1、第二章 2.3 抛物线看一看 一、抛物线的定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线若定点 在定直线上,则满足条件的动点的轨迹为过点 且垂直于的一条直线.二、抛物线的标准方程：方程 y22px,x 22py(p0)叫做抛物线的标准方程温馨提示：（1）四个标准方程的区分：焦点在一次项字母对应的坐标轴上,开口方向由一次项系数的符号确定当系数为正时,开口方向为坐标轴的正方向；系数为负时,开口方向为坐标轴的负方向.（2）焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x22py 通常又可以写成 yax 2,这与
2、以前学习的二次函数的解析式是完全一致的,但需要注意的是,由方程 yax 2来求其焦点和准线时,必须先化成标准形式（3）确定抛物线的标准方程,从形式上看,求需求一个参数 p,但是由于标准方程由四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行讨论,有时也可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在 轴上的抛物线标准方程可设为 ,焦点在 轴上的抛物线方程可设x2y=mx(0)y2x=my(0)三、抛物线的几何性质：设抛物线的标准方程为 y22px(p0)(1)范围：抛物线上的点(x,y)的横坐标 x 的取值范围是 ,抛物线在 y 轴的右侧,当 x 的值增大时,x|y|也增大,抛物线向右上方
3、和右下方无限延伸(2)对称性：抛物线关于 轴对称,抛物线的对称轴叫做抛物线的轴x(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点为 (0,)(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用 e 表示,其值为 1(5)抛物线的焦点到其准线的距离为 ,这是 的几何意义,顶点到准线的距离为 ,焦点到顶点的距p p2离为 2p想一想1、你知道抛物线焦点弦有哪些性质吗？练一练一、选择题1 【2017 安徽铜陵期中】抛物线 的准线方程是（ ）2xyA. B. C. D. 2x1x11y2 【2017 山东日照二模】已知抛物线 C： 的焦点为 F,点 P(2,)
4、为抛物线 C 上一点,则24x等于PFA. 2 B. 3 C. 4 D. 63 【2017 黑龙江大庆三模】已知抛物线 上一点 纵坐标为 ,则点 到抛物线焦点的距离24xyA4A为（ ）A. B. C. D. 104154 【2017 四川成都期中】已知点 为抛物线 上的动点,设点 到此抛物线的准线的距离为P24yxP,到直线 的距离为 ,则 的最小值是（ ）1d0xy2d12A. B. C. 2 D. 525 【2017 衡水中学猜题卷】如图,过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 ,交2(0)ypxFAB其准线于点 ,若 ,且 ,则此抛物线方程为（ ）C2BF3AA. B. C. D. 29
5、yx26yx23yx23yx6已知抛物线 的三个顶点都在抛物线上, 为坐标原点,设 三条边0,pABCOABC的中点分别为 ,且 的纵坐标分别为 .若直线 的,ABCMNQ123y,斜率之和为-1,则 的值为（ ）123yA B C D2pp1p12p二、填空题7 【2017 福建漳州期末】已知抛物线 的焦点 和点 ,点 为抛物线上一点,则24xyF15AP的最小值为_PAF8 【2017 河南濮阳期末】过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线交抛物线于2(0)ypx30两点,若线段 的长为 8,则 _BP9已知点 是抛物线 的焦点,点 在抛物线 上, ,当 周长最小时,该三F2:4CyxBC(5
6、4)ABF角形的面积为 .三、解答题10 【2017 福建漳州期末】已知点 是抛物线 上位于第一象限的点,焦点 ,且 ,过A2xy52A的直线交抛物线于点 .,AFB（）求直线的方程；（）在抛物线 部分上求一点 ,使 到直线距离最大,并求出最大值.AOBP11已知抛物线的顶点在原点,准线方程为 , 是焦点,过点 的直线与抛物线交于1xF(2,0)A两点,直线 分别交抛物线于点 .12()()PxyQ,FQ,MN（1）求抛物线的方程及 的值；12y（2）记直线 的斜率分别为 ,证明： 为定值.,MN12k12k12已知抛物线 的准线方程是 .2(0)ypxx（）求抛物线的方程；（）设直线 与抛物线相交于 , 两点, 为坐标原点,证明： .()kMNOOMN乐一乐四色猜想四色定理又称四色猜想、四色问题,是世界三大数学猜想之一.1852 年,毕业于伦敦大学的格斯里来到一家科研单位搞地图着色工作时,发现每幅地图都可以只用四种颜色着色,就突发奇想：这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？四色定理是一个著名的数学定理,通俗的说法是：每个平面地图都可以只用四种颜色来染色,而且没有两个邻接的区域颜色相同.1976 年借助电子计算机证明了四色问题.
