1、九年级数学第二十四章圆 一【知识脉络】二、基础知识（1）掌握圆的有关性质和计算 弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧） 、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半. 圆内接四边形的性质:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外
2、角等于它的内对角.（2）点与圆的位置关系 设点与圆心的距离为 d，圆的半径为 r，圆切线长切线圆与圆的位置关系系圆的切线直线与圆的位置关系点与圆的位置关系垂径定理及其推论圆周角、同弧上圆周角的关系弧、弦与圆心角与圆有关的位置关系圆的基本性质圆的对称性两圆公切线与圆有关的计算正多边形与圆弧长和扇形的面积圆锥的侧面积和全面积学优中考网 则点在圆外 dr； 点在圆上 dr； 点在圆内 dr 过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（3）直线与圆的位置关系 设圆心到直线 l的距离为 d，
3、圆的半径为 r，则直线与圆相离 r；直线与圆相切 d；直线与圆相交 dr 切线的性质:与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等. 切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.（4）圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关
4、系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.设两圆心的距离为 d，两圆的半径为 12r、 ，则两圆外离 12dr两圆外切 两圆相交 1212rr两圆内切 d两圆内含 12r 两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心线垂直平分公共弦. 两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线. 公切线上两个切点的距离叫做公切线的长. （5）与圆有关的计算 弧长公式： 180nrl 扇形面积公式：21360nrSl扇 形（其中为 圆心角
5、的度数， r为半径） 圆柱的侧面展开图是矩形圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体圆柱的侧面积底面周长高 圆柱的全面积侧面积底面积 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体 圆锥的侧面积 12底面周长母线；圆锥的全面积侧面积底面积能力锻炼与提升（一） 圆中的有关概念和性质一、知识点回顾： 1.确定一个圆有两要素，一是 ，二是 ，圆心确定 、半径确定 ；2.圆既是 对称图形，又是 对称图形；它的对称中心是 ，对称轴是 ，有 条对称轴。3.在同圆或等圆中，两个圆心角、
6、两条弧、两条弦三组量之间，如果有一组量相等，那么，它们所对应的其它量也相等。典型题 1：如图，AB、CD 是O 的两条弦 若 AB=CD， 则有 = ， = 若 AB=CD， 则有 = ， = 若AOB=COD， 则有 = ， = ODCBA学优中考网 4.在在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角 ，相等的圆周角所对的弧 ，同弧或等弧所对圆周角是其所对的圆心角的 。典型题2.如图，AB、AC、BC都是O的弦，CABCBA，COB与COA相等吗？为什么？典型题3如图，A是O的圆周角，A30，则BOC= ， OBC= 5.半圆或直径所对的圆周角都是 ，90的圆周角所对的弦是圆是 。典型题4填空：1、
7、如图，AB 是O 的直径，DCB=30，则ACD= ，ABD= 2、如图，O 的直径 AB=10，弦 BC=5，B= 6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平弦所对的弧。即：如图，若 ABCD，则有 AP PB，Error! Error!，AD= 典型题 5如上图，若 CD=10，AB=8，求 PC 的长？典型题 6某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为_7三角形的内心和外心（1）确定圆的条件： 三个点确定一个圆（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的 ，圆心就是 的交点，叫做三角形的外心（3）三角形的内心：和三角形的三边都
