1、学优中考网 第十四章 一次函数(第八课时) 变量与函数本节课主要是初步掌握函数概念，能判断两个变量间的关系是否可看做函数；根据两个变量间的关系式，给定其中一个量，相应地会求出另一个量的值.其中考查函数关系式的题目有【典例引路】中的例 2， 【基础练习】中的第 1、2、3 题，【当程检测】中的第 1、2 题，在课时作业也设置了相应的题目。考查函数在实际生活中的应用的题目主要有【典例引路】中的例 2， 【基础练习】中的第 2、3 题， 【当堂检测】中的第 2 题， 【备选题目】中的第 1 题。在课时作业也设置了相应的题目。点击一: 常量与变量常量：在一个变化过程中永远都不发生改变的量叫常量变量：在
2、一个变化过程中发生改变的量叫变量例如：一辆火车从甲地开往乙地，火车每小时走 60km这一过程中，甲乙两地的路程与火车的速度都始终保持不变，是常量，而火车所走的路程与火车所行驶的时间总在发生变化，它们是变量点击二: 函数的意义一般地，设在一个变化过程中有两个变量 x 和 y，如果对于变量 x 的每一个值，变量y 都有唯一值与它对应，我们称 y 是 x 的函数，其中：x 是自变量，y 是因变量(1)在理解函数的意义时要抓住三点：有一个反映变化的过程有两个变量 x 和y变量 x 一旦变化，变量 y 都有唯一值与它对应 (2)在表示函数时，如果要把 y 表示成 x 的函数，其实就是用含 x 的代数式表
3、示 y。 点击三: 函数中自变量的取值范围及函数值在一个变化过程中，自变量的取值通常有一定的范围，这个范围我们叫它为自变量的取值范围确定自变量的取值范围通常要从两个方面考虑：使含自变量的代数式有意义结合实际意义，使函数在实际情况下有意义类型之一:例 1.每个同学购买一支钢笔，每支笔 5 元，求总金额 y（元）与学生数 n（个）的函数关系并指出式中的函数与自变量，写出自变量的取值范围。【解析】这里的自变量的取值范围，要考虑它的实际意义。【解答】y=5n，n 是自变量，y 是 n 的函数。自变量 n 的取值范围是：n 为自然数。类型之二:例 2、一水管以均匀的速度向容积为 100 立方米的空水池中
4、注水，注水的时间 t 与注入的水量 Q 如下表：t(分钟) 2 4 6 8 Q(立方米 ) 4 8 12 16 请从表中找出 t 与 Q 之间的函数关系式，且求当 t=5 分 15 秒时水池中的水量 Q 的值.学优中考网 【解析】t 和 Q 的数值成正比关系： = = = ，表示每分钟流量是 2 立方米，即42816Q=2t.一般实例中的解析式都要包含有自变量的取值范围，否则就不是正确答案.【解答】水管是匀速流出水于池中，速度是(42)=2，即每分钟 2 立方米，函数解析式为 Q=2t，自变量 t 为非负数.又水池容积为 100 m3，时间不能超过 1002=50(分钟)，0t50.当 t=5
5、 分 15 秒时， Q=25 =10 ，412即当 t 为 5 分 15 秒时，水量为 10 立方米.【评注】考查函数的概念时.要紧扣函数的定义，即对于每一个自变量 x，都有唯一的 y 值与之相对应，否则就不是函数关系.函数的定义是学习和运用函数关系的基础，要准确掌握.另外，把求函数值的问题转化为求代数式的值的问题，把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题，从而利用函数的概念及性质解决实际问题.从丰富多彩的问题情境中渗透函数的模型思想，从中建立概念，总结规律，促进其应用与拓展，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，进而探索出一次函数及其图象的性质，最
6、后利用一次函数及其图象解决实际应用问题.1.下列关于变量 x、y 的关系：3x-2y=5; y=|x|;2x-y 2=10.其中表示 y 是 x 的函数关系的是( )A. B. C. D.【解析】B 对于 3x-2y=5 和 y=|x|，由函数的定义知对于每一个 x 值都有唯一确定的 y 值与之对应，符合函数关系的要求.但对于 2x-y2=10，即 y2=2x-10，x 与 y 不构成上述关系，即 y 不是 x 的函数.故表示 y 是 x 的函数关系，应选 B.2已知有两人分别骑自行车和摩托车沿着相同的路线从甲地到乙地去，下图反映的是这两个人行驶过程中时间和路程的关系，请根据图象回答下列问题：
7、（1）甲地与乙地相距多少千米？两个人分别用了几小时才到达乙地？谁先到达了乙地？早到多长时间？（2）分别描述在这个过程中自行车和摩托车的行驶状态（3）求摩托车行驶的平均速度【解析】两人行驶的路程 s 是时间 t 的函数从图象可以看出骑自行车的先出发而后到达乙地，行驶的路程都是 100 千米【解答】 （1）甲地与乙地相距 100 千米两个人分别用了 2 小时（骑摩托车） 、6 小时（骑自行车）到达乙地骑摩托车的先到乙地，早到了 1 小时（2）骑自行车的先匀速行驶了 2 小时，行驶 40 千米后休息了 1 小时，然后用 3 小时学优中考网 到达乙地骑摩托车的在自行车出发 3 小时后出发，行驶 2 小
