1、2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义1.平面向量的数量积.(重点)2.平面向量的数量积的几何意义.(难点)3.向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)基础初探教材整理 1 向量数量积的定义及性质阅读教材 P103P 104“例 1”以上内容，完成下列问题.1.向量的数量积的定义已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，我们把数量 |a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积 )，记作 ab，即 ab |a|b|cos .规定零向量与任一向量的数量积为 0.2.向量的数量积的性质设 a 与 b 都是非零向量， 为 a 与 b 的夹角.(1)abab
2、0.(2)当 a 与 b 同向时，ab| a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|.(3)aa |a|2 或|a| .aa a2(4)cos .ab|a|b|(5)|ab|a|b|.判断(正确的打“” ，错误的打 “”)(1)向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.( )(2)两个向量的数量积是向量.( )(3)设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 cos 0ab0.( )【解析】 (1).因向量的夹角包括 180，直线的倾斜角不包括 180.(2).因两个向量的数量积没有方向，不是向量.(3).由数量积的定义可知.【答案】 (1) (2) (3)教材整理 2 向量的数量积的几何意义及运算律
3、阅读教材 P104 例 1 以下至 P105 例 2 以上内容，完成下列问题.1.向量的数量积的几何意义(1)投影的概念如图 241 所示： a， b，过 B 作 BB1 垂直于直线 OA，垂足为 B1，则OA OB OB1| b|cos .|b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影， |a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影.图 241(2)数量积的几何意义：ab 的几何意义是数量积 ab 等于 a 的长度| a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积.2.向量数量积的运算律(1)ab ba(交换律).(2)(a)b(ab)a(b)( 结合律).(3)(ab )ca
4、 cb c(分配律 ).已知|a| 3，向量 a 与 b 的夹角为 ，则 a 在 b 方向上的投影为_.3【解析】 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos 3cos .3 32【答案】 32小组合作型与向量数量积有关的概念(1)以下四种说法中正确的是_.如果 ab0，则 a0 或 b0；如果向量 a 与 b 满足 ab0，则 a 与 b 的夹角为锐角；若 a，b 的夹角为 ，则| b|cos 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影长.其中正确的是_.【解析】 由于 a20，b 20，所以，若 a2b 20，则 ab0，故正确；若 ab0，则 ab，又 a，b，c 是三个非零向量，所以 a
5、cbc，所以|ac| bc|，正确；a，b 共线ab|a|b|，所以不正确；对于，应有|a|b|ab；对于，应该是 aaa|a| 2a；a 2b 22|a|b|2ab，故正确；当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 ab0，因此错；|b|cos 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影的数量，而非投影长，故错.综上可知正确.【答案】 数量积的基本运算已知|a|4，|b|5，当( 1)a b；(2) a b；(3) a 与 b 的夹角为 135时，分别求 a与 b 的数量积. 【导学号：00680054】【精彩点拨】 (1)当 a b 时，a 与 b 夹角可能为 0或 180.(2)当 a b 时
6、，a 与 b 夹角为 90.(3)若 a 与 b 夹角及模已知时可利用 ab|a|b| cos ( 为 a，b 夹角)求值.【自主解答】 设向量 a 与 b 的夹角为 ，(1)a b 时，有两种情况： 若 a 和 b 同向，则 0 ，ab|a|b| 20；若 a 与 b 反向，则 180，ab|a|b| 20.(2)当 a b 时， 90，ab0.(3)当 a 与 b 夹角为 135时，ab|a|b|cos 13510 .21.求平面向量数量积的步骤是：求 a 与 b 的夹角 ， 0，；分别求|a|和|b|； 求数量积，即 ab|a|b|cos .2.非零向量 a 与 b 共线的条件是 ab|
