1、 / 50- 1 -专题 52：平面几何的综合一、选择题1. （2012 湖北鄂州 3 分）如图，四边形 OABC 为菱形，点 A、B 在以 O 为圆心的弧上，若 OA=2，1=2，则扇形 ODE 的面积为【 】A. B. C. D.343523【答案】A。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。【分析】如图，连接 OBOA=OB=OC=AB=BC，AOB+ BOC=120。又1=2，DOE=120。又OA=2 ，扇形 ODE 的面积为 。故选 A。210 4362. （2012 湖南岳阳 3 分）如图，AB 为半圆 O 的直径，AD 、BC 分别切O 于 A、B 两点，C
2、D 切O 于点 E，AD 与 CD 相交于 D，BC 与 CD 相交于 C，连接 OD、OC，对于下列结论：OD 2=DECD；AD+BC=CD ；OD=OC ；S 梯形 ABCD= CDOA； DOC=90，其中正确的是【 】A B C D【答案】A。【考点】切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质。1052629【分析】如图，连接 OE，AD 与圆 O 相切，DC 与圆 O 相切，BC 与圆 O 相切，DAO=DEO=OBC=90，DA=DE，CE=CB，ADBC。CD=DE+EC=AD+BC。结论 正确。在 Rt ADO 和 RtEDO 中，OD=OD，DA=DE，RtADORt
3、EDO （HL）AOD=EOD。同理 RtCEO Rt CBO ，EOC=BOC。又AOD+DOE+EOC+COB=180 ，2（DOE+EOC）=180，即DOC=90 。结论正确。DOC=DEO=90。又EDO=ODC，EDOODC。 ，即 OD2=DCDE。结论正确。ODEC而 ，结论错误。AB11SDBCAD=CO2分 分由 OD 不一定等于 OC，结论错误。正确的选项有。故选 A。3. （2012 四川乐山 3 分）如图，在ABC 中，C=90，AC=BC=4，D 是 AB 的中点，点 E、F 分别在 AC、BC 边上运动（点 E 不与点 A、C 重合） ，且保持 AE=CF，连接D
4、E、DF、EF 在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE 是等腰直角三角形；四边形 CEDF 不可能为正方形；四边形 CEDF 的面积随点 E 位置的改变而发生变化；点 C 到线段 EF 的最大距离为 其中正确结论的个数是【 】/ 50- 3 -A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】B。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】连接 CD（如图 1） 。ABC 是等腰直角三角形，DCB=A=45，CD=AD=DB。AE=CF，ADE CDF （SAS） 。ED=DF，CDF=EDA 。ADE+EDC=90 ， EDC+CDF=EDF=90。DF
5、E 是等腰直角三角形。故此结论正确。当 E、F 分别为 AC、BC 中点时，由三角形中位线定理，DE 平行且等于BC。12四边形 CEDF 是平行四边形。又E、F 分别为 AC、BC 中点，AC=BC，四边形 CEDF 是菱形。又C=90，四边形 CEDF 是正方形。故此结论错误。如图 2，分别过点 D，作 DMAC，DNBC，于点 M，N，由，知四边形 CMDN 是正方形，DM=DN。由，知DFE 是等腰直角三角形，DE=DF。Rt ADERtCDF（HL） 。由割补法可知四边形 CEDF 的面积等于正方形 CMDN 面积。四边形 CEDF 的面积不随点 E 位置的改变而发生变化。故此结论错
6、误。由，DEF 是等腰直角三角形，DE= EF。2当 DF 与 BC 垂直，即 DF 最小时， EF 取最小值 2 。此时点 C 到线段 EF的最大距离为 。2故此结论正确。故正确的有 2 个：。故选 B。4. （2012 四川广元 3 分） 如图，A，B 是O 上两点，若四边形 ACBO 是菱形，O 的半径为 r，则点 A与点 B 之间的距离为【 】A. B. C. r D. 2r2r3r【答案】B。【考点】菱形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，连接 AB，与 OC 交于点 D， 四边形 ACBO 为菱形，OA=OB=AC=BC，
7、OCAB。又OA=OC=OB，AOC 和BOC 都为等边三角形，AD=BD。在 Rt AOD 中，OA=r，AOD=60，AD=OAsin60= 。3r2AB=2AD= 。故选 B。3r5. （2012 辽宁锦州 3 分）下列说法正确的是【 】A.同位角相等 B.梯形对角线相等C.等腰三角形两腰上的高相等 D.对角线相等且垂直的四边形是正方形【答案】C。【考点】同位角、梯形、等腰三角形的性质，正方形的判定。【分析】根据同位角、梯形、等腰三角形的性质和正方形的判定逐一作出判断：A.两直线平行，被第三条直线所截，同位角才相等，说法错误； / 50- 5 -B.等腰梯形的对角线才相等，说法错误；C.
