1、 / 391(精编版)2012 全国各地中考数学试题分类解析汇编面积问题1. （2012 广东佛山 11 分） （1）按语句作图并回答：作线段 AC（AC=4） ，以 A 为圆心 a为半径作圆，再以 C 为圆心 b 为半径作圆（a 4，b4，圆 A 与圆 C 交于 B、D 两点） ，连接 AB、BC、CD、DA若能作出满足要求的四边形 ABCD，则 a、b 应满足什么条件？（2）若 a=2，b=3，求四边形 ABCD 的面积【答案】解：（1）作图如下：能作出满足要求的四边形 ABCD，则 a、b 应满足的条件是 a+b4。（2）连接 BD，交 AC 于 E，A 与C 交于B、D，AC DB，B
2、E=DE。设 CE=x，则 AE=4x，BC= b=3 ，AB= a=2，由勾股定理得： 222BE34x、解得： 。1x8 。2315E38四边形 ABCD 的面积是 。315ACBE4282答：四边形 ABCD 的面积是 。315【考点】作图（复杂作图） ，相交两圆的性质，勾股定理。【分析】 （1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；（2）连接 BD，根据相交两圆的性质得出 DBAC，BE=DE，设 CE= x，则AE=4x，根据勾股定理得出关于 x 的方程，求出 x，根据三角形的面积公式求出即可。2. （2012 广东广州 14 分）如图，抛物线 与 x 轴交于
3、 A、B 两点（点 A23y=x+84在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C（1）求点 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当 ACD 的面积等于ACB 的面积时，求点 D 的坐标；（3）若直线 l 过点 E（4，0） ，M 为直线 l 上的动点，当以 A、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线 l 的解析式【答案】解：（1）在 中，令 y=0，即 ，解得23y=x+8423x+=084x1=4，x 2=2。点 A 在点 B 的左侧，A、B 点的坐标为 A（4，0） 、B（2，0） 。 （2）由 得，对称轴为 x=1。23y=x+84在 中，令
4、x=0，得 y=3。OC=3， AB=6， 。ACBSO6392在 Rt AOC 中， 。2=+45设ACD 中 AC 边上的高为 h，则有 ACh=9，解得 h= 。118如图 1，在坐标平面内作直线平行于 AC，且到 AC 的距离=h= ，这样5的直线有 2 条，分别是 L1 和 L2，则直线与对称轴 x=1 的两个交点即为所求的点 D。设 L1 交 y 轴于 E，过 C 作 CFL 1 于 F，则 CF=h= ，185 。8F95C4sinsinOA2/ 393设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，将 A（4，0） ，B（0，3）坐标代入，得，解得 。k+b=3k4直线 AC 解析式为
5、 。3yx直线 L1 可以看做直线 AC 向下平移 CE 长度单位（ 个长度单位）而形92成的，直线 L1 的解析式为 。393yx42则 D1 的纵坐标为 。D 1（4， ） 。19同理，直线 AC 向上平移 个长度单位得到 L2，可求得 D2（1， ） 。92 74综上所述，D 点坐标为：D 1（4， ） ，D 2（1， ） 。74（3）如图 2，以 AB 为直径作F，圆心为 F过 E 点作F 的切线，这样的切线有 2 条连接 FM，过 M 作 MNx 轴于点 N。A（4，0） ，B（2，0） ，F（1，0） ，F 半径 FM=FB=3。又 FE=5，则在 RtMEF 中，-ME= ，si
6、n MFE= ，cosMFE= 。25344535在 Rt FMN 中，MN=MNsinMFE=3 ，12FN=MNcos MFE=3 。95则 ON= 。M 点坐标为（ ， ） 。45412直线 l 过 M（ ， ） ，E（4，0） ，12设直线 l 的解析式为 y=k1x+b1，则有 ，解得 。412k+b=503k4b直线 l 的解析式为 y= x+3。34同理，可以求得另一条切线的解析式为 y= x3。4综上所述，直线 l 的解析式为 y= x+3 或 y= x3。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的
