1、1.5 函数 yAsin(x) 的图象1.理解参数 A， 对函数 yAsin(x )的图象的影响；能够将 ysin x 的图象进行交换得到 yA sin(x)，xR 的图象.(难点)2.会用“五点法”画函数 yAsin(x )的简图；能根据 yAsin(x )的部分图象，确定其解析式.(重点)3.求函数解析式时 值的确定 .(易错点)基础初探教材整理 1 对函数 ysin(x)的图象的影响阅读教材 P49P 50“探索二”以上内容，完成下列问题.ysin x ysin(x ). 0时 ，向 左 平 移 |个 单 位 长 度 0)对函数 ysin(x )的图象的影响阅读教材 P50“探索二”以下
2、至 P51 第六行以上内容，完成下列问题.ysin(x )1 时，所有点的横坐标缩短到原来 ,00)对 yAsin(x )的图象的影响阅读教材 P51 第六行以下至 P53“例 1”以上内容，完成下列问题.1.ysin(x) A1时 ，所 有 点 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 A倍 00或 向 右 0，0)中，各参数的物理意义.振幅 A 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离周期T2 它是物体往复运动一次所需要的时间频率f 1T 2 它是单位时间内往复运动的次数相位 x 其中 为初相已知函数 y3sin ，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是(15x 7)_，_，_.【解析】 由函
3、数 y3sin 的解析式知，振幅为 3，最小正周期为 T 10，(15x 7) 2初相为 .7【答案】 10 3 7小组合作型“五点法”作函数图象及相关问题作出函数 y3sin ，xR 的简图，并说明它与 ysin x 的图象之间的关(2x 3)系. 【导学号：00680024】【精彩点拨】 列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令 2x取 0， ， ， ，2 即可找到五点.3 2 32【自主解答】 列表：x 6 12 3 712 562x3023223sin(2x 3) 0 3 0 3 0描点画图，如图：利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到 y3sin ，xR
4、 的简(2x 3)图.从图可以看出，y3sin 的图象是用下面方法得到的.(2x 3)法一： ，(x x 3 2x 3)ysin x 的图象 向 左 平 移 3个 单 位 长 度 ysin 的图象(x 3) 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 12 ysin 的图象(2x 3) 横 坐 标 不 变 纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 3倍y3sin 的图象.(2x 3)法二： ，(x 2x 2(x 6) 2x 3)ysin x 的图象 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 12倍 ysin 2x 的图象 ysin sin 的图象 向 左 平 移 6个 单 位 长 度 2(x 6) (2x 3)y
5、3sin 的图象. 横 坐 标 不 变 纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的 3倍 (2x 3)1.用五点法作函数 yA sin(x)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与 x 轴相交的点.2.图象变换方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移.表面上看，两种变换方法中的平移| |和 是不同的，但由于平移时的对象已有变化，所以得到的结果都是一致的.|再练一题1.作出函数 y sin 在 x 上的图象.2 (2x 4) 8，34【解】 令 X2x ，列表如下：4X 0 2 32 2x 8 38 58 78 98y 0 2 0 2 0描点连线得图象如图所示.三角函数图象之间的变换(
6、1)要得到 y3sin 的图象，只需将 y3sin 2x 的图象( )(2x 4)A.向左平移 个单位4B.向右平移 个单位4C.向左平移 个单位8D.向右平移 个单位8(2)把函数 ysin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移 个单位，则所得图象的解析式为( )4A.ysin B.ysin 2x(2x 4)C.ycos 2x D.ysin (2x 4)(3)已知函数 yf(x )的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍，横坐标扩大到原来的 2 倍，然后把所得的图象沿 x 轴向左平移 个单位，这样得到的曲线和 y2sin x 的图象相2同，则函数
7、 y f(x)的解析式为_.【精彩点拨】 (1)可利用左右平移时“左加右减” ，自变量 “x”的加减来判断；(2)可利用横坐标伸缩到 (0)倍时，解析式中“x”换为“x” ；1(3)可利用纵坐标变为 A(A0)倍时，解析式中在原表达式前应乘以 A.【自主解答】 (1)y3sin 2x 的图象 y3sin 2 的图象，即 y3sin 向 左 平 移 8个 单 位 长 度 (x 8)的图象.(2x 4)(2)由题意 ysin x 的图象 各 点 横 坐 标 缩 小 为 原 来 的 12 ysin 2 x 的图象 向 左 平 移 4 ysin 2 的图象，(x 4)即 ysin cos 2x 的图象
8、.(2x 2)(3)y2sin x 的图象y2sin y2sin 向 右 平 移 2个 单 位 长 度 (x 2) 图 象 上 各 点 横 坐 标 缩 小 为 原 来 的 12 (2x 2)y sin 的图象，即 f(x) cos 2x 的图象. 图 象 上 各 点 纵 坐 标 缩 小 为 原 来 的 14 12 (2x 2) 12【答案】 (1)C (2)C (3)f(x) cos 2x12三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：(1)确定函数 ysin x 的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移
