1、28.1 锐角三角函数 达标训练一、基础巩固达标1.在 Rt ABC 中，如果各边长度都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化 B.都扩大 2 倍 C.都缩小 2 倍 D.不能确定2.已知 是锐角，且 cos= ，则 sin=( )54A. B. C. D.259 5325163.RtABC 中，C=90，AC BC=1 ，则 cosA=_，tanA=_.4.设 、 为锐角，若 sin= ，则 =_；若 tan= ，则 =_.2335.用计算器计算：sin5130+ cos4950tan4610的值是_.6.ABC 中，BAC=90 ，AD 是高，BD=9，tanB=
2、，求 AD、AC、BC.4二、综合应用达标7.已知 是锐角，且 sin= ，则 cos(90)=( )54A. B. C. D.54353518.若 为锐角，tana=3 ，求 的值.sinco学优中考网 9.已知方程 x25xsin+1=0 的一个根为 ，且 为锐角，求 tan.3210.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图 28.113 是某公园(六 一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度 AC=2 m，滑梯着地点 B 与梯架之间的距离 BC=4 m.(1)求滑梯 AB 的长( 精确到 0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(ABC)不超过 45属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求
3、？图 28.11311.四边形是不稳定的.如图 28.114，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出 的值吗？图 28.114三、回顾展望达标12.三角形在正方形网格纸中的位置如图 28.315 所示，则 sin 的值是( )A. B. C. D.43345354图 28.115 图 28.117 图 28.11613.如图 28.117，O 是 ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，连接 CD，若O 的半径，AC=2 ，则 cosB 的值是( )23rA. B. C. D.35253214.在ABC 中，C=90，AB=15，sinA= ，则 BC=( )1A.4
4、5 B.5 C. D.545115.如图 28.316，CD 是 RtABC 斜边上的高，AC=4， BC=3，则 cosBCD=( )A. B. C. D.534334516.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图 28.118，在锐角 的终边 OB 上，任意学优中考网 取两点 P 和 P1，分别过点 P 和 P1 做始边 OA 的垂线 PM 和 P1M1，M 和 M1 为垂足.我们规定，比值_叫做角 的正弦，比值_叫做角 的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：_，_.说明这些比值都是由_唯一确定的，而与 P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变
5、量 的函数.图 28.118 图 28.11917.计算：2 1 tan60+( 1) 0+ ；5|318.已知：如图 28.119，ABC 内接于O，点 D 在 OC 的延长线上，sinB= ，CAD=30.21(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若 ODAB，BC=5 ，求 AD 的长.参考答案一、基础巩固达标1.在 Rt ABC 中，如果各边长度都扩大 2 倍，则锐角 A 的正弦值和余弦值( )A.都没有变化 B.都扩大 2 倍 C.都缩小 2 倍 D.不能确定思路解析：当 RtABC 的各边长度都扩大二倍，所得新三角形与原三角形相似，故锐角 A 大小不变.答案：A2.已知 是锐角，且
6、 cos= ，则 sin=( )54A. B. C. D.259 532516思路解析：由 cos= ，可以设 的邻边为 4k，斜边为 5k，根据勾股定理， 的对边为 3k，则 sin= .3答案：C3.RtABC 中，C=90，AC BC=1 ，则 cosA=_，tanA=_.3思路解析：画出图形，设 AC=x，则 BC= ，由勾股定理求出 AB=2x，再根据三角x函数的定义计算.答案： ，2134.设 、 为锐角，若 sin= ，则 =_；若 tan= ，则 =_.23思路解析：要熟记特殊角的三角函数值.答案：60,305.用计算器计算：sin5130+ cos4950tan4610的值是
7、_.思路解析：用计算器算三角函数的方法和操作步骤.答案：0.386 06.ABC 中，BAC=90 ，AD 是高，BD=9，tanB= ，求 AD、AC、BC.34思路解析：由条件可知ABC、ABD、ADC 是相似的直角三角形，学优中考网 B=CAD，于是有 tanCAD=tanB= ，所以可以在ABD 、ADC 中反复地运用34三角函数的定义和勾股定理来求解.解：根据题意，设 AD=4k，BD=3k，则 AB=5k.在 Rt ABC 中，tanB= ，AC= AB= k.BD=9,k=3.34320所以 AD=43=12，AC= 3=20.20根据勾股定理 .51BC二、综合应用达标7.已知