8、相切的圆叫做三角形的 ，圆心是 的交点，叫做三角形的内心。典型题 7. 在ABC 中，A=62，点 I 是外接圆圆心，则BIC=_O DC BAOCBAPDOCBA8. 与圆有关的角（1）圆心角： 叫圆心角 圆心角的度数等于它所对的弧的度数（2）圆周角： 的角，叫圆周角圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半（3）圆心角与圆周角的关系同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 典型题 8.如图，A、B、C 是O 上的三点，BAC=30则BOC 的大小是（ ）A60 B45 C30 D15 典型题 9.如图，PA、PB 是O 的切线，切点分别为 A 、B，点 C 在O 上如果P50
9、，那么ACB 等于（ ）A40 B50 C65 D130 二、基础达标练习：（一）选择题：1下列命题正确的是（ ）A相等的圆心角所对的弦相等 B等弦所对的弧相等 C等弧所对的弦相等 D垂直于弦的直线平分弦2 “圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何” 用数学语言可表述为如图135，CD 为O 的直径，弦 ABCD 于点 E，CE1 寸，AB=10 寸，则直径 CD的长为（ ）A125 寸 B13 寸 C25 寸 D26 寸3如图，四边形 ABCD 内接于O，若BOD=100，则DAB 的度数为（ ）学优中考网 A50 B80
10、 C100 D1304如图是中国共产主义青年团团旗上的图案，点 A、B、C、D、E 五等分圆，则A+B+C+D+E 的度数是（ ）A180 B15 0 C135 D120（二）填空题：5如图，MN 所在的直线垂直平分弦 A B，利用这样的工具最少使用_次，就可找到圆形工件的圆心6如图，A、B、C 是O 上三个点，当 BC 平分ABO 时，能得出结论_ _ _（任写一个） 7如图 139，已知 AB 是O 的直径，AD OC，BAD 的度数为 80，则BOC=_.8如图 13-10，O 内接四边形 ABCD 中，AB=CD，则图中和1 相等的角有_ _ _ . 9如图 13l1，弦 AB 的长等
11、于O 的半径，点 C 在弧 AMB 上，则C 的度数是_.（三）解答题：10O 的半径是 5，AB、CD 为O 的两条弦，且 ABCD，AB=6，CD=8，求 AB 与 CD 之间的距离11.如图，AB、CD 是O 的直径，DF、BE 是弦，且 DF=BE。求证：D=B ABCDOEF12 圆 O 中，弦 ABAC，AD 是圆 O 的直径。求证：AD 平分BAC三、能力提高训练： 1. 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（ ）2. 小芳在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分（如图所示） ，请你帮助她设计一个
12、合理的等分方案要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法 能力锻炼与提升（二）圆中的位置关系一、知识点回顾： 1.点与圆的位置关系 A 点在圆 OA r B 点在圆 OB r C点在圆 OC r 2. 直线与圆的位置关系(设 O 半径为 r，圆心到直线 l距离为 d) 学优中考网 l与 O 相交 d r l与 O 相切 d r l与 O 相离 d r典型题 1RtABC 中，C=90，AC=3cm，BC4cm，给出下列三个结论：以点 C 为圆心 13 cm 长为半径的圆与 AB 相离；以点 C 为圆心，24cm 长为半径的圆与 AB 相切；以点 C 为圆心，25cm 长为半径的圆与 A
13、B 相交上述结论中正确的个数是（ ）A0 个 Bl 个 C2 个 D3 个3、切线性质：圆的切线 于经过切点的半径.4、切线识别：经过半径的 （内、外）端且 于这条半径的直线是圆的切线。典型题 2如图，PA 为O 的切线，A 为切点，PO 交 O 于点 B，PA=4，OA=3，则 cosAPO 的值为（ ）34. . 53ABCD 典型题 3.如右图，以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 是小圆 的切线，点 P 为切点，两圆的半径分别为 5cm 和 3cm，则 AB= 典型题4.如图， AB是 O的直径， B45， AC AB，AC是 O的切线吗？（写出详细的过程）5. 圆与圆的位置
