1、2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.(重点)2.理解共线向量、相等向量的概念.(难点)3.正确区分向量平行与直线平行.(易混点)基础初探教材整理 1 向量及其几何表示阅读教材 P74P 75 例 1 以上内容，完成下列问题.1.向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量.2.向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点 、方向、长度.(2)向量可以用有向线段表示.向量 的大小，也就是向量 的
2、长度(或称模) ，记作| |.AB AB AB 向量也可以用字母 a，b，c，表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如， ， .AB CD 判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)向量可以比较大小.( )(2)坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量.( )(3)某个角是一个向量.( )(4)体积、面积和时间都不是向量.( )【解析】 因为向量之间不可以比较大小，故(1)错；x 轴、y 轴只有方向，没有大小，故(2)错；因为角只有大小没有方向，故(3)错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以(4)正确.【答案】 (1) (2) (3) (4)教材整理 2 向量
3、的有关概念阅读教材 P75 第十八行以下至 P76 例 2 以上内容，完成下列问题.零向量 长度为 0 的向量，记作 0单位向量 长度等于 1 个单位的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量向量 a，b 平行，记作 ab规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量向量 a 与 b 相等，记作 ab判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)单位向量都平行.( )(2)零向量与任意向量都平行.( )(3)若 ab，bc，则 ac.( )(4)| | |.( )AB BA 【解析】 (1)错误，长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方
4、向，故单位向量不一定平行；(2)正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；(3)错误，若 b0，则(3)不成立；(4)正确.【答案】 (1) (2) (3) (4)小组合作型向量的有关概念判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量 a 与 b 同向，且| a|b|，则 ab；(2)若向量|a| | b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量| a| b|，若 a 与 b 的方向相同，则 ab；(4)由于 0 方向不确定，故 0 不与任意向量平行；(5)向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反.【精彩点拨】 解答本题应根据向量的有关
5、概念，注意向量的大小、方向两个要素.【自主解答】 (1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小.(2)不正确.由|a| b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系.(3)正确.因为|a| b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件，可得 ab.(4)不正确.依据规定：0 与任意向量平行.(5)不正确.因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向不定 .求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.再练一题1.给出下列命题：若|a| |b|，则 ab 或 a b；向量的模一定是正数；起点不同，
6、但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；向量 与 是共线向量，则 A，B，C ，D 四点必在同一直线上.AB CD 其中正确命题的序号是_.【解析】 错误.由|a| |b|仅说明 a 与 b 模相等，但不能说明它们方向的关系 .错误.0 的模|0| 0.正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求两个向量 ，AB 必须在同一直线上.CD 【答案】 向量的表示及应用某人从 A 点出发向东走了 5 米到达 B 点，然后改变方向按东北方向走了 10米到达 C 点，到达 C 点后又改变方向向西走了 10 米到达 D 点.2(1
7、)作出向量 ， ， ；AB BC CD (2)求 的模. 【 导学号：00680033 】AD 【精彩点拨】 可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把 放在AD 直角三角形中求得| |.AD 【自主解答】 (1)作出向量 ， ， ，如图所示：AB BC CD (2)由题意得，BCD 是直角三角形，其中BDC90， BC10 米，CD 10 米，2所以 BD10 米.ABD 是直角三角形，其中ABD90 ，AB5 米，BD10 米，所以AD 5 (米)，所以 | |5 米.52 102 5 AD 51.向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后
8、根据向量的长度确定向量的终点.(2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如 ， ， 等.AB CD EF 2.两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.再练一题2.一辆汽车从点 A 出发，向西行驶了 100 公里到达点 B，然后又改变方向，向西偏北50的方向行驶了 200 公里到达点 C，最后又改变方向，向东行驶了 100 公里达到点 D.(1)作出向量 ， ， ；AB BC CD (2)求|
9、 |.AD 【解】 (1)如图所示.(2)由题意知 与 方向相反， 与 共线，AB CD AB CD 在四边形 ABCD 中，AB CD.又| | |，AB CD 四边形 ABCD 为平行四边形，| | |200(公里).AD BC 探究共研型相等向量与共线向量探究 1 向量 a，b 共线，向量 b，c 共线，向量 a 与 c 是否共线？【提示】 向量 a 与 c 不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若 b0，则向量a 与 c 不一定共线 .探究 2 两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？【提示】 不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无
10、关.(1)如图 211，在等腰梯形 ABCD 中.图 211 与 是共线向量；AB CD ； .AB CD AB CD 以上结论中正确的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3(2)下列说法中，正确的序号是_.若 与 是共线向量，则 A，B，C ，D 四点必在一条直线上；AB CD 零向量都相等；任一向量与它的平行向量不相等；若四边形 ABCD 是平行四边形，则 ；AB DC 共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.【精彩点拨】 可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断.【自主解答】 (1)因为 与 的方向不相同，也不相反，所以 与 不共线，即AB CD AB CD 不正确；由可知也不正确；
11、因为两个向量不能比较大小，所以不正确.(2)因为向量 与 是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以 A，B ，C ，D 也不AB CD 一定在一条直线上，所以错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，即错误；画出图形，可得 ，所以正确；由共线向量的定义可AB DC 知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以不正确.【答案】 (1)A (2)相等向量与共线向量需注意的四个问题：(1)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.(2)两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两
12、个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.(3)平行(共线) 向量无传递性(因为有 0).(4)三点 A，B ，C 共线 ， 共线.AB AC 再练一题3.如图 212 所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心.图 212(1)分别写出图中与 ， ， 相等的向量；OA OB OC (2)与 的长度相等、方向相反的向量有哪些？OA 【解】 (1)与 相等的向量有 ， ， ；与 相等的向量有 ， ， ；与 相OA EF DO CB OB DC EO FA OC 等的向量有 ， ， .FO ED AB (2)与 的长度相等、方向相反的向量有 ， ， ， .OA OD BC
13、 AO FE 1.下列说法中正确的个数是( )身高是一个向量；AOB 的两条边都是向量；温度含零上和零下温度，所以温度是向量；物理学中的加速度是向量.A.0 B.1 C.2 D.3【解析】 只有中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，错误.正确.【答案】 B2.在下列判断中，正确的是( ) 【导学号：00680034】长度为 0 的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；单位向量的长度都相等；单位向量都是同方向；任意向量与零向量都共线.A. B.C. D.【解析】 由定义知正确，由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然正确，不正确，故选 D.【答案】 D3.
14、设 e1，e 2是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )A.e1e 2 B.e1 e2C.|e1|e 2| D.以上都不对【解析】 单位向量的模都等于 1 个单位，故 C 正确.【答案】 C4.在下列命题中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相等的向量是相等向量；平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是_. 【导学号：70512022】【解析】 由向量的相关概念可知正确.【答案】 5.如图 213 所示，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩形，找出与向量相等的向量 .AB 图 213【解】 由四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩形，知 ， 与 的长DC ED AB 度相等且方向相同，所以与向量 相等的向量为 和 .AB DC ED