7、a|b|.再练一题2.已知正三角形 ABC 的边长为 1，求：图 242(1) ；(2) ；AB AC AB BC (3) .BC AC 【解】 (1) 与 的夹角为 60，AB AC | | |cos 6011 .AB AC AB AC 12 12(2) 与 的夹角为 120，AB BC | | |cos 12011 .AB BC AB BC ( 12) 12(3) 与 的夹角为 60，BC AC | | |cos 6011 .BC AC BC AC 12 12与向量模有关的问题已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且|a| 4，|b|2，求：(1)|ab| ；(2)|(ab)(a2b)|
8、. 【导学号：70512035】【精彩点拨】 利用 aaa 2 或|a| 求解.a2【自主解答】 由已知 ab |a|b|cos 42cos 1204，a 2|a| 216，b 2|b| 24.(1)|ab| 2(ab) 2a 22 abb 2162(4) 412，|ab|2 .3(2)(a b)(a 2b)a 2ab2b 216(4) 2412 ，|(ab)( a2b)|12.1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2.利用 aaa 2|a| 2 或| a| ，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.a2再练一题3.题干条件不变，求|ab| .【解】 因为|a|4，|b|2，且 a
9、与 b 的夹角 120.所以|a b| a b2 a2 2ab b2 2 ，42 242cos 120 22 7所以|ab|2 .7探究共研型平面向量数量积的性质探究 1 设 a 与 b 都是非零向量，若 ab，则 ab 等于多少？反之成立吗？【提示】 abab0.探究 2 当 a 与 b 同向时，ab 等于什么？当 a 与 b 反向时，a b 等于什么？特别地，aa 等于什么？【提示】 当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|；aaa 2|a| 2或|a | .aa探究 3 |a b|与 |a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量 a，b，如何求它们的夹
10、角 ？【提示】 |a b| a|b|，设 a 与 b 的夹角为 ，则 ab| a|b|cos .两边取绝对值得：|ab|a|b|cos | |a|b|.当且仅当|cos |1，即 cos 1，0 或 时，取“” ，所以|a b|a|b|.cos .ab|a|b|已知|a|3，|b|2，向量 a，b 的夹角为 60，c 3a5b，dma3b，求当m 为何值时，c 与 d 垂直？【精彩点拨】 由条件计算 ab，当 c d 时，cd0，列方程求解 m.【自主解答】 由已知得 ab32cos 603.由 c d，知 cd0，即 cd(3a5b)(ma3b)3ma 2(5 m9) ab15b 227m3
11、(5m 9)6042m 870，m ，即 m 时，c 与 d 垂直.2914 29141.已知非零向量 a，b，若 a b，则 ab0，反之也成立.2.设 a 与 b 夹角为 ，利用公式 cos 可求夹角 ，求解时注意向量夹角 的取值ab|a|b|范围 0 ，.再练一题4.若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为_.【解析】 设 a 与 b 夹角为 ，因为|a|3|b|，所以|a| 29|b| 2.又|a|a2b|，所以|a| 2|a| 24|b| 24ab|a| 24|b| 24|a|b|cos 13|b| 212|b| 2cos ，即 9|b|213|
12、b| 212|b| 2cos ，故有 cos .13【答案】 131.在ABC 中，BC5，AC 8，C60，则 ( )BC CA A.20 B.20C.20 D.203 3【解析】 | | |cos 12058 20.BC CA BC CA ( 12)【答案】 B2.设 e1，e 2 是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是( )A.e1e21 B.e1e21C.|e1e2|1 D.|e1e2|1【解析】 e 1e2|e 1|e2|cos e1，e 21.【答案】 C3.在ABC 中， a， b，且 ba0，则ABC 是( )AB BC A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.无
13、法确定【解析】 在ABC 中，因为 ba0，所以 ba，故ABC 为直角三角形.【答案】 C4.已知|a |4， e 为单位向量，a 在 e 方向上的投影为2，则 a 与 e 的夹角为_. 【导学号：00680055】【解析】 因为 a 在 e 方向上的投影为2，即|a |cosa，e2，所以 cosa，e ， a，e120. 2|a| 12【答案】 1205.已知|a |6， |b|4，a 与 b 的夹角为 60，求( a2b)( a3b).【解】 (a2b)(a3b)aaa b6b b|a |2 ab6|b| 2|a |2 |a|b|cos 6|b| 26 264cos 6064 272.