8、根据等腰三角形等边对等角的性质，两腰上的高与底边构成的两直角三角形全等（用 AAS） ，从而得出等腰三角形两腰上的高相等的结论 ，说法正确； D.对角线相等且垂直的四边形是不一定是正方形，还要对角线互相平分，说法错误。故选 C。二、填空题1. （2012 宁夏区 3 分） 如图,在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相较于 O,DEAC 于E，EDCEDA =12，且 AC=10，则 DE 的长度是 【答案】 。532【考点】矩形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】四边形 ABCD 是矩形，ADC=90，AC=BD=10，OA=OC= AC=5，OB=O
9、D= BD=5。1212OC=OD， ODC=OCD。EDC：EDA=1：2，EDC+EDA=90，EDC=30，EDA=60。DEAC，DEC=90 。 DCE=90EDC=60 。ODC= OCD=60。COD=60。DE= OD sin 60= = 。3522. （2012 浙江、舟山嘉兴 5 分）如图，在 RtABC 中，ABC=90 ，BA=BC 点 D 是AB 的中点，连接 CD，过点 B 作 BG 丄 CD，分别交 GD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于的直线相交于点 G，连接 DF给出以下四个结论： ； 点 F 是 GE 的中点；AF= AB；S ABC =5SBDF
10、，其中正确的结论AB23序号是 【答案】。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。【分析】在 RtABC 中，ABC=90 ，AB BC 。又AGAB，AGBC。AFG CFB。 。AGFCBBA=BC， 。故 正确。AGFBABC=90，BGCD ，DBE+BDE=BDE+BCD=90。DBE=BCD。AB=CB，点 D 是 AB 的中点， BD= AB= CB。 。12BD1tanC2又BG 丄 CD，DBE= BCD 。在 RtABG 中， 。AGE ， FG= FB。故错误。AGFCB12AFG CFB，AF ：CF=AG：BC=1：2。AF= AC。13AC=
11、 AB，AF= AB。故正确。23设 BD= a，则 AB=BC=2 a，BDF 中 BD 边上的高= 。23S ABC = ， SBDF21 1a2S ABC =6SBDF ，故错误。因此，正确的结论为。3. （2012 浙江丽水、金华 4 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，A90，B120，AD ，AB6在底边 AB 上取点 E，在射线 DC 上取点 F，使得DEF120 3(1)当点 E 是 AB 的中点时，线段 DF 的长度是 ；(2)若射线 EF 经过点 C，则 AE 的长是 / 50- 7 -【答案】6；2 或 5。【考点】直角梯形的性质，勾股定理，解直角三角形。【分析】(1)如
12、图 1，过 E 点作 EGDF，EGAD 。3E 是 AB 的中点，AB6，DGAE3。DEG 60（由三角函数定义可得） 。DEF120 ，FEG60。tan60 ，解得，GF 3。GF3EGDF ，DEGFEG，EG 是 DF 的中垂线。DF2 GF6。(2)如图 2，过点 B 作 BHDC，延长 AB 至点 M，过点 C 作 CFAB 于 F，则BHAD 。3ABC120，ABCD，BCH60。CH ，BC 。0BH3=1tan60BH3=2cos6设 AEx，则 BE6x，在 Rt ADE 中，DE ，22 2AD+E3+x=在 Rt EFM 中，EF ，2BMF6137x+3ABCD
13、 ，EFD BEC。DEFB120 ，EDFBCE。 ，即 ，解得 x2 或 5。CE=DF226x=3+7+34. （2012 浙江宁波 3 分）如图，ABC 中，BAC=60，ABC=45 ，AB=2 ，D 是2线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画O 分别交 AB，AC 于 E，F，连接 EF，则线段EF 长度的最小值为 【答案】 。3【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由垂线段的性质可知，当 AD 为ABC 的边 BC 上的高时，直径 AD最短，此时线段 EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60，当半径