8、时后到达乙地（3）摩托车行驶的平均速度是 50 千米/时3.根据下列题意写出适当的关系式，并指出其中的变量和常量（1）多边形的内角和 W 与边数 n 的关系（2）甲、乙两地相距 y 千米，一自行车以每小时 10 千米的速度从甲地驶向乙地，试用行驶时间 t（小时）表示自行车离乙地的距离 S（千米） 【解析】弄清题意，寻找其中的相等关系是解决问题的关键在变化过程中，数值发生变化的量是变量，数值没有变化的量是常量要注意字母表示的量不一定是变量，如第（2）小题中的 y【解答】根据题意列表解答如下：题号 关系式 变量 常量（1） W=（n-2）180 W、n 2，180（2） S=y-10t S、t y
9、、101一个正方形的边长为 5cm，它的边长减少 xcm后得到的新正方形的周长为 ycm，写了y 与 x 的关系式，并指出自变量的取值范围【解析】周长 y=4（5-x） ；自变量的范围应能使正方形的边长是正数，即满足不等式组50【解答】y 与 x 的函数关系式为 y=20-4x，自变量的取值范围是 0x52.一水管以均匀的速度向容器为 100 立方米的空水池注水，注入的时间 t 与注入的水量 Q如下表：t（分） 2 4 6 8 Q（立方米） 4 8 12 16 请写出函数关系式，且求当 t=5 分 15 秒时，水池中的水量 Q 的值。【解析】从 t 和 Q 的数值成正比关系： = = = ，表
10、示每分钟流量是 2 立方米，即1Q=2t。一般实例中的解析式都要包含有自变量的取值范围，否则就不是正确答案。【解答】Q=2t（0t50） ，当 t=5 分 15 秒时，水池中的水量为 10.5 立方米。水管是匀速流出水，速度是 42=2，即每分钟 2 立方米，所以函数解析式为 Q=2t，自变量 t 为非负数。又水池的容积为 100 立方米，时间不能超过 1002=50（分钟） ， 0t50。当 t=5 时，Q=25 =10.5。411.下列是某报纸公布的世界人口数据情况：年份 1957 1974 1987 1999 2010 2025人口数 30 亿 40 亿 50 亿 60 亿 70 亿 8
11、0 亿（1）表中分别有几个变量？（2）你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？学优中考网 （3）如果用 x 表示时间，y 表示世界人口总数，那么随着 x 的变化，y 的变化趋势是什么？（4）世界人口每增加 10 亿，所需的时间是怎样变化的？【解析】 （1）从表中我们可以看出有两个变量：一个是时间（年份） ，另一个是人口数；（2）能否将其中某个变量看成另一个变量的函数，就要看它是否符合“给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”；（3）由表格可知：随着 x 的增大，y 逐渐增大；（4）仔细读表可以看出：世界人口每增加 10 亿，所需的时间是先逐渐减少，后逐渐增加。【解答】 （1）表
12、中有两个变量：一个是时间（年份） ，另一个是人口数。（2）我们可以将人口数看成是时间（年份）的函数。（3）由表格可知：随着 x 的增大，y 逐渐增大。（4）世界人口由 30 亿增长到 40 亿，花了 17 年时间；由 40 亿增长到 50 亿，花了 13 年时间；由 50 亿增长到 60 亿，花了 12 年时间；由 60 亿增长到 70 亿，花了 11 年时间；由 70亿增长到 80 亿，花了 15 年时间。因此，世界人口每增加 10 亿，所需的时间是先逐渐减少，后逐渐增加。课时作业：A 等级1. 在 中，它的底边长是 a，底边上的高是 h，则三角形面积 ，当 a 为定长时，在此式子中（ ）（
13、A）S、h 是变量，a 是常量（B）S、h、a 是变量， 是常量（C）a、h 是变量， 、S 是常量（D）S 是变量， 、a、h 是常量2. 在函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ）（A） （B） （C） 且 （D） 或 3. 已知函数 ，当 时函数值为 1，则 m 值为（ ）学优中考网 （A）1 （B）3 （C）-3 （D）-14. 若函数 ，与函数值 对应的 x 的值是（ ）（A） 或 （B） 或 （C） 且 （D） 或 5. 自变量的取值范围是 的函数是（ ）（A） （B） （C） （D） 6函数 中，自变量 x 的取值范围是（ ）A B C 且 D 7函数 的自变量 x 的取值范围是