7、位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。【分析】 （1）A、B 点为抛物线与 x 轴交点，令 y=0，解一元二次方程即可求解。（2）根据题意求出ACD 中 AC 边上的高，设为 h在坐标平面内，作 AC 的平行线，平行线之间的距离等于 h根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的 D 点从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线 AC 向上或向下平移而形成因此先求出直线 AC 的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得 D 点坐标。这样的平行线有两条。（3）本问关键是理解“以 A、B、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义
8、因为过 A、B 点作 x 轴的垂线，其与直线 l 的两个交点均可以与 A、B 点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以 AB 为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与 A、B 点构成直角三角形从而问题得解。这样的切线有两条。3. （2012 广东梅州 11 分）如图，矩形 OABC 中，A（6，0） 、C（0，2 ） 、D（0，3 ） ，射线 l 过点 D 且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点，满足PQO=60（1）点 B 的坐标是 ； CAO= 度；当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标
9、为 ；（直接写出答案）/ 395（2）设 OA 的中心为 N，PQ 与线段 AC 相交于点 M，是否存在点 P，使AMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标为 m；若不存在，请说明理由（3）设点 P 的横坐标为 x，OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式和相应的自变量 x 的取值范围【答案】解：（1）（6，2 ） 。 30。（3，3 ） 。3（2）存在。m=0 或 m=3 或 m=2。（3）当 0x3 时，如图 1，OI=x，IQ=PItan60=3， OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线 lBC OA，可得 ，EF= （3+x） ，
10、EFPDC31=OQ3此时重叠部分是梯形，其面积为： EFQO14343SCx2、=当 3x5 时，如图 2，HAEFEFQO221SAH4333xxx3 2 =、 、当 5x9 时，如图 3，1SBEOC122=x3 、当 x9 时，如图 4，。11835SOAH6=2x综上所述，S 与 x 的函数关系式为：。243x031x52S3x5954、【考点】直线平移的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆相切的性质，勾股定理，解一元二次方程，矩形的性质。【分析】 （1）直线 y=2xb (b0)经过圆心 M(4，2)，2=24 b，解得 b=10。如图，作
11、点 M 垂直于直线 y=2xb 于点 P，过点P 作 PHx 轴，过点 M 作 MHPH，二者交于点 H。设直线y=2xb 与 x，y 轴分别交于点 A，B 。则由OABHMP ，得 。O1P2可设直线 MP 的解析式为 。1yxb、由 M(4，2)，得 ，解得 。直线 MP 的解析式为 。124、01yx2联立 y=2xb 和 ，解得 。yx2=b,y5 P（ ） 。1,5 由 PM=2，勾股定理得， ，化简得 。221b+45-4 2b0+8=-解得 。b=102（2）求出直线 经过点 A、B、C、D 四点时 b 的值，从而分l0b4， 4b6，6b12， 12b14，b14 五种情况分别
12、讨论即可。6. （2012 广东珠海 9 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，AB=3 ，DC= ，高2CE=2 ，对角线 AC、BD 交于 H，平行于线段 BD 的两条直线 MN、RQ 同时从点 A 出2发沿 AC 方向向点 C 匀速平移，分别交等腰梯形 ABCD 的边于 M、N 和 R、Q ，分别交对角线 AC 于 F、 G；当直线 RQ 到达点 C 时，两直线同时停止移动记等腰梯形 ABCD 被直线 MN 扫过的图形面积为 S1、被直线 RQ 扫过的图形面积为 S2，若直线 MN 平移的速度为 1 单位/秒，直线 RQ 平移的速度为 2 单位/ 秒，设两直线移动的时间为 x 秒