8、 是锐角，且 sin= ，则 cos(90)=( )54A. B. C. D.5435351思路解析：方法 1.运用三角函数的定义，把 作为直角三角形的一个锐角看待，从而对边、邻边、斜边之比为 435，(90)是三角形中的另一个锐角，邻边与斜边之比为 45，cos(90)= .方法 2.利用三角函数中互余角关系“sin=cos(90 )”.答案：A8.若 为锐角，tana=3 ，求 的值.sinco思路解析：方法 1.运用正切函数的定义，把 作为直角三角形的一个锐角看待，从而直角三角形三边之比为 31 ，sin= ，cos= ，分别代入所求式子中.0130方法 2.利用 tan= 计算，因为
9、cos0，分子、分母同除以 cos，化简计算.cosin答案：原式= .213tan1csi 9.已知方程 x25xsin+1=0 的一个根为 ，且 为锐角，求 tan.2思路解析：由根与系数的关系可先求出方程的另一个根是 ，进而可求出 sin=32，然后利用前面介绍过的方法求 tan.54解：设方程的另一个根为 x2，则( )x2=13x 2= 35sin=( )+( )，解得 sin= .54设锐角 所在的直角三角形的对边为 4k，则斜边为 5k，邻边为 3k，tan= .34k10.同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图 28.113 是某公园(六 一)前新增设的一台滑梯，该滑梯高度 AC=2
10、 m，滑梯着地点 B 与梯架之间的距离 BC=4 m.图 28.113(1)求滑梯 AB 的长 (精确到 0.1 m)；(2)若规定滑梯的倾斜角(ABC)不超过 45属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否要求？思路解析：用勾股定理可以计算出 AB 的长，其倾斜角ABC 可以用三角函数定义求出，看是否在 45范围内.解：(1)在 RtABC 中， 4.5.24AB答：滑梯的长约为 4.5 m.(2)tanB= ,ABC27,5.0CABC2745.所以这架滑梯的倾斜角符合要求.11.四边形是不稳定的.如图 28.114，一矩形的木架变形为平行四边形，当其面积变为原矩形的一半时，你能求出
11、 的值吗？图 28.114学优中考网 思路解析：面积的改变实际上是平行四边形的高在改变，结合图形，可以知道h= ，再在高所在的直角三角形中由三角函数求出 的度数.b21解：设原矩形边长分别为 a，b，则面积为 ab，由题意得，平行四边形的面积 S= ab.21又因为 S=ah=a(bsin)，所以 ab=absin，即 sin= .所以 =30.21三、回顾展望达标12.三角形在正方形网格纸中的位置如图 28.315 所示，则 sin 的值是( )图 28.115A. B. C. D.43345354思路解析：观察格点中的直角三角形，用三角函数的定义.答案：C13.如图 28.117，O 是
12、ABC 的外接圆，AD 是O 的直径，连接 CD，若O 的半径，AC=2 ，则 cosB 的值是( )23r图 28.117A. B. C. D.23352532思路解析：利用BCD=A 计算.答案：D14.在ABC 中，C=90，AB=15，sinA= ，则 BC=( )31A.45 B.5 C. D.5451思路解析：根据定义 sinA= ，BC=ABsinA.ABC答案：B15.如图 28.316，CD 是 RtABC 斜边上的高，AC=4， BC=3，则 cosBCD=( )图 28.116A. B. C. D.53433454思路解析：直径所对的圆周角是直角，设法把B 转移到 RtA
13、DC 中，由“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”，得到ADC=B.答案：B16.课本中，是这样引入“锐角三角函数”的：如图 28.118，在锐角 的终边 OB 上，任意取两点 P 和 P1，分别过点 P 和 P1 做始边 OA 的垂线 PM 和 P1M1，M 和 M1 为垂足.我们规定，比值_叫做角 的正弦，比值_叫做角 的余弦.这是因为，由相似三角形的性质，可推得关于这些比值得两个等式：_，_.说明这些比值都是由_唯一确定的，而与 P 点在角的终边上的位置无关，所以，这些比值都是自变量 的函数.图 28.118思路解析：正弦、余弦函数的定义.答案： ，锐角 11, OPMPOMP17
14、.计算：2 1 tan60+( 1) 0+ ；5|3思路解析：特殊角的三角函数，零指数次幂的意义，负指数次幂的意义.学优中考网 解：2 1 tan60+( 1) 0+| |= +1+ = .53213218.已知：如图 28.119，ABC 内接于O，点 D 在 OC 的延长线上，sinB= ，CAD=30.图 28.119(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若 ODAB，BC=5 ，求 AD 的长.思路解析：圆的切线问题跟过切点的半径有关，连接 OA，证OAD=90.由 sinB= 可以得到B=30，由此得到圆心角AOD=60，从而得到ACO 是等边21三角形，由此OAD=90.AD 是 RtOAD 的边，有三角函数可以求出其长度 .(1)证明：如图，连接 OA.sinB= ，B=30.AOD=60.21OA=OC， ACO 是等边三角形 .OAD=60.OAD=90.AD 是O 的切线.(2)解：ODAB OC 垂直平分 AB. AC=BC=5. OA=5.在 Rt OAD 中，由正切定义，有 tanAOD= .OAD AD= .35学!优中.考?，网
