 BC 于点 F，连接 CE求证：四边形 BECD 是矩形【答案】【解析】试题分析：根据已知条件易推知四边形 BECD 是平行四边形结
30、合等腰ABC“三线合一”的性质证得BDAC，即BDC=90，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到BECD 是矩形试题解析：证明：AB=BC，BD 平分ABC，BDAC，AD=CD四边形 ABED 是平行四边形，BEAD，BE=AD，四边形 BECD 是平行四边形BDAC，BDC=90，BECD 是矩形考点：矩形的判定17.如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE.（1）求证：CE=CF；（2）若点 G 在 AD 上，且GCE=45，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？【答案】 （1）证明见解析；（2）GE=BE+GD 成立，理由
31、见解析.【解析】试题分析：（1）由 DF=BE，四边形 ABCD 为正方形可证CEBCFD，从而证出 CE=CF（2）由（1）得，CE=CF，BCE+ECD=DCF+ECD 即ECF=BCD=90又GCE=45所以可得GCE=GCF，故可证得ECGFCG，即 EG=FG=GD+DF又因为 DF=BE，所以可证出 GE=BE+GD 成立试题解析：（1）在正方形 ABCD 中，BC=CD，B=CDF，BE=DF，CBECDF（SAS） CE=CF（2）GE=BE+GD 成立理由是：由（1）得：CBECDF，BCE=DCF.BCE+ECD=DCF+ECD，即ECF=BCD=90.又GCE=45，GC
32、F=GCE=45CE=CF，GCE=GCF，GC=GC，ECGFCG（SAS） GE=GFGE=DF+GD=BE+GD考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.等腰直角三角形的性质18.（2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭） 【8 分】如图 1 所示，在正方形 ABCD 和正方形CGEF 中，点 B、 C、 G 在同一条直线上， M 是线段 AE 的中点， DM 的延长线交 EF 于点 N，连接 FM，易证：DM=FM， DM FM（无需写证明过程）（1）如图 2，当点 B、 C、 F 在同一条直线上， DM 的延长线交 EG 于点 N，其余条件不变，试探究线段 DM与
33、 FM 有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；（2）如图 3，当点 E、 B、 C 在同一条直线上， DM 的延长线交 CE 的延长线于点 N，其余条件不变，探究线段 DM 与 FM 有怎样的关系？请直接写出猜想【答案】 （1） DM=FM， DM FM，证明见试题解析；（2） DM=FM， DM FM【解析】试题分析：（1）连接 DF， NF，由正方形的性质，得到 AD BC， BC GE，于是有 AD GE，得到 DAM= NEM，即可证得 MAD MEN，得出 DM=MN， AD=EN，推出 MAD MEN， DFN 是等腰直角三角形，即可得到结论；（2）连接 DF， NF，由正方形的性
34、质，得到 AD BC， AD CN，进而得到 DAM= NEM，可证 MADMEN，有 DM=MN， AD=EN，推出 MAD MEN， DFN 是等腰直角三角形，于是可得到结论试题解析：（1）如图 2， DM=FM， DM FM证明如下：连接 DF， NF，四边形 ABCD 和 CGEF 是正方形， AD BC， BC GE， AD GE， DAM= NEM， M 是AE 的中点， AM=EM，在 MAD 与 MEN 中， AMD= EMN， AM=EM， DAM= NEM， MADMEN， DM=MN， AD=EN， AD=CD， CD=NE， CF=EF， DCF= DCB=90，在 D
35、CF 与 NEF 中， CD=EN， DCF= NEF=90， CF=EF， MAD MEN， DF=NF， CFD= EFN， EFN+ NFC=90， DFC+ CFN=90， DFN=90， DM FM， DM=FM；（2）猜想： DM FM， DM=FM证明如下：如图 3，连接 DF， NF，四边形 ABCD 是正方形， AD BC，点 E、 B、 C 在同一条直线上， AD CN， ADN= MNE，在 MAD 与 MEN 中， AMD= EMN， AM=EM， DAM= NEM， MADMEN， DM=MN， AD=EN， AD=CD， CD=NE， CF=EF， DCF=90+4
36、5=135， NEF=18045=135， DCF= NEF，在 DCF 与 NEF 中， CD=NE， DCF= NEF=135， CF=EF， MADMEN， DF=NF， CFD= EFN， CFD+ EFD=90， NFE+ EFD=90， DFN=90， DM FM， DM=FM考点：四边形综合题19.（山东潍坊，第 23 题，12 分） （12 分）如图 1，点 O 是正方形 ABCD 两对角线的交点，分别延长 OD 到点 G，OC 到点 E，使 OG=2OD，OE=2OC，然后以 OG、OE 为邻边作正方形 OEFG，连接 AG，DE（1）求证：DEAG；（2）正方形 ABCD
37、固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 角（0360）得到正方形OEFG，如图 2在旋转过程中，当OAG是直角时，求 的度数；若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF长的最大值和此时 的度数，直接写出结果不必说明理由【答案】 （1）见解析；（2） 30或 150， AF的长最大值为 2，此时 0315.【解析】试题分析：（1）延长 ED 交 AG 于点 H，根据条件证明 RtAOGRtDOE 后，利用互余的关系可证；（2）结合图形和条件 OAG=90可知，要分 009 和 018 两种情况讨论，利用直角三角形的性质可求出答案， 根据题意和图形分析可知：当点 F在线段 A
38、C 的延长线上时， AF的长最大值为 2，此时 0315在AOG 和DOE 中，AOGDOE，2 分AGO=DEO，AGO+GAO=90，AGO+DEO=90，AHE=90，即 DEAG；4 分（2）在旋转过程中，OAG成为直角有两种情况：（） 由 0增大到 90过程中，当OAG=90时，OA=OD= OG= OG，在 RtOAG中，sinAGO= = ，AGO=30，.5 分OAOD，OAAG，ODAG，6 分DOG=AGO=30，即 =30；7 分如图 3，当旋转到 A、O、F在一条直线上时，AF的长最大，正方形 ABCD 的边长为 1，OA=OD=OC=OB= ，OG=2OD，OG=OG= ，OF=2，AF=AO+OF= +2，COE=45，此时 =315.12 分考点：1.正方形的性质；2.图形旋转的性质；3.全等三角形的判定与性质；4.解直角三角形.