13、（1）填空：AHB= ；AC= ；（2）若 S2=3S1，求 x；（3）设 S2=mS1，求 m 的变化范围【答案】解：（1）90；4。（2）直线移动有两种情况：0x 及 x2。32当 0x 时，MNBD，AMNARQ。32直线 MN 平移的速度为 1 单位/ 秒，直线 RQ 平移的速度为 2 单位/秒，AMN 和ARQ 的相似比为 1：2。 。S 2=4S1，与题设 S2=3S1 矛盾。214当 0x 时，不存在 x 使 S2=3S1。3当 x2 时，2ABCD，ABH CDH 。CH：AH=CD：AB=DH ：BH=1：3。CH=DH= AC=1，AHBH=41=3 。14CG=42x，
14、ACBD，S BCD = 41=212RQBD ，CRQ CDB。/ 3913 。22CRQ4xS=81又，ABCD ABD1 1SE328SCE3262 2、MNBD ， AMNADB 。 ，1FxH9S 1= x2，S 2=88（2x） 2。3S 2=3S1，88（2x） 2=3 x2，解得：x 1= （舍去） ，x 2=2。36253当 t= 时， S 有最大值为 。2332【考点】二次函数综合题，动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，对称的性质，线段中垂线的性质，含 300 角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，点到直线的距离，二次函数的最值。【分析】 （1）抛物
15、线的解析式中，令 x=0，能确定抛物线与 y 轴的交点坐标（即 B 点坐标） ；令 y=0，能确定抛物线与 x 轴的交点坐标（即 A、C 的坐标） 。（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线 AB 的解析式。（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到 D 点的坐标已知 A、B 的坐标，易判断出OAB 是含 300 角的直角三角形，结合 O、D 关于直线 AB 对称，可得出 OD 的长，结合DOA 的值，应用三角函数即可得到 D 点的坐标。（4）首先用 t 列出 AQ、AP 的表达式，从而可得到点 P 到 x 轴的距离，以 OQ 为底、P 到 x 轴的距离为高，可得到关于 S、t 的函数关
16、系式，根据函数的性质即可得到 S 的最大值及此时 t 的值。11. （2012 江苏宿迁 12 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知直线 l1:y= x 与直线2l2：y=x+6 相交于点 M，直线 l2 与 x 轴相较于点 N.（1） 求 M，N 的坐标；来源: 学优中考网（2） 在矩形 ABCD 中，已知 AB=1，BC=2 ，边 AB 在 x 轴上，矩形 ABCD 沿 x 轴自左向右以每秒 1 个单位长度的速度移动.设矩形 ABCD 与OMN 的重叠部分的面积为 S.移动的时间为 t（从点 B 与点 O 重合时开始计时，到点 A 与点 N 重合时计时结束） 。直接写出 S 与自变
17、量 t 之间的函数关系式（不需要给出解答过程） ；（3） 在（2）的条件下，当 t 为何值时，S 的值最大？并求出最大值 .【答案】解：（1）解 得 。M 的坐标为（4，2） 。1y=x26y在 y=x+6 中令 y=0 得 x=6，N 的坐标为（6，0） 。（2）S 与自变量 t 之间的函数关系式为：222104tt4319S=+t5t5t614977（3）当 0t1 时，S 的最大值为 ，此时 t=1。14当 1t4 时，S 的最大值为 ，此时 t=4。7当 4t5 时， ，2231931=t+=t+446S 的最大值为 ，此时 t= 。6当 5t6 时，S 随 t 的增大而减小，最大值不
18、超过 。32当 6t7 时，S 随 t 的增大而减小，最大值不超过 。1/ 3923综上所述，当 t= 时，S 的值最大，最大值为 。1316【考点】一次函数综合题，平移问题，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数和二次函数的最值。【分析】 （1）联立两直线方程即可求得 M 的坐标，在 y=x+6 中令 y=0 即可求得 N 的坐标。（2）先求各关键位置，自变量 t 的情况：起始位置时，t=0；当点 A 与点 O 重合时，如图 1，t=1 ；当点 C 与点 M 重合时，如图 2，t=4 ；当点 D 与点 M 重合时，如图 3，t=5 ；当点 B 与点 N 重合时，如图4，t=6；结束位置时，点