14、关系（1）用公共点的个数来区分两个圆如果没有公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的 两个圆有一个公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的 两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的 （2）用数量关系来区别：设两圆的半径分别为 1r、 2)(r，圆心距为 d： 用数轴表示圆与圆的位置与圆心距 d之间的对应关系（在数轴上填出圆心距 d各在区域中对应圆与圆的位置名称）（例 34） ( )( )( )( )( )r1-r2 r1+r2 OBA P 根据数轴填表 )(21r两圆的位置关系 数量关系及其识别方法外 离外 切相 交内 切内 含典型题 5. 已知相切两圆的半径分别为 3cm 和 2cm，则两圆
15、的圆心距是_cm6. 切线长定理：从圆 一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 这一点和圆心的连线 这两条切线的 角即：如右图， PA， PB 分别为 O 的切线，切点分别为 A、 B，则 PA PB， PO 平分 .典型题 6填空：1、如图， PA， PB 分别为 O 的切线，切点分别为 A、 B， P=60PA=10cm，那么 AB 的长为 2、如图， PA， PB 分别为 O 的切线，AC 为直径，切点分别为A、 B， P=70，则C= 二、基础达标练习：（一）选择题：1、已知 O的半径为6， A为线段 PO的中点，当 OP=10时，点 A与 O的位置关系为（ ）BAPOOABP45PC
16、BAO学优中考网 A在圆上 B在圆外 C在圆内 D不确定2、圆最长弦为 12cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为 d，那么（ ）A d6 B cmd126 C cd6 D cm123、已知圆 O1和 O2的半径的 6cm 和 8cm，当 O1O2=12cm 时, O1和 O2的位置关系为（ ）A外切 B相交 C 内切 D内含4、两圆半径和为 24cm，半径之比为 1：2，圆心距为 8cm，则两圆的位置关系为（ ）A外离 B相交 C 内切 D外切5.两个同心圆的半径分别为 1cm 和 2cm，大圆的弦 AB 与小圆相切，那么 AB=（ ）A B2 C3 D43 36.已知两圆的半径分别为
17、 3 cm 和 4 cm，圆心距为 1cm，那么两圆的位置关系是（ ）A相离 B相交 C内切 D外切7两圆既不相交又不相切，半径分别为 3 和 5，则两圆的圆心距 d 的取值范围是（ ）Ad8 B0d2C2d8 D0d2 或 d8（二）填空题：8在ABC 中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，CM 是中线，以 C 为圆心，以 3cm 长为半径画圆，则对 A、B、C、M 四点，在圆外的有_，在圆上的有_，在圆内的有_.9ABC 中，C=90，AC=3，CB=6，若以 C 为圆心，以 r 为半径作圆，那么： 当直线 AB 与C 相离时，r 的取值范围是_； 当直线 AB 与C 相切时，r 的取
18、值范围是_； 当直线 AB 与C 相交时，r 的取值范围是_.10.已知半径为 3 cm，4cm 的两圆外切，那么半径为 6 cm 且与这两圆都外切的圆共有_个11.已知O 1和O 2相外切，且圆心距为 10cm，若O 1的半径为 3cm，则O 2的半径为_cm12.已知两圆半径分别为 4cm 和 2cm，圆心距为 10cm，则两圆的内公切线的长为_cm13.已知两圆的圆心距是 5，两圆的半径是方程 02142x的两实根，则两圆的位置关系是 。（三）解答题：14如图，已知两同心圆，大圆的弦 AB 切小圆于 M，若环形的面积为 9，求 AB 的长 15如图，PA 切O 于 A，PB 切O 于 B
19、， APB=90，OP=4，求O 的半径三、能力提高训练：17. 已知：如图，AB是O的直径，BC是和O相切于点B的切线，O的弦AD平行于OC求证：DC是O的切线18如图，RtABC 内接于O，A=30 0，延长斜边 AB 到 D，使 BD 等于O 半径，求证：DC 是O 切线。19已知：如图所示，直线 l 的解析式为34yx，并且与 x 轴、y 轴分别交于点A、B。（1）求 A、B 两点的坐标；（2）一个圆心在坐标原点、半径为 1 的圆，以 0.4 个单位/秒的速度向 x 轴正方向运动，问在什么时刻与直线 l 相切；OA BCD学优中考网 （3）在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点 P
