1、5.2 图形的相似易错清单1. 在研究三角形相似时,如果没有明确对应关系时,就一定要分类讨论,否则解答不完整 .【例 1】 (2014新疆模拟)将三角形纸片( ABC)按如图所示的方式折叠,使点 B 落在边 AC 上,记为点 B,折痕为 EF.已知 AB=AC=3,BC=4,若以点 B,F,C 为顶点的三角形与ABC 相似,那么 BF 的长度是 . 【解析】 分两种情况讨论 .由于 CF=BC-BF=BC-BF,可算出 BF 的长即为 BF 的长;同理可以计算 BF 的长 .【答案】 或 2【误区纠错】 在判定三角形相似,未明确对应关系时,特别注意不要忘了分类,再根据不同的对应关系分别计算要求
2、的线段 .【例 2】 (2014青海模拟)如图,正方形 ABCD 的两边 BC,AB 分别在平面直角坐标系的 x 轴, y 轴的正半轴上,正方形 ABCD与正方形 ABCD是以 AC 的中点 O为中心的位似图形,已知 AC=3,若点 A的坐标为(1,2),则正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是( ).【解析】 延长 AB交 BC 于点 E,根据大正方形的对角线长求得其边长,然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比 . 在正方形 ABCD 中, AC=3, BC=AB=3.延长 AB交 BC 于点 E, 点 A的坐标为(1,2), OE=1,EC=3-1=2=AE. 正方形 A
3、BCD的边长为 1. 正方形 ABCD与正方形 ABCD 的相似比是 .【答案】 B名师点拨1. 三角形相似的性质与判定 .2. 运用相似的知识解决一些实际问题,要能够在理解题意的基础上,把它转化为纯数学知识的问题,要注意培养数学建模的思想 .提分策略1. 在平面直角坐标系中,综合运用坐标与图形,相似三角形的判定与性质解决问题 .【例 1】 如图,甲、乙两人分别从 A(1,),B(6,0)两点同时出发,点 O 为坐标原点,甲沿AO 方向,乙沿 BO 方向均以 4km/h 的速度行驶, th 后,甲到达点 M,乙到达点 N.(1)请说明甲、乙两人到达 O 点前, MN 与 AB 不可能平行 .(
4、2)当 t 为何值时, OMN OBA?【解析】 此题综合考查了坐标与图形、相似三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的应用等知识点,难度较大 .(1)用反证法说明 .根据已知条件分别表示相关线段的长度,根据三角形相似的比例式说明;(2)根据两个点到达点 O 的时间不同分段讨论解答;本题最大误区是易漏解 .【答案】 (1)因为 A 的坐标为(1,),所以 OA=2, AOB=60.因为 OM=2-4t,ON=6-4t,时,解得 t=0,即在甲、乙两人到达点 O 前,只有当 t=0 时, OMN OAB,所以 MN 与 AB 不可能平行;2. 综合运用相似三角形的判定与性质,平行四边形的性质,菱形
5、的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识解决较复杂的问题 .【例 2】 如图,在 ABC 中, AB=AC=10cm,BC=12cm,点 D 是边 BC 的中点,点 P 从点 B 出发,以 acm/s(a0)的速度沿 BA 匀速向点 A 运动;点 Q 同时以 1cm/s 的速度从点 D 出发,沿DB 匀速向点 B 运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为 ts.若 a=2, BPQ BDA,求 t 的值 .【解析】 此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识 .此题难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用 .