19、A 与点 N 重合，t=7 。当 0t1 时，矩形 ABCD 与 OMN 的重叠部分的面积为一三角形面积（不含 t=0） ，三角形的底为 t，高为 ， 。1t221S=t4当 1t4 时，矩形 ABCD 与OMN 的重叠部分的面积为一梯形面积，梯形的上底为 ，下底为 ，高为 1。 。t2t21t+t=t224当 4t5 时，矩形 ABCD 与OMN 的重叠部分的面积为两梯形面积的和，第一个梯形的上底为 ，下底为 2，高为 ；第二个梯形的上底为t 1t24t15+6，下底为 2，高为 。 。211349S=t+5tt +62t4=t+ 当 5t6 时，矩形 ABCD 与OMN 的重叠部分的面积为
20、一梯形面积，梯形的上底为6t ，下底为 7t，高为 1。 。13S=6t+7=t22当 6t7 时，矩形 ABCD 与OMN 的重叠部分的面积为一三角形面积（不含 t=7） ，三角形的底为 7t ，高为 7t， 。21149S=7tt=7t+2（3）分别讨论各分段函数的最大值而得所求。1. 12. （2012 四川内江 12 分）如图 14，已知点 A（1，0） ，B（4，0） ，点 C 在 y 轴的正半轴上，且ACB=90 0，抛物线 经过 A、B、C 三点，其顶点为 M.2yaxbc(1)求抛物线 的解析式；2yaxbc(2)试判断直线 CM 与以 AB 为直径的圆的位置关系，并加以证明；
21、(3)在抛物线上是否存在点 N，使得 ?如果存在，那么这样的点有几个？如果不存BCNS4在，请说明理由。【答案】解：（1）RtACB 中，OCAB，AO=1，BO=4，ACOABO 。 ，OC 2=OAOB=4。COABOC=2。点 C（0，2） 。抛物线 经过 A、B 两点，yaxbc设抛物线的解析式为： ，将 C 点代入上式，得：yax+14来源:学优中考网 xYzKw，解得 。2a0+14=2抛物线的解析式： ，即 。1yx+4213yx+（2）直线 CM 与以 AB 为直径的圆相切。理由如下：如图，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 D，连接 CD。由于 A、B 关于抛物线的对称轴对称
22、，则点 D 为 RtABC 斜边 AB 的中点，/ 3925CD= AB。12由（1）知： ，2213135yx+=x+8则点 M（ ） ，ME= 。358 ， 9 8而 CE=OD= ，OC=2 ，ME ：CE=OD：OC。2又MEC=COD=90 ，CODCEM 。CME= CDO 。CME+CDM=CDO+CDM=90。DCM=90。CD 是D 的半径，直线 CM 与以 AB 为直径的圆相切。（3）由 B（4，0） 、C（0，2）得：BC= ，25则： 。N14Shh、过点 B 作 BFBC，且使 BF=h= ，过 F 作直线 lBC 交 x 轴于5G。RtBFG 中，sinBGF=si
23、n CBO= ，BG=BFsinBGF= 。45=G（0，0）或（8，0） 。易知直线 BC：y= x+2，则可设直线 l：y= x+b，1212将 G 点坐标代入，得：b=0 或 b=4，则：直线 l：y= x 或 y= x+4；联立抛物线的解析式，得：，或 。21y 3 x 21 y x43 解得 或 或 。+y1y1+xy抛物线上存在点 N，使得 ，这样的点有 3 个：BCNS4。122 1 2N、【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，直线与的位置关系，平行线的性质。【分析】 （1）RtACB 中，OCAB，利用相似三角形
24、能求出 OC 的长，即可确定 C 点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式。（2）证明 CM 垂直于过点 C 的半径即可。（3）先求出线段 BC 的长，根据BCN 的面积，可求出 BC 边上的高，那么做直线 l，且直线 l 与直线 BC 的长度正好等于 BC 边上的高，那么直线 l 与抛物线的交点即为符合条件的 N 点。13. （ 2012 四川广元 9 分）如图，AB 是O 的直径，C 是 AB 延长线上一点，CD 与O相切于点 E，AD 来源:学优中考网 xYzkwCD（1）求证：AE 平分DAC；（2）若 AB=3，ABE=60，求 AD 的长；求出图中阴影部分的面积。【答案】解：
25、（1）证明：连接 OE。CD 是O 的切线，OECD。ADCD，ADOE。 DAE=AEO。OA=OE，EAO=AEO。DAE=EAO。AE 平分DAC。（2）AB 是O 的直径， AEB=90 。ABE=60，EAO=30。DAE= EAO=30。AB=3，在 RtABE 中，313AEBcos0BEA22、/ 3927在 Rt ADE 中，DAE=30，AE= ，32。39ADEcos024EAO=AEO=30 ，。00O18AEO18312OA=OB， 。BOEABS S AEE 2、阴。2310 1393 6416【考点】切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊
