1、3.3 导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数1.掌握函数的单调性与导数的关系.(难点)2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间.(重点)3.能根据函数的单调性求参数.(难点)基础初探教材整理 函数的单调性与导数阅读教材 P89P 90“思考 ”部分，完成下列问题.1.函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b) 内的函数 yf(x)f(x)的正负 f(x)的单调性f(x)0 单调递增f(x)0，则函数 f(x)在定义域上单调递增.( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”.( )(3)函数在某个区间上变
2、化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大.( )(4)在区间(a，b)内，f(x)0 是 f(x)在此区间上单调递增的充要条件.( )【答案】 (1) (2) (3) (4)小组合作型求函数的单调区间求下列函数的单调区间：(1)f(x) x32x 2x ；(2)f(x) 3x22ln x ；(3)f(x) x2aln x (aR， a0). 12【导学号：97792043】【精彩点拨】 在定义域内解不等式 f(x)0(或 f(x)0)，确定单调区间.【自主解答】 (1)函数的定义域为 R，f(x)x 32x 2x ，f(x)3x 24x1.令 f(x)0，解得 x1 或 x .13因此 f(x
3、)的单调递增区间是 ，(1 ，).( ，13)令 f(x)0，解得 x1.13因此 f(x)的单调递减区间是 .(13，1)(2)函数的定义域为(0，).f(x)6x 2 .2x 3x2 1x令 f(x)0，即 2 0，3x2 1x解得 x0 或 x .33 33又 x0，x ；令 f(x)0，即 2 0，33 3x2 1x解得 x 或 0x ，33 33又 x0，0 x .33f(x)的单调递增区间为 ，(33， )单调递减区间为 .(0，33)(3)函数定义域为(0，) ，f(x)x .ax当 a0 时，f(x )x 0 恒成立，这时函数只有单调递增区间为ax(0， ) ；当 a0 时，由
4、 f(x)x 0，得 x ；由 f(x)x 0，得ax a ax0x ，所以当 a0 时，函数的单调递增区间是 ，单调递减 a ( a， )区间是(0 ， ). a综上，当 a0 时，单调递增区间为(0，)，无单调递减区间；当 a0时，单调递增区间为( ，)，单调递减区间为(0， ). a a利用导数求单调区间，实质上是在定义域内求不等式 f(x)0 或 f(x)0 的解集.如果在某个区间内恒有 f(x)0，则 f(x)是常函数；如果在某个区间内只有有限个点使 f(x)0，其余点恒有 f(x)0(f(x )0) ，则 f(x)仍为增函数(减函数).再练一题1.(1)函数 yx 3x 2x 的单
5、调递增区间为 ( )A. 和(1，)( ， 13)B.( 13，1)C. (1，)( ， 13)D.( 1，13)(2)函数 f(x)x2sin x 在(0，) 上的单调递增区间为_.【解析】 (1)y 3x 22x1，令 y0，得 x1，所以函数的单调13递增区间为 和(1，).( ， 13)(2)令 f(x)12cos x0，则 cos x0 ，yxe x在(0，)内为增函数.【答案】 B2.已知二次函数 f(x)的图象如图 333 所示，则其导函数 f(x)的图象大致形状是( )图 333【解析】 根据图象可设 f(x)a(x1)(x1)( a0)，则 f(x)2ax(a0).故选 B.
6、【答案】 B3.函数 f(x)(x1)e x的单调递增区间是_.【解析】 f(x )(x1)e x(x1)(e x)xe x，令 f(x)0，解得 x0，故 f(x)的增区间为(0，).【答案】 (0，)4.若函数 f(x)x 3x 2mx 1 是 R 上的单调增函数，则 m 的取值范围是_. 【导学号：97792045】【解析】 f(x )3x 22xm，由题意知 f(x)在 R 上单调递增，412m0，m .13【答案】 m135.设 f(x) ，其中 a 为正实数.若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值ex1 ax2范围.【解】 对 f(x)求导得 f(x)e x ，1 ax2 2ax1 ax22若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f(x)在 R 上不变号，结合 a0，知 ax22ax10 在 R 上恒成立，因此 4a 24a4a(a1)0，由此并结合 a0，知 0a1.即 a 的取值范围为 (0,1.
