1、棱镜波导耦合研究 朱少奇 北京科技大学数理学院物理 0802 班 摘要 本文针对光电技术基础讲义第 3章光束耦合器中的棱镜耦合器光束耦合过程中所出现的光强 透过率和功率传输 问题 给出了探索性的解答。其中，在光强传播的 x 方向，也即垂直波导薄膜表面方向上，通过运用类似于量子力学中势垒穿透的方法求出了光强沿 x方向透过率和反射率的表达式；在光强传播的 z方向，也即波导传输的方向上，利用微扰理论解答了传输功率的耦合问题，并推导出棱镜和波导之间的最佳耦合条件。 一，棱镜耦合 中的亥姆霍兹方程 图 1 棱镜耦合器 上图 棱镜耦合器模型中， 利用麦克斯韦方程组，可以得出 光电磁场在 棱镜，空气隙和波导
2、薄膜三个区域的亥姆霍兹方程。 在入射光为时谐波的情况下 (,) ()(,) () 可推导出亥姆霍兹方程： 2 +2 2 2 沿 x 方向上的亥姆霍兹方程： 2 +2 沿 z 方向上的亥姆霍兹方程： 2 +2 在 y 方向上，光强沿自由空间传播，这里忽略不计。接下来，将分别讨论 x和 z 方向上光强的传输情况。 二， x 轴向 棱镜耦合与势垒穿透 图 2 棱镜耦合与势垒穿透模型对比 上图右边所代表的是 x 方向上光场传输情况。其中， 和 2分别代表光线在棱镜与空气隙界面入射和反射强度， 和 2分别代表空气隙和薄膜界面的入射和反射光强度，而 C 表示透过空气隙到达波导的光强度。这里我们可以跟量子力
3、学中的势垒穿透模型进行类比。 实现光纤耦合的条件是在光线在棱镜表面发生全反射。全反射条件如下： 2 为简化计算，我们假设棱镜和波导薄膜的折射率都为 ，空气隙的折射率为 。于是，在棱镜，空气隙和波导区域，波矢分别为： 2 2 其中 和 分别为入射光在棱镜表面的入射角和折射角。 三个波矢中， 和 为实数， 2为虚数。 x 方向上，光强将在空气隙中发生衰减，在光强衰减为 倍之前，电磁波到达薄膜区域，从而实现了 光强的传输。这一模型刚好跟电子穿透势能高于其动能的势垒时的情况相符合。因为在势垒区，电子的波矢同样为虚数，而在势垒两边，波矢为实数。所以，可以采用势垒穿透的方法解决该问题。 在三个区域，方程
4、2 + 2 的解分别为： ( )+ 2 ( )2 ( 2 )+ 2 (2 )( )由边界电场强度 E 及其导数的连续性，我们有： 时，有 + 2 + 2 2 2 +2 2时，有 ( 2 )+ 2 ( 2 ) ( ) 2 ( 2 )+2 2 ( 2 ) ( )通过上式我们可以求出各振幅之比，进而由波印廷矢量，求出各光束能流密度之比，也就是传输功率之比。 棱镜 空气 薄膜 x z 2 2 波印廷矢量： ( ) 2 得到薄膜功率与入射功率之比等于振幅的模方之比： 22 ( 2 +22) 2(2 )( 2 +22) 2(2 )+ 222 棱镜界面入射功率与反射功率之比： 2 22 222( 2 +22
5、) 2(2 )+ 222 透射率和折射率之和满足能量守恒定律： 22 +2 22 从该模型结果可以看出， 在 x 方向上，光功率不能 100%从棱镜中耦合到波导中，它会通过全反射使能量发生衰减。 三， z 轴向棱镜耦合与微扰理论 沿 z 方向上的亥姆霍兹方程 2 + 2 其中 为 z 方向的传播常数，由边界条件， 在各个区域保持不变。 场强可写成单色平面波解： ( ) 2 2 ( 2 ) 易知，上式是下述方程的解 ： 在不考虑微扰的情况下，两个振幅传播函数 _1 和 _2 满足以上方程，若考虑二者的耦合作用，按照微扰理论 1 ，二者耦合波方程组就可以写成： ( ) ( ) 2( ) 2( )
6、2 2( ) ( ) 其中， _1 和 _2 分别为棱镜和光栅单独存在时的传播常数， 为耦合系数 。 这里耦合系数根据非线性光学的微扰理论推导得来，在这里不做深入讨论。 加上初始条件 , ( ) , 2( ) ，可以解出： ( ) 2 ( ) ( ) 2( ) 2 ( ) 其中， 2， 2 2 +( 2 )2 所以两个光波沿 z 方向的光场功率分别为： ( ) ( ) 2 2( ) 2( ) 2 棱镜 相对功率和导波相对功率的表达式为： ( ) 2 2 2( ) 2 其中， ( ) ， 2 2 +( 2 )2， 代表初始入射光功率。 图 3 时棱镜与波导光功率比 从上图可以定性的看出，当 2
7、时， ，棱镜中的光强功率始终不为 0，波导功率比无法达到最佳值 1。 当 2 ，即满足相位匹配条件时， ， ，于是： 2 2 2 图 3 时棱镜与波导光功率比 0 1 2 3 4 5 6 700 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91kz功率比nn 1 = 1 - s i n ( k z ) .2n 2 = s i n ( k z ) .20 1 2 3 4 5 6 700 . 10 . 20 . 30 . 40 . 50 . 60 . 70 . 80 . 91kz功率比nn 1 = 1 - s i n ( k z ) .2n 2 = s i
8、n ( k z ) .2从上图可以看出 ，当 2 时， ， 2 ， 沿 z 方向的入射光功率完全转化为导波功率 。 此时，达到最佳耦合条件，也就是 图 1 中的耦合长度 L： 可以很自然的知道，当 2 ( + )时，棱镜中的光功率完全传输到波导中。而当时，波导光功率又完全耦合到棱镜当中。这样，棱镜和波导之间达到了光强的相互耦合的效果。所以，合理设置耦合长度 ，可以使得棱镜中的沿 z 轴方向上的光功率完全耦合到光纤当中，达到最佳耦合条件。 四，结论 本文探讨了在棱镜波导耦合中光强传输的问题。在垂直波导表面的 x 轴向上，光强会发生衰减，透射到波导薄膜的功率比和入射光在棱镜表面的反射功率比满足能量守恒。这一衰减不可避免，即在 x 方向上，光强无法完全从棱镜耦合到波导中。在波导传播方向 z 轴向上，根据微扰理论，棱镜和波导之间的光强发生微扰相互作用，该作用使得棱镜中 z 轴方向光功率可以完全耦合到波导当中，波导耦合的相位匹配条件以及最佳耦合条件可以此为前提推导而出。 五，参考文献 1邱宏，光电子技术基础讲义，北京科技大学， 2009 年 11 月 2俞宽新，高等光学，北京工业大学出版社， 2009 年 9 月， P229 3季燕江，量子力学讲义，北京科技大学 4张志刚，刘丽梅，朱婧， Matlab 与数学实验，中国铁道出版社
