1、九年级上第一章第二节直角三角形试题资料库：例 1. （1）在 RtABC 中，C90，a6，b8，求 c。（2）在 RtABC 中，C90，a40，c41，求 b。解：（1）在 RtABC 中，C90， a22又c0， b226810（2）在 RtABC 中，C90， bc2又b0， ca2249例 2. 已知直角三角形的两边长 ABcmCc68， ，求第三边的长。解：（1）若 AB、BC 均为直角边ACB22810（2）若 BC为斜边 226436287例 3. （1）在等腰 RtABC 中，C90，AC：BC：AB_；（2）如图所示，ACB90，A30，则 BC：AC：AB_；若 AB8，
2、则AC_；又若 CDAB，则 CD_。 C A D B （3）等边ABC 的边长为 a，则高 AD_， SAC_。解：（1） 12： ：（2） 43： ： ； ；（3）2a；通过此题总结几个基本图形中的常用结论：学优中考网 等腰直角三角形三边比为 12： ：含 30角的直角三角形三边之比为 3： ：边长为 a的等边三角形的高为 2a，面积为 42a例 4. 如图所示， ABC203， ，DAC90，求 BD的长。 A B D E C 解：作 AEBC 于 E设 BD为 x，则 Dx16AC22又 AC2将上式代入，得： EDA2即 222D 03162xx解得： x7例 5. 如图所示，ABC
3、 中，CDAB 于 D，ACBC。求证： ACBAB22分析：（1）分解出直角三角形使用勾股定理。RtACD 中， ACD22RtBCD 中， B（2）利用代数中的恒等变形技巧进行整理：ACBDCBD222A例 6. 设 CD是ABC 的边 AB上的高，且 CD2ADDB，求证：ACB90。 C A D B 思维入门指导：要得到ACB90，除了知道ADCBDC90之外没有别的角的条件，但题中告诉了 CD2ADBD，提醒我们是否由 AC2BC 2AB 2得到ACB 是直角三角形，从而得到ACB90。解法一：CDAB 于 DAC22又 BABADAB22 同 理 ： CDAB2 2ACB 是直角三
4、角形，ACB90解法二：CDAB 于 DCCBD222，ABABCD22又 2CD2 2ACB 是直角三角形，ACB90点拨：这两种解法的总体思路是一致的，只是在变形中采取了不同的方法。学优中考网 例 7. 如图所示，在四边形 ABCD中，B90，AB4，BC3，CD12，AD13，求四边形ABCD的面积。 A B C D 思维入门指导：要求四边形 ABCD的面积，得把四边形 ABCD分割成三角形，连结 AC，ABC 是Rt，若ACD 也是 Rt，问题就解决了。解：连结 ACB90，ABC 是直角三角形依据勾股定理得：ACB2222435AC5在 中 ， ，DCDA22216915692ACD
5、 是直角三角形，ACD90四边形 ABCD的面积ABC 的面积ACD 的面积121243560ABCD一变：把B90变成ACD90，其它不变。二变：把B90变成 AC5，其它不变。点拨：经过变化，整体思路没变，均利用直角三角形的判定条件。例 8. 已知：如图，ABC 中，BAC90，12，ADBC 交 BE于 F。求证：AEAFA E B D C 2 1 5 34F 证明：ADBC 1590（直角三角形两锐角互余）又35（对顶角相等） 1390又BAC90 2490（直角三角形两锐角互余）又12 34AEAF（等角对等边）例 9. 已知：如图，ABC 中，ABAC，BDAC。求证：ADBC21
6、 A D B H C 分析：只需作出A 的角平分线，转化为证角相等，注意到等腰三角形底边上的中线、高线、顶角的平分线“三线合一”，所以辅助线有多种添法。证明：作 AHBC 于 HABAC BAHCAH（等腰三角形三线合一）AC21在 RtAHC 和 RtBDC 中，分别有CAHC90DBCC90CAHDBC（同角的余角相等） ADBC21例 10 已知：如图，ABC 中，A120，ABAC，BDDC，DEAB 于 E。学优中考网 求证：ABE41 A E B D C 1 分析：在等腰三角形中可通过添加底边上的高线，产生直角三角形，利用“三线合一”得到直角三角形的 30，再利用直角三角形 30角
7、所对的直角边等于斜边的一半可以证明。证明：连结 AD3091621BACBD余 ）（ 直 角 三 角 形 两 锐 角 互 ）（ 等 腰 三 角 形 三 线 合 一，在 RtABD 中B30 ABD21（直角三角形中 30角所对的直角边等于斜边的一半）同理可证EAB41例 11. 如图所示，一棵 36米高的树被风刮断了，树顶落在离树根 24米处，求折断处的高度 AB。分析：已知的 36米是 AC与 AB的和，若设 AB为 x米，则 AC为（36x）米，这样就可以利用勾股定理列方程求解了。解：设 ABx 米，则 AC（36x）米ABBC， 22ACB 2)36(4xxx10，折断处的高度 AB是
8、10米。例 12. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小明头顶正上方 4000米处，过了 20秒，飞机距离小明头顶 5000米，问：飞机飞行了多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图，图中ABC中的C90，AC4000 米，AB5000 米，要求出飞机这时飞行多少千米，就要知道飞机在 20秒时间里飞行的路程，也就是图中的 BC长，在这个问题中，斜边和一直角边是已知的，这样，我们可以根据勾股定理来计算出 BC的长解： 根据题意可得示意图：(如图)在ABC中的C90，AC4000 米，AB5000 米，根据勾股定理可得：BCAB +AC 5000 +4000 3000(千米）22
9、22所以：飞机飞行了 3000千米.【点拨】注意勾股定理的应用条件是必须在直角三角形中，另外还要辨别要求的边是斜边，还是直边，进而选择利用勾股定理公式还是变形公式。例 13在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？我们可以将这个实际问题转化成数学模型.解：如图，设水深为 x尺，则芦苇长为（x+1）尺，由勾股定理可求得（x+1） 2x 2+52，x 2+2x+1x 2+25解得
10、x12则水池的深度为 12尺，芦苇长 13尺.学优中考网 例 14如图，在长方形 ABCD中，DC5cm，在 DC上存在一点 E，沿直线 AE把 AED 折叠，使点 D恰好落在 BC边上，设此点为 F，若 ABF 的面积为 30cm2，那么折叠的 AED 的面积为_.分析： 注意折叠后相等的角与相等的线段的转化，通过设未知数列方程求解.解：由已知条件可得 BF12，则在 RtABF 中，AB5，BF12 根据勾股定理可知 AF13，再由折叠的性质可知 ADAF13，所以 FC1，可设 DEEFx，则 EC5x，则在 RtEFC 中，可得方程：1 2(5x) 2x 2.解这个方程，得 x35.所以 SAED 1231316.9(cm 2).例 15 在一棵树的 10m高的 B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树 20m处的池塘 A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的 A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？分析：如图所示，其中一只猴子从 C共 30m，另一只猴子从 DB也共走了 30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。解：如图，设 xBD，由题意知 DABC30ACRt中， 220)1()(，解之得 5x15x答：这棵树高 15m。【点拨】：本题的关键是依题意正确地画出图形，在此基础上，再运用勾股定理及方程的思想使问题得以解决。学优中考 ，网