14、 OE 最短时，EF最短。如图，连接 OE，OF，过 O 点作 OHEF，垂足为 H。 在 RtADB 中，ABC=45 ，AB=2 ，2AD=BD=2，即此时圆的直径为 2。由圆周角定理可知EOH= EOF=BAC=60 ，1在 RtEOH 中，EH=OEsinEOH=1 。3=2由垂径定理可知 EF=2EH= 。35. （2012 湖北十堰 3 分）如图，RtABC 中，ACB=90，B=30，AB=12cm，以 AC为直径的半圆 O 交 AB 于点 D，点 E 是 AB 的中点，CE 交半圆 O 于点 F，则图中阴影部分的面积为 cm 2【答案】 。934【考点】含 30 度角直角三角形
15、的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。/ 50- 9 -【分析】连接 OD，OF。RtABC 中，ACB=90 ，B=30，AB=12cm，AC= AB=6cm，BAC=60。12E 是 AB 的中点，CE= AB=AE。ACE 是等边三角形。12ECA=60。又OA=OD，AOD 是等边三角形。DOA=60 。COD=120。同理，COF=60 。DOA=COE=60。 ，AD=CF。ADCF 与弦 AD 围成的弓形的面积等于 与弦 CF 围成的弓形的面积相等。ADF 。OCDSS分分阴AC 是直径，C
16、DA=90。又BAC=60，AC =6cm， 。0AsinBC6sin=3又OCD 中 CD 边上的高= ,2CcoF=3co .OCD139S24又 ， 。206分 OCD93SS=4分分阴6. （2012 四川宜宾 3 分）如图，在O 中，AB 是直径，点 D 是O 上一点，点 C 是的中点，弦 CEAB 于点 F，过点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别A交 CF、 BC 于点 P、Q，连接 AC给出下列结论：BAD=ABC；GP=GD；点 P 是ACQ 的外心；APAD=CQCB 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） 【答案】。【考点】切线的性质，圆周角定理，三
17、角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】如图，连接 BD，点 C 是 的中点，ABC =CBD ，即ABD=2ABC。AD又AB 为圆 O 的直径，ADB=90 。BADABD=90 0，即 BAD2ABC =90 0。当ABC =30 0 时，BAD=ABC；当ABC 300 时，BADABC 。BAD 与ABC 不一定相等。所以结论错误。GD 为圆 O 的切线，GDP=ABD。又AB 为圆 O 的直径，ADB=90 。CEAB，AFP=90。ADB=AFP。又PAF=BAD， ABD=APF。又APF=GPD ，GDP=GPD。GP=GD。所以结论 正确
18、。直径 ABCE，A 为 的中点，即 。CEAC又点 C 是 的中点，D 。 。CAP=ACP。AP=CP。A又AB 为圆 O 的直径，ACQ=90 。PCQ=PQC。PC=PQ。AP=PQ，即 P 为 RtACQ 斜边 AQ 的中点。P 为 RtACQ 的外心。所以结论正确。如图，连接 CD， ，B=CAD 。又ACQ=BCA，ACQACDBCA。 ，即 AC2=CQCB。B=Q ，ACP=ADC。又CAP=DAC ， ACPADC。AEC/ 50- 11 - ，即 AC2=APAD。ACP=DAPAD=CQCB。所以结论正确。则正确的选项序号有。7. （ 2012 山东日照 4 分）如图
19、1，正方形 OCDE 的边长为 1，阴影部分的面积记作 S1；如图 2，最大圆半径 r=1，阴影部分的面积记作 S2，则 S1 S2（用“”、 “”或“=”填空）.【答案】。【考点】轴对称的性质，正方形和圆的性质，勾股定理，实数的大小比较，【分析】结合图形发现：图 1 阴影部分的面积等于等于矩形 ACDF 的面积，图 2 每个阴影部分正好是它所在的圆的四分之一，则阴影部分的面积大圆面积的四分之一。计算出结果后再比较 S1 与 S2 的大小即可：正方形 OCDE 的边长为 1， 根据勾股定理得 OD= ， AO= 。22AC=AOCO= 1。 。ACDFS 1 1分分大圆面积=r 2= 。4 ，
20、S 1S 2。1三、解答题1. （2012 北京市 5 分）已知：如图，AB 是O 的直径， C 是O 上一点，ODBC 于点D，过点 C 作O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连结 BE（1）求证：BE 与O 相切；（2）连结 AD 并延长交 BE 于点 F，若 OB=9， ，求 BF 的长2sinABC=3【答案】证明：（1）连接 OC，ODBC，OC=OB，CD=BD（垂径定理） 。CDOBDO（HL） 。 COD=BOD。在OCE 和OBE 中，OC=OB，COE= BOE， OE=OE，OCEOBE（SAS） 。OBE= OCE=90 ，即 OBBE。BE 与O 相切。（2）过点