26、角的三角函数值，三角形内角和定理，扇形面积的计算。【分析】 （1）连接 OE，由切线的性质可知， OECD，再根据 ADCD 可知 ADOE，故DAE=AEO，再由 OA=OE 可知EAO= AEO，故DAE= EAO ，故可得出结论。（2）根据ABE=60求出EAO 的度数，进而得出DAE 的度数，再根据锐角三角函数的定义求出 AE 及 BE 的长，在 RtADE 中利用锐角三角函数的定义即可得出 AD 的长。由三角形内角和定理求出AOE 的度数，再根据 OA=OB 可知求AOEBABE1S S2出AOE 的面积，由 即可得出结论。AOES、阴14. （2012 山东菏泽 10 分）如图，在
27、平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1） ，B（2，0） ，O（0，0） ，将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90，得到ABO（1）一抛物线经过点 A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出四边形PBAB 的两条性质【答案】解：(1) ABO 是由ABO 绕原点 O 逆时针旋转 900 得到的，且 A（0，1） ，B（2，0） ，O（0，0） 。(,)(,)
28、 设抛物线的解析式为 ，2(0)yaxbc抛物线经过点 A、B、B， ，解之得 。024abc12bc满足条件的抛物线的解析式为 。2yx（2）P 为第一象限内抛物线上的一动点，设 ，则 ，P 点坐标满足 。(,)xy0,y 2yx连接 PB，PO，PB。 来源:BOA OB P SSP四 边 形xYzKw.Com 112+2xy()3xx。假设四边形 PBAB 的面积是 ABO 面积的 4 倍，则 ，即 ，解之得 ，此时234x210x1x。21y/ 3929P（1，2） 。存在点 P（1，2） ，使四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4倍。（3）四边形 PBAB 为等腰梯形。它的性质
29、有： 等腰梯形同一底上的两个内角相等；等腰梯形对角线相等；等腰梯形上底与下底平行；等腰梯形两腰相等。答案不唯一，上面性质中的任意 2 个均可。【考点】二次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰梯形的判定和性质。【分析】 （1）利用旋转的性质得出 A（1，0） ，B （0，2） ，再利用待定系数法求二次函数解析式即可。（2）利用 S 四边形 PBAB=SBOA +SPBO +SPOB ，再假设四边形 PBAB 的面积是ABO 面积的 4 倍，得出一元二次方程，得出 P 点坐标即可。（3）利用 P 点坐标以及 B 点坐标即可得出四边形 PBAB 为等腰梯形，利用等腰梯
30、形性质得出答案即可。15. （2012 山东枣庄 10 分） 如图，在平面直角坐标 xOy 中，一次函数 的ykxb0图象与反比例函数 的图象交于二、四象限内的 A、B 两点，与 x 轴交于 C 点，my0x点 B 的坐标为（6， ） 线段 OA=5，E 为 x 轴上一点，且 sinAOE= n 45（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求AOC 的面积【答案】解：（1）过点 A 作 ADx 轴于 D 点，如图， sinAOE= ，OA=5，sinAOE=45。AD4O5AD=4 ，DO= 。222AOD543 而点 A 在第二象限，点 A 的坐标为（3，4） 。将 A（3，4）代入
31、，得 m=12，yx所求的反比例函数的解析式为 。12x将 B（6，n）代入 ，得 n =2。1yx将 A（3，4）和 B（6，2）分别代入 ，得ykb，解得 。kb6k3b2所求的一次函数的解析式为 。yx2（2）在 中，令 ，即 ，解得 。2yx3003x3C 点坐标为（0，3） ，即 OC=3， 。AO11SDC4622【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】 （1）过点 A 作 ADx 轴于 D 点，由 sinAOE= ，OA=5，根据正弦的定义可45求出 AD，再根据勾股定理得到 DO，即得到 A 点坐标（ 3，4） ，把 A（3，4）代入，即可确定反比例函数的解析式；将 B（6，n）代入，确定点 B 点坐标，然后把 Amyx点和 B 点坐标代入 ，即可确定一次函数函数的解析式。ykxb（2）先令 ，求出 C 点坐标，得到 OC 的长，然后根据三角形的面积公式计0算AOC 的面积即可。16. （2012 浙江金华 12 分）在ABC 中，ABC45，tanACB 如图，把ABC的一边 BC 放置在 x 轴上，有 OB14，OC ，AC 与 y 轴交于点 E