9、关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.再练一题2.为了得到函数 ysin ，xR 的图象，只需把函数 ysin x，xR 的图象上所有(x3 6)的点：向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)；6 13向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)；6 13向左平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)；6向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变).6其中正确的是_.【解析】 ysin x ysin 向 左 平 移 6个 单 位 长 度 (x 6)ysin
10、. 横 坐 标 伸 长 到 原 来 的 3倍 纵 坐 标 不 变 (13x 6)【答案】 求 yAsin(x )的解析式如图 151 所示的是函数 yAsin(x ) 的图象，确定其中一个函数解(|2)析式.图 151【精彩点拨】 解答本题可由最高点、最低点确定 A，再由周期确定 ，然后由图象所过的点确定 .【自主解答】 法一：由图象知振幅 A3.又 T ，56 ( 6) 2.又过点 ，2T ( 6，0)则得 sin 0，得 ，( 62 ) 3y3sin .(2x 3)法二：由图象知 A3，且图象过点 和 ，(3，0) (56，0)根据五点作图法原理，有Error!解得 2， ，y 3sin
11、.3 (2x 3)法三：由图象，知 A3，T，又图象过点 A ，( 6，0)所求图象由 y3sin 2x 的图象向左平移 个单位得到，6y3sin 2 ，即 y3sin .(x 6) (2x 3)确定函数 yAsin(x )的解析式的关键是 的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入( 此时 A， 已知)或代入图象与 x 轴的交点求解(此时要注意交点在升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点 作为突破口.( ，0)“五点”的 x 的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点) 为 x0；“第二点”(即图象的“峰点 ”)为
12、 x ；2“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点) 为 x；“第四点”(即图象的“谷点 ”)为 x ；32“第五点”为 x 2.再练一题3.已知函数 yA sin(x) 在一个周期内的部分函数图象如图 152(A 0， 0，| 2)所示.求此函数的解析式.图 152【解】 由图象可知 A2， 1，T2，T2 43 13T 2，2y2sin(x).代入 得 2sin 2，(13，2) (3 )sin 1. | ， ，(3 ) 2 6y2sin .(x 6)探究共研型函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的对称性探究 1 如何求函数 yA sin(x)与 yAcos(x)的对称轴方程？【提示
13、】 与正弦曲线、余弦曲线一样，函数 yAsin( )和 yAcos( x)的图象x的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于 x 轴.函数 yAsin(x)对称轴方程的求法：令 sin(x) 1，得 x k (kZ )，2则 x (kZ)，所以函数 yAsin(x )的图象的对称轴方程为 x2k 1 22(kZ )；2k 1 22函数 yAcos(x)对称轴方程的求法：令 cos(x )1，得 xk(kZ)，则x (kZ )，所以函数 yAcos(x )的图象的对称轴方程为 x (kZ ).k k 探究 2 如何求函数 yA sin(x)与 yAcos(x)的对称中心？【提示】 与正弦曲线、余弦曲线
14、一样，函数 yAsin(x)和 yAcos( x)图象的对称中心即函数图象与 x 轴的交点.函数 yAsin(x)对称中心的求法：令 sin(x)0，得 x k( kZ )，则 x(kZ )，所以函数 yAsin(x )的图象关于点 (kZ )成中心对称；k (k ，0)函数 yAcos(x)对称中心的求法：令 cos(x )0，得 xk (kZ)，则2x (kZ)，所以函数 yAcos(x)的图象关于点 (kZ )成2k 1 22 (2k 1 22 ，0)中心对称.设函数 ycos x 的图象位于 y 轴右侧的所有对称中心从左依次为12A1，A 2，A n，则 A1 009 的坐标是_.【精
15、彩点拨】 利用 yA cos(x )的对称中心的坐标即可解出 .【尝试解答】 因为函数 ycos x 的图象的对称中心是点 (kZ)，所以(2 k，0)ycos x 的图象的对称中心为(2k1,0)(kZ)，所以 A1(1,0)，A 2(3,0)，A n(2(n1)121,0)， ，故 A1 009 的坐标为 (2 017,0).【答案】 (2 017,0)对于 yAcosx的图象的对称轴可由 x k kZ解出，对称中心的横坐标由x kf(,2)k Z解出 .再练一题4.函数 f(x)3sin 的图象为 C，则以下结论中正确的是_.(写出所有正确结(2x 3)论的编号)图象 C 关于直线 x 对称；12图象 C 关于点 对称；(23，0)函数 f(x)在区间 内是增函数；( 12，512)由 y3sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C.3【解析】 f 3sin 3sin .(12) (212 3) ( 6) 32f 3sin 0，(23) (43 3)故错，正确.令 2k2x 2k ，kZ ，2 3 2解得 kx k，kZ，故正确.12 512函数 y3sin 2x 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 y3sin 2 3sin3 (x 3)的图象，故错.(2x 23)