21、 D 作 DHAB，ODBC， ODHOBD， 。D OHB又 ，OB=9，OD=6。2sinABC=3OH=4 ，HB=5，DH=2 。5又ADHAFB， ，即 ，解得 FB=HDFB1852FB。3651【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】 （1）连接 OC，先证明OCEOBE，得出 EBOB，从而可证得结论。（2）过点 D 作 DHAB，根据 ，可求出 OD=6，OH=4，HB=5，2sinABC=3然后由ADH AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出 BF 的长。2. （2012 陕西省 12 分）如图，
22、正三角形 ABC 的边长为 +（1）如图，正方形 EFPN 的顶点 E、F 在边 AB 上，顶点 N 在边 AC 上在正三角形ABC 及其内部，以 A 为位似中心，作正方形 EFPN 的位似正方形 ，且使正方形EFP的面积最大（不要求写作法） ；EFPN（2）求（1）中作出的正方形 的边长；PN/ 50- 13 -（3）如图，在正三角形 ABC 中放入正方形 DEMN 和正方形 EFPH，使得 D、EF 在边AB 上，点 P、 N 分别在边 CB、CA 上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由【答案】解：（1）如图，正方形 即为所求。EFPN（2）设正方形 的边长为 xABC 为正
23、三角形， 。3A=B 。 ，即 。23x+=9+x2x（3）如图，连接 NE，EP，PN，则 。0NEP=设正方形 DEMN 和正方形 EFPH 的边长分别为m、n（mn） ，它们的面积和为 S，则 ， 。NE=2mPn .222+=m+n 。21延长 PH 交 ND 于点 G，则 PGND。在 中， 。RtPN2222=P+Nn+ ，即 .3m+n3m=3 。29S=当 时，即 时，S 最小。n0n 。219S=3最 小当 最大时，S 最大，即当 m 最大且 n 最小时，S 最大。mn ，由（2）知， 。+=3最 大 。=36最 小 最 大。2211S=9+mn9+3=95432最 大 最
24、大 最 小【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。【分析】 （1）利用位似图形的性质，作出正方形 EFPN 的位似正方形 EFPN，如答图所示。（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式EF+AE+BF=AB，列方程求得正方形 EFPN的边长 （3）设正方形 DEMN、正方形 EFPH 的边长分别为 m、n（mn） ，求得面积和的表达式为： ，可见 S 的大小只与 m、n 的差有关：当 m=n 时，S 取得29S=+mn最小值；当 m 最大而 n 最小时， S 取得最大值m 最大 n 最小的情形见第（1） （2）问。3. （2012 广东肇 庆
25、 8 分） 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC、BD 相交于点O，BEAC 交 DC 的延长线于点 E.（1）求证：BD=BE；（2）若DBC=30 ，BO=4 ，求四边形 ABED 的面积.【答案】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，AC=BD，ABCD，BEAC，四边形 ABEC 是平行四边形。AC=BE。BD=BE 。/ 50- 15 -（2）解：在矩形 ABCD 中，BO=4，BD=2BO=24=8。DBC=30，CD= BD= 8=4，BC=BDcosDBC=8 。12 3=42BD=BE，BCDE，CE=CD=4，DE=8四边形 ABED 的面积= （AB+DE）BC
26、= （4+8） 。123【考点】矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】 （1）根据矩形的对角线相等可得 AC=BD，然后证明四边形 ABEC 是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得 AC=BE，从而得证。（2）根据矩形的对角线互相平分求出 BD 的长度，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半求出 CD 的长度，根据锐角三角函数求出 BC 的长（或用勾股定理求） ，并根据等腰三角形三线合一的性质求出 DE 的长，最后利用梯形的面积公式列式计算即可得解。4. （2012 广东梅州 8 分）如图，AC 是O 的直径，弦 BD 交 A