20、 从 B 点出发，沿 BA 方向以 0.5个单位/秒的速度运动，问在整个运动过程中，点 P 在动圆的圆面（圆上和圆内部）上，一共运动了多长时间？能力锻炼与提升（三） 圆中的有关计算一、知识点回顾： 1. 正多边形和圆（1）画正 n 边形的步骤：将一个圆 n 等分，顺次连接各分点。对于一些特殊的正 n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。（ 2）正 n 边形的每个内角都等于 ，每个外角为 ，等于中心角。典型题 1. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ）A. 123 B. C. D. 典型题 2. 正三角形的边长是边心距的 倍。正九边形的中心角是 度，每个内
21、角为 度。典型题 3 已知正六边形 ABCDEF 的半径为 2cm，求这个正六边形的边长、周长和面积。解：正六边形的半径等于边长正六边形的边长正六边形的周长正六边形的面积 点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。2. 弧长的计算如果弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 r，那么，弧长 l 典型题4填表：半径 r 圆心角度数 n 弧长 l10 365 2120 12（圆周率用 表示即可）3. 扇形面积计算：方法一：如果已知扇形圆心角为 n，半径为 r，那么扇形面积 s 方法二：如果已知扇形弧长为 l，半径为 r， 那么扇形面积 典型题5填表：半径 r 圆心角度数 n 弧长 l 扇形面积 s
22、10 366 62 643. 圆锥的侧面积与表面积（1）如图 1： h为圆锥的 ， a为圆锥的 ， r为圆锥的 ，由勾股定理可得： 、 、 r之间的关系为： （2）如图 2：圆锥的侧面展开后一个 ：圆锥的母线是扇形的 而扇形的弧长恰好是圆锥底面的 。故：圆锥的侧面积就是圆锥的侧面展开后的扇形的 。圆锥的表面积= + 图 2 学优中考网 8典型题6看图1、填表： rha底面积底面圆的周长侧面积表（全）面积3 55 136 8（圆周率用 表示即可）二、基础达标练习： 填空题：1在半径为 3 的O 中，弦 AB=3，则 AB 的长为 2 圆 锥 底 面 半 径 为 6cm， 母 线 长 为 10cm
23、， 则 它 的 侧 面 展 开 图 圆 心 角 等 于 ， 表 面 积 为 ；3 已 知 扇 形 的 圆 心 角 为 150， 它 所 对 弧 长 为 20 cm， 则 扇 形 的 半 径 是 cm， 扇 形 的 面 积 是 cm2；4一个圆锥的侧面展开图形是半径为 4cm 的半圆, 那么这个圆锥的底面半径等于_ _cm.；5 如 图 是 一 个 徽 章 ， 圆 圈 中 间 是 一 个 矩 形 ， 矩 形 中 间 是 一 个 菱 形 ，菱形的边长是 1 cm ，那么徽章的直径是 ；6如图，将一个半径为 4cm 的半圆绕直径 AB 的一个端点 A 旋转 40,那么,图中阴影部分的面积为_cm 2
24、；选择题：7扇形的周长为 16，圆心角为 ，则扇形的面积为（ ）A16 B32 C64 D168.一个扇形的弧长为 20cm，面积为 2402c则这个扇形的圆心角是（ ）A. 1 B. 15 C . 1 D. 409一个扇形的半径为 30 ，圆心角为 120，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面圆的半径是 ）A. 10cm B. 12c C. 14 cm D. 15c10扇形的弧长为 4，扇形的半径为 3，则其面积为 （ ）A. 12 B. 6 C . 7 D . 1.511若圆锥的底面半径为 3，母线长为 5，则它的侧面展开图的圆心角等于 （ ）A 108 B 144 C 180 D 216
25、12若圆锥的底面直径为 6cm，母线长为 5cm，那么圆锥的侧面积为（ ）A. 7.5cm 2 B. 30cm 2 C. 15cm 2 D. 22.5cm 2解答题：13在 Rt ABC 中， C=90， AB=5， BC=3，以 AC 所在直线为轴旋转一周，求所得圆锥的侧面展开图的面积.三、能力提高训练：14如图，P 为O 外一点，PA 切O 于 A，AB 是O 的直径，PB 交O 于 C，PA2cm，PC1cm,则图中阴影部分的面积 S 是 （ ）A. 235cm B 2435c C 2435cm D 23c15如图，把直角三角形 ABC 的斜边 AB 放在定直线 l 上，按顺时针方向在