6、由 ABC 中, AB=AC=10cm,BC=12cm,D 是 BC 的中点,根据等腰三角形三线合一的性质,即可求得BD 与 CD 的长,又由 a=2, BPQ BDA,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得 t 的值 .【答案】 在 ABC 中, AB=AC=10 cm,BC=12 cm,D 是 BC 的中点, BD=CD=6cm. a=2, BP=2t cm,DQ=t cm. BQ=BD-QD=6-t(cm). BPQ BDA, BP BD=BQAB.即 2t 6=(6-t) 10.解得专项训练一、 选择题1. (2014浙江嘉兴模拟)如图,已知 AD 为 ABC 的角平分线, DE AB
7、 交 AC 于点 E,如果 =,那么等于( ).(第 1 题)(第 2 题)2. (2014广西百色模拟)正方形 ABCD,正方形 BEFG 和正方形 RKPF 的位置如图所示,点 G在线段 DK 上,正方形 BEFG 的边长为 4,则 DEK 的面积为( ).A. 10 B. 12C. 14 D. 163. (2013吉林镇赉县一模)如图,在梯形 ABCD 中, AD BC,对角线 AC,BD 相交于点 O,若AD=1,BC=3,则 S AODS BOC等于( ).(第 3 题)(第 4 题)4. (2013安徽淮南洞山中学第四次质量检测)如图, E(-4,2),F(-1,-1),以 O 为
8、位似中心,按比例尺 1 2,把 EOF 缩小,则点 E 的对应点 E的坐标为( ).A. (2,-1)或( -2,1) B. (8,-4)或( -8,4)C. (2,-1) D. (8,-4)二、 填空题5. (2014安徽安庆二模)如图,在 ABC 中, E,F,D 分别是边 AB,AC,BC 上的点,且满足则 EFD 与 ABC 的面积比为 . (第 5 题)(第 6 题)6. (2014安徽淮北五校联考)如图,在四边形 ABCD 中, AD BC, BCD=90, ABC=45,AD=CD,CE 平分 ACB 交 AB 于点 E,在 BC 上截取 BF=AE,连接 AF 交 CE 于点
9、G,连接 DG 交 AC于点 H,过点 A 作 AN BC,垂足为 N,AN 交 CE 于点 M.则下列结论: CM=AF ;CE AF; ABF DAH;GD 平分 AGC.其中正确的序是 . 7. (2013浙江湖州模拟) 的比例中项是 . (第 8 题)8. (2013河南西华县王营中学一模)如图,已知 ABC 是面积为的等边三角形, ABCADE,AB=2AD, BAD=45,AC 与 DE 相交于点 F,则 AEF 的面积等于 .(结果保留根号) 三、 解答题9. (2014上海杨浦区三模)在梯形 ABCD 中, AD BC,DC BC,CE AB 于点 E,点 F 在边 CD 上,
10、且BECE=BCCF.(1)求证: AECF=BEDF;(2)若点 E 为 AB 中点,求证: ADBC=2EC2-BC2.(第 9 题)10. (2013河北二模)探究一:如图(1),在正三角形 ABC 中, E 为边 AB 上任一点, CDE 为正三角形,连接 AD,猜想 AD 与 BC 的位置关系,并说明理由 .探究二:如图(2),若 ABC 为任意等腰三角形, AB=AC,E 为 AB 上任一点, CDE 为等腰三角形,DE=DC,且 BAC= EDC,连接 AD,猜想 AD 与 BC 的位置关系,并说明理由 .(第 10 题)参考答案与解析1. B 解析 DE AB,AD 为 ABC
11、 的角平分线, AE=DE. ABAC=DEEC=AEEC= 2 3.3. D 解析面积比等于相似比的平方 .4. A 解析位似图形与 EOF 有可能在点 O 同侧,也有可能在异侧 .9. (1) CE AB, B+ BCE=90. DC BC, DCE+ BCE=90. B= DCE. BECE=BCCF, BCE CEF. BCE= CEF. EF BC.即 AECF=BEDF.(2)在梯形 ABCD 中, EF BC,E 为 AB 中点, EF=(AD+BC). BCE CEF, =,即 CE2=BCEF. CE2=(AD+BC)BC.整理,得 ADBC=2EC2-BC2.10. (1)如图(1), AD BC. ABC 与 DEC 为正三角形, AC=BC,DC=EC,1 +2 =2 +3 =60. 1 =3 .在 ADC 与 BEC 中, ADC BEC. DAC= B=60. DAC= ACB. AD BC.(1)(2)(第 10 题)(2)如图(2), AD BC. ABC 与 DEC 为等腰三角形,且 BAC= EDC, ABC DEC. ACB= DCE,即1 +2 =2 +3 . 1 =3 . ADC BEC. DAC= B.又 AB=AC, B= ACB. DAC= ACB. AD BC.