27、C 于点 E（1）求证：ADEBCE；（2）如果 AD2=AEAC，求证： CD=CB【答案】证明：（1）A 与B 都是弧 所对的圆周角， A=B ，ACD又AED =BEC，ADE BCE 。（2）AD 2=AEAC， 。E=又A= A， ADEACD。AED=ADC。又AC 是O 的直径，ADC=90 。AED=90。直径 ACBD，CD=CB。【考点】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质。【分析】 （1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得A=B，又由对顶角相等，可证得：ADEBCE。（2）由 AD2=AEAC，可得 ，又由A 是公共
28、角，可证得 ADEED=CACD，又由 AC 是O 的直径，可求得 ACBD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得 CD=CB。5. （2012 广东肇 庆 10 分）如图，在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 E，交 BC 于点 D，连结 BE、AD 交于点 P. 求证：（1）D 是 BC 的中点；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD【答案】证明：（1）AB 是O 的直径，ADB=90，即 ADBC。AB=AC，D 是 BC 的中点。（2）AB 是O 的直径， AEB=ADB=90 ，即 CEB=CDA=90，C 是公共角，BEC AD
29、C。（3）BECADC，CBE= CAD 。AB=AC，AD=CD，BAD=CAD 。BAD=CBE。ADB=BEC=90，ABD BCE。 。 。ABDCEBCBC=2BD， ，即 。2ADEBDP=BEC=90，PBD=CBE，BPDBCE。DPBCE ，即 ABCE=2DPAD。ABDP2CE【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由 AB 是O 的直径，可得 ADBC ，又由 AB=AC，由三线合一，即可证得 D 是 BC 的中点。/ 50- 17 -（2）由 AB 是O 的直径，AEB=ADB=90 ，又由 C 是公共角，即可证得BEC ADC。（
30、3）易证得ABDBCE 与BPD BCE ，根据相似三角形的对应边成比例与 BC=2BD，即可证得 ABCE=2DPAD。6. （2012 浙江台州 12 分）已知，如图 1，ABC 中，BA=BC ，D 是平面内不与A、B、C 重合的任意一点，ABC=DBE，BD=BE （1）求证：ABDCBE；（2）如图 2，当点 D 是ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形 BDCE 的形状，并证明你的结论7. （2012 浙江杭州 12 分）如图，AE 切O 于点 E，AT 交O 于点 M，N，线段 OE 交AT 于点 C，OBAT 于点 B，已知EAT=30，AE=3 ，MN=2 32（1）求COB
31、的度数；（2）求O 的半径 R；（3）点 F 在O 上（ 是劣弧） ，且 EF=5，把OBC 经过平移、旋转和相似变换后，AME使它的两个顶点分别与点 E，F 重合在 EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与OBC 的周长之比【答案】解：（1）AE 切 O 于点 E，AECE 。又OBAT，AEC= CBO=90，又BCO=ACE，AECOBC。又A=30，COB= A=30。（2）AE=3 ，A=30 ，3在 RtAEC 中，tanA=tan30= ，即 EC=AEtan30=3。ECAOBMN ， B 为
32、 MN 的中点。又MN=2 ，MB= MN= 。212连接 OM，在MOB 中，OM=R，MB= ，2 。22OBMR在COB 中，BOC=30 ，cosBOC=cos30= ，BO= OC。OB3C232 。 23CR又OC+EC=OM=R， 。2R+33/ 50- 19 -整理得：R 2+18R115=0 ，即（R+23 ） （R5）=0，解得：R=23（舍去）或 R=5。R=5。（3）在 EF 同一侧，COB 经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6 个，如图，每小图 2 个，顶点在圆上的三角形，如图所示：延长 EO 交圆 O 于点 D，连接 DF，如图所示，FDE 即为所求。EF=