26、l 上转动两次，使它转到ABC的位置，设 BC=1，AC= ，则顶点 A 运动到 A的3位置时，点 A 经过的路线与直线 l 所围成的面积是_（计算结果不取近似值）16如图，阴影部分是某一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别为20cm，10cm、AOB120，求这个广告标志面的周长1.如果圆锥母线长为6cm，底面直径为 6cm，那么这个圆锥的侧面积是 cm 2 ；17如图，等腰直角ABC 的斜边 AB4，O 是 AB 的中点，以 O 为圆心的半圆分别与两腰相切于 D、E，求图中阴影部分的面积（结果用 表示） 。学优中考网 18如图，已知O 的半径为 R，直径 ABCD，以 B 为圆心、以 BC
27、 为半径，求弧 CED 与弧CAD 围成的新月形 ACED 的面积；能力锻炼与提升（四）班别： 姓名： 学号： 一、选择题：1.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连结五等分点，如图所示，五角星的每一个角的度数为（ ）A30 B、35 C36 D37 2.已知两圆的圆心距是 3，两圆的半径分别是方程 x23x+2=0 的两个根，那么这两个圆的位置关系是（ ）A外离 B外切 C相交 D内切3.如图 ，四边形 ABCD 为O 的内接四边形，点 E 在 CD 的延长线上，如果BOD=120，那么BCE 等于（ ）A30 B60C90 D1204.如图，图中有五个半圆，邻近的两半
28、圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度沿弧 ADA1、弧 A1EA2、弧 A2FA3、弧 A3GB 路线爬行，乙虫沿弧 ACB 路线爬行，则下列结论正确的是 （ ）A.甲先到 B 点 B. 乙先到 B 点 C.甲、乙同时到 B 点 D. 无法确定5如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为 S1、S 2、S 3，则它们之间的关系正确的是 （ ）A. S1S 2S 3 B. S 1S 2S 3 C. S1S 2S 3 D. S 12S 22S 32AC DBEO6已知，如图，在ABC 中，BC=2，AC= 32，AB = 4，以 A 为圆心，AC 为半径画弧交 AB于 E，以 B 为圆心，
29、BC 为半径画弧交 AB 于 F，则图中的阴影部分的面积是 （ ）A 32 B 35 C 325 D 34二、填空题：8现用总长为 m80的建筑材料，围成一个扇形花坛，当扇形半径为_时，可使花坛的面积最大；9如图，已知 OA、OB 是O 的半径，且 OA10，AOB30，ACOB 于 C，则图中阴影部分的面积 S ；( 取 3.14，结果精确到 0.1) 10如图，AB 是半圆 O 的直径，以 O 为圆心，OE 长为半径的半圆交 AB 于 E、F 两点，弦 AC 是小半圆的切线，D 为切点，又已知 AO4，EO2。则阴影部分的面积是 ；11如图，A、B、C、D、E 相互外离，它们的半径都为 1
30、，顺次连接五个圆心得到五边形 ABCDE，则图中五个阴影部分的面积之和是 ；12如图，ABC 是正三角形，曲线 CDEF叫做“正三角形的渐开线” ，其中弧CD、弧 DE、弧 EF 的圆心依次按 A、B、C循环，它们依次相连接。若 AB1，则曲线 CDEF 的长是 ；13如图，正方形 ABCD 边长为 a，那么阴影部分的面积 S 是 ；三、解答题：14如图，ABO 中，OA= OB，以 O 为圆心的圆经过 AB 中点 C，且分别交OA、OB 于点 E、F（1）求证：AB 是O 切线；（2）若ABO 腰上的高等于底边的一半，且 AB=4 ， 求弧 ECF 的长。32学优中考网 15如图，已知 AC
31、、AB 是O 的弦，ABAC（1）在图中有否在 AB 上确定一点 E，使得 AO=AEAB，为什么？（2）在图中，在条件的结论下延长 EC 到 P，连结 PB，如果 PB=PE，试判断 PB 和O 的位置关系，并说明理由16如图，AB 是O 的直径，CD 切O 于 E，ACCD 于 C，BDCD 于 D，交O 于 F，连结AE、EF。 （1）求证：AE 是BAC 的平分线；（2）若ABD = 60，则 AB 与 EF 是否平行？请说明理由。17.如图， O 的直径 AB=10，DEAB 于点 H，AH=2（1）求 DE 的长；BAOE DC（2）延长 ED 到 P，过 P 作O 的切线，切点为 C，若 PC=22 ，求 PD 的长5学优中考网 学。优 中考。 ，网