14、（ ）A B C D 8下列函数中，自变量取值范围选取错误的是（ ）A 中， x 取全体实数B 中， C 中，D 中， 9如果每盒圆珠笔有 12 支，售价 18 元，那么圆珠笔的售价 y（元）与圆珠笔的支数 x 之间的函数关系式是（ ）学优中考网 A BC D 10已知函数 的自变量 x 的取值范围是全体实数，则实数 m 的取值范围是（ ）A BC D B 等级11已知函数 ，其中相同的两个函数是（ ）A 与 B 与C 与 D 与 12有一内角为 120的平行四边形，它的周长为 l，如果它的一边为 x，与它相邻的另一边长 y 与 x 之间的函数关系式及 x 的取值范围是（ ）AB CD 13函
15、数 中自变量 x 的取值范围是_.14函数 的自变量 x 的取值范围是_.学优中考网 15函数 中自变量 x 的取值范围是_；函数 中自变量 x 的取值范围是_.1614. 中自变量 x 的取值范围是_.17圆锥的体积为 ，则圆锥的高 h（cm）与底面积 之间的函数关系是_.18将 改用 x 的代数式表示 y 的形式是_；其中 x 的取值范围_.19函数 中自变量 x 的取值范围是_.20物体从离 A 处 20m 的 B 处以 6m/s 的速度沿射线 AB 方向作匀速直线运动， t 秒钟后物体离 A 处的距离为 sm，则 s 与 t 之间的函数关系式是_，自变量 t 的取值范围是_.C 等级2
16、1下图表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图像两地间的距离是 80 千米请你根据图像回答或解决下面的问题：（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地较早？早到多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？22. 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同设汽车每月行驶 xkm，应付给个体车主的月费用是 元，应付给出租车公司的月费用是 元， 与 x 之间的函数关系图像如图所示（1）观察图像并根据图像选择较合算的车；（2）如果这个单位估计每月行驶路程为 2700km，又如何选择？学优中考网 23. 某水果批发市场规定
17、，批发水果不少于 100 千克时，批发价为每千克 2.5 元.小于携带现金 3000 元到市场采购苹果,并以批发价买进,如果购买的苹果为 x 千克,小王付款后的剩余现金为 y 元,则 y 与 x 之间的函数关系式是_,自变量 x 的取值范围是_.24. 用 50 牛的力推动一个物体,所做的功 W(焦)与物体移动距离 S(米)之间的函数关系式是_,自变量 S 的取值范围是_.25分别写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与函数：设一长方体盒子高为 10cm，底面是正方形，求这个长方体的体积 V(cm3)与底面边长a(cm)的关系；秀水村的耕地面积是 106(m2)，求这个村人均占有耕地面积 x(
18、m2)与人数 n 的关系设地面气温是 20，如果每升高 1km，气温下降 6，求气温 t()与高度 h(km)的关系.26已知 。 （1）用含 的代数式表示 ，并指出 的取值范围；（2）求当 时， 的值；当 时， 的值。27.求下列函数中，自变量 x 的取值范围；28求下列函数自变量的取值范围（1） ；（2） ；（3） ；（4） .学优中考网 29在 中，已知 ，任取 AB 上一点 M，作，设 AM 的长为 x，平行四边形 MPCQ 的周长为 y，求出 y 关于 x 的函数关系式和自变量的取值范围.30. 汽车由北京驶往相距 850 千米的沈阳，它的平均速度为 80 千米/小时，求汽车距沈阳的
19、路程 S（千米）与行驶时间 t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.A 等级答案 1A2C3B4A5D6A7C8B9A10AB 等级答案11D 12B1314 且1516171819 且 和 220C 等级答案学优中考网 21 （1）骑自行车的人出发较早，早 3 个小时，骑摩托车的人到达乙地较早，早 3 个小时（2）自行车速度为 10 千米/时，摩托车速度为 40 千米/时22 （1）当每月行驶路程小于 1500km 时，用国营出租车较合算；当每月行驶路程大于1500km 时，用个体出租车较合算（2）当每月行驶 2700km 时，选择个体出租车 232425(1)V=10a 2，自变量是 a，函数是 V；(2) ，自变量是 n，函数是 x;(3)t=20-6h,自变量是 h，函数是 t. 26 （1） ， 取值范围是 的一切实数（2） 时， ， ， 27 （1）全体实数（2） （3） （4） 28 （1）全体实数；（2） 且 ；（3） 且 ；（4） 且 2930分析：北京距沈阳 850 千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程等于速度乘以时间.解： 得 学优中考网 于是汽车距沈阳的路程 S 与时间 t 的函数关系式为 ，自变量 t 的取值范围是学优中考网 学优(中考，网