33、5，直径 ED=10，可得出FDE=30，FD=5 。3则 CEFD =5+10+5 =15+5 ，3由（2）可得 CCOB =3+ ，C EFD ：C COB =（15+5 ）：（3+ ）=5 ：1。33【考点】切线的性质，含 30 度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，垂径定理，平移、旋转的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】 （1）由 AE 与圆 O 相切，根据切线的性质得到 AECE，又 OBAT，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出AECOBC，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与A 相等，由A 的度数即可求出所求角的度数
34、。（2）在 RtAEC 中，由 AE 及 tanA 的值，利用锐角三角函数定义求出 CE 的长，再由 OBMN ，根据垂径定理得到 B 为 MN 的中点，根据 MN 的长求出 MB 的长，在RtOBM 中，由半径 OM=R，及 MB 的长，利用勾股定理表示出 OB 的长，在 RtOBC中，由表示出 OB 及 cos30的值，利用锐角三角函数定义表示出 OC，用 OEOC=EC 列出关于 R 的方程，求出方程的解得到半径 R 的值。（3）把OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点 E，F 重合在 EF 的同一侧，这样的三角形共有 6 个。顶点在圆上的三角形，延长 EO 与圆交于
35、点 D，连接 DF，FDE 即为所求。根据 ED 为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到 FDE 为直角三角形，由FDE 为 30，利用锐角三角函数定义求出 DF 的长，表示出EFD 的周长，再由（2）求出的OBC 的三边表示出BOC 的周长，即可求出两三角形的周长之比。8. （ 2012 浙江湖州 10 分）已知，如图，在梯形 ABCD 中，ADBC ，DA=DC，以点 D为圆心，DA 长为半径的D 与 AB 相切于 A，与 BC 交于点 F，过点 D 作 DEBC，垂足为 E（1）求证：四边形 ABED 为矩形；（2）若 AB=4， ，求 CF 的长A3BC4【答案】 （1）证明：D 与
36、 AB 相切于点 A，ABAD。ADBC，DEBC，DEAD。DAB=ADE= DEB=90。四边形 ABED 为矩形。（2）解：四边形 ABED 为矩形， DE=AB=4 。DC=DA， 点 C 在D 上。D 为圆心，DEBC ，CF=2EC。 ，设 AD=3k（k0）则A3B4BC=4k。BE=3k ，EC=BC BE=4k3k=k，DC=AD=3k。由勾股定理得 DE2EC 2=DC2，即 42k 2=（3k） 2，k 2=2。k0，k= 。CF=2EC=2 。【考点】切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法，垂径定理。【分析】 （1）根据 ADBC 和 AB 切圆 D 于 A
37、，求出 DAB=ADE=DEB=90，即可推/ 50- 21 -出结论。（2）根据矩形的性质求出 AD=BE=AB=DE=4，根据垂径定理求出 CF=2CE，设AD=3k，则 BC=4k，BE=3k ， EC=k，DC=AD=3k，在DEC 中由勾股定理得出一个关于 k的方程，求出 k 的值，即可求出答案。9. （2012 江苏南京 8 分）如图，在直角三角形 ABC 中，ABC=90，点 D 在 BC 的延长线上，且 BD=AB，过 B 作 BE AC，与 BD 的垂线 DE 交于点 E，（1）求证：ABCBDE（2）三角形 BDE 可由三角形 ABC 旋转得到，利用尺规作出旋转中心 O（保
38、留作图痕迹，不写作法）【答案】 （1）证明：在 Rt ABC 中，ABC=90 ，ABE+DBE=90。BEAC，ABE+A=90。A=DBE。DE 是 BD 的垂线，D=90。在ABC 和BDE 中， A=DBE ，AB=DB ，ABC= D，ABCBDE（ASA ） 。（2）如图，点 O 就是所求的旋转中心。【考点】三角形内角和定理，全等三角形的判定，作图（旋转变换） ，线段垂直平分线的性质。【分析】 （1）利用已知得出A=DBE，从而利用 ASA 得出ABCBDE 即可。（2）利用垂直平分线的性质可以作出，或者利用正方形性质得出旋转中心也可。10. （2012 江苏扬州 10 分）如图，
39、在四边形 ABCD 中，ABBC ，ABCCDA 90，BEAD，垂足为 E求证： BEDE【答案】证明：作 CFBE，垂足为 F，BEAD，AEB90。FEDDCFE 90，CBEABE90 ，BAEABE90。BAECBF。四边形 EFCD 为矩形。DECF。在BAE 和CBF 中， CBEBAE，BFCBEA90，ABBC，BAECBF（AAS） 。BECF 。又CF DE ，BE DE 。【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】作 CFBE，垂足为 F，得出矩形 CFED，求出CBFA ，根据 AAS 证BAECBF，推出 BECF 即可。11. （2012 广东河
40、源 7 分）如图，AC 是O 的直径，弦 BD 交 AC 于点 E(1)求证：ADEBCE；(2)若 AD2ACAE，求证：BC CD【答案】证明：（1）A 与B 都是弧 所对的圆周角， A=B ，ACD又AED =BEC，ADE BCE 。（2）AD 2=AEAC， 。E=又A= A， ADEACD。AED=ADC。/ 50- 23 -又AC 是O 的直径，ADC=90 。AED=90。直径 ACBD，CD=CB。【考点】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质。【分析】 （1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得A=B，又由对顶角相等，可证
41、得：ADEBCE。（2）由 AD2=AEAC，可得 ，又由A 是公共角，可证得 ADEED=CACD，又由 AC 是O 的直径，可求得 ACBD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得 CD=CB。12. （2012 湖北随州 10 分）如图，已知直角梯形 ABCD ,B=90 0。,AD BC,并且AD+BC=CD,O 为 AB 的中点.(1)求证：以 AB 为直径的 O 与斜腰 CD 相切；(2)若 OC=8 cm，OD=6 cm,求 CD 的长.【答案】解：（1）在 CD 上取中点 F，连接 OF，O 为 AB 的中点，由梯形中位线可知 OF= (AD+BC)，12OF A
42、DBC。又AD+BC=CD，OF= CD=CF。FOC=FCO。12又由 OFBC 得FOC=OCB，OCF=OCB。在 CD 上取点 E，使 DE=DA，则 CE=CB。在OBC 和OEC 中，CE=CB，OCB=OCE，OC=OC ，OBCOEC（SAS） 。 B=OEC，OE=OD。B=90 0, OEC=90 。 OECD。又O 为 AB 的中点，OE=OD=OA 为O 的半径。以 AB 为直径的O 与 CD 相切于 E。（2）由（1）知，OF=CF=DF，O 点在以 CD 为直径的F 上。COD=90。在 Rt COD 中，OD=6cm，OC=8cm，根据勾股定理得： 。22CDO6
43、810cm【考点】直角梯形的性质，梯形中位线定理，平行的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理。【分析】 （1）在 CD 上取中点 F，连接 OF，由已知，根据梯形中位线定理和平行的性质，可由 SAS 得出OBC OEC ，从而由B=90 0，证得 OECD。由 OE=OD=OA 为O 的半径得出以 AB 为直径的O 与 CD 相切于 E。（2）由（1）可知 O 点在以 CD 为直径的F 上，根据直径所对的圆周角为直角得到DOC 为直角，在直角三角形 COD 中，由 OD 与 OC 的长，利用勾股定理即可求出CD 的长。 13. （2012 湖北武汉 8 分）在锐
44、角ABC 中，BC5，sinA 45(1)如图 1，求ABC 外接圆的直径；(2)如图 2，点 I 为ABC 的内心，BAB C ，求 AI 的长。【答案】解：（1）作ABC 的外接圆的直径 CD，连接 BD。则CBD=90 0，D=A 。 。BC4sinDi=5BC5， 。2ABC 外接圆的直径为 。54（2）连接 BI 并延长交 AC 于点 H，作 IE AB 于点 E。BA=BC，BHAC。IH=IE 。在 RtABH 中，BH=ABsin BDH=4，。2AHB3 ， ABIHIAB SSIEAHIB22/ 50- 25 -，即 。5IE3H2 4IH=IE ， 。3IH=2在 RtAIH 中， 。223AI+I5【考点】三角形外心和内心的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理。 【分析】 （1）作ABC 的外接圆的直径 CD，连接 BD，由直径所对圆周角是直角的性质得CBD=90 0，由同圆中同弧所对圆周角相等得D=A，从而由已知 ，根据锐4sinA=5角三角函数定义即可求得ABC 外接圆的直径。（2）连接 BI 并延长交 AC 于点 H，作 IEAB 于点 E，由三角形内心的性
