1、学优中考网 第二十一章 二次根式 21.2 二次根式乘除本章内容“二次根式”是课程标准 “数与代数”的重要内容。二次根式的乘除是本章的一个重点内容。主要解决下列问题：一二次根式的乘法此内容为本节的重点，为此设置了【知识点击】中的例 1、例 2， 【当堂检测】中的第 1、3题， 【课时作业】中的第 2，5，9 题。二二次根式的除法此内容为本节的难点，也是易混淆点。为此设置了【知识点击】中的例 3， 【典例引路】中的第 3，5 题， 【课时作业】中的第 1，5，6，8，15，17，18，题及【选做题】 。三最简二次根式此内容为本节的难点，也是易重点。为此设置了【知识点击】中的例 4， 【典例引路】
2、中的第 34 题， 【课时作业】中的第 4，7，22 题及【选做题】 。四数学思想方法主要体现建模思想，如【典例引路】中的例 6 以及转化思想如【拓展应用】中的例 7， 【课时作业】中的第 1，2，3，5 题等。点击一：正确理解二次根式乘法的意义一般地， (a0， b0).观察这一式子的左边和右边，得出等号ab的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积仍是二次根式.由此二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数。利用二次根式乘法的这个法则应注意：（1）要注意a0、 b0 的条件，因为只有 a、 b 都是非负数公式才能成立.（2）从运算顺序看，等号左边是先分别求 a、 b 的两因数的算术
3、平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数 a、 b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根.（3）公式 (a0， b0)可以推广到三个二次根式、四个二次根式等相乘的情况.（4）根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内.针 对 练 习 1: 计算：（1） ；（2） ；163x6y（3） ；（4） .2xyxyy18答 案 ： 解： （1） 6 ；2（2） 3 ；632x（3） ( x+2y) ；xy24xy（4） 6 x2y2.33183318y24点击二：熟练掌握二次根式除法的意义一般地， (a0， b0).
4、观察这一式子的左边和右边，从运ab算顺序看，等号左边是先分别求被除数、除数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的商，等号右边是将非负数 a 除以正数 b 求商，再开方求商的算术平方根.利用二次根式这一除法法则可以进行简单的二次根式的化简与运算.值得注意的是二次根式除法的法则中学优中考网 a0， b0，这是因为当 b0 时，分母为 0，没有意义.和二次根式乘法的法则一样，二次根式除法的法则也可以反过来运用，即 (a0， b0)，同样可以利用这一公b式化简二次根式.针 对 练 习 2: 计算：（1） ；（2） .7616答案：解 （1） 2 ；3（2） 3.161236点击三：二次根式乘除运算二次
5、根式乘除运算是本节课的一个重点内容，在计算过程中，一定要根据运算法则进行。针 对 练 习 3: 计算：（1） （ ）；（2） .756150答案：解 （1） （ ） 756 ；756232（2） .0150105125点击四：正确理解最简二次根式的意义有关二次根式的化简与运算的结果一般化成最简单的式子，即结果要化成最简二次根式.最简二次根式必须满足：一是被开方数不含有分母；二是被开方数不含有开得尽方的因数或因式，二者缺一不可.针 对 练 习 4: 下列二次根式属于最简二次根式是 ( )(A) ； (B) ；(C) ； (D) .18ba4答案： 是最简二次根式，故应选 A.类型之一： 二次根式
6、的乘法例 1 计算：（1） ；（2）5 .0.43.6432【解析】第（1）小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第（2）小题 的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法.【解答】解：（1） 0.431.2.0.6.049（2）5 5 .432324512235130类型之二：掌握公式 (a0， b0)的反向运用ab学优中考网 例 2 化简：（1） ；（2） ；（3） ；（4） .75168202538【解析】利用公式 ，我们可以直接化简，对于 2000 可以通过分解因数，ab对于第（4）小题可以利用平方差公式使之转化成乘积的形式，再运用公式.【解答】：解（1） 35；27525
7、（2） 4936；68181（3） 20 ；02205（4） 9545.255381225【点评】对于公式 (a0， b0)，我们可以反过来，即得到 ab ab (a0， b0).利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的.类型之三：二次根式的除法例 3 计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 186526xy561【解析】 （1） 、 （2） 、 （3）可直接按二次根式的除法法则进行计算；（4）可按“单项式”除以“单项式”进行，或将根号外的 2 移到根号内后再计算【解答】 （1） ；816（2） ；52（3） ；2263xyx（4） 516412类型之四：最简二次根式例 4. 下列二次
8、根式是最简二次根式的为（ ）A B C D23a28x3y4b【解析】二次根式的化简要求：（1）被开方数中不含可以开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含根号。只有 符合条件，故应选择 A。2a【解答】A类型之五：化去根号内的分母学优中考网 例 5. 化去根号内的分母（1） ；（2） 18x【解析】利用分数和分式的基本性质，把分母化成一个数的平方形式，再利用根式的除法法则进行【解答】解：（1） ；（2） 21512028x类型之六：综合应用例 6. 座钟的摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其中计算公式为 ，其中lTg表示周期（单位：s） ， 表示摆长（单位： m） ，
9、 为重力加速度且 m/s2假如一Tl g9.8台座钟的摆长为 0.5m，它每摆动一个来回发出一次滴答声，那么在 1min 内，该座钟发出多少次滴答声？【解答】解：依题意知， m， m/s2，0.5l9.8则该座钟的周期为 .2.T又 55522T217s107估算得 3.6故 s17T41.2又一个周期发出一次滴答声则计算 604.25T故 1min 该座钟发出约 42 次滴答声1. 下列根式中属最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.21a12827【解析】由最简二次根式的定义可知选项 B,C,D 分别含有分母以及可以开尽的因子.选项 A中的二次根式是最简二次根式.学优中考网 2. 计算
10、（1） ；（2） ;（3） ; （4） .57168162519xy【解析】分别利用 （a0，b0） 、 = （a0，b0） 、aab= （a0，b0） 、 = （a0，b0）计算b【解答】 （1） = ；573（2） = =49=36;681（3） = = =2;4164（4） = .25169xy253xy3. 先化简，再求值 （ ） ，其中 x y .1x2x32【解析】二次根式的化简求值问题，是中考的命题热点. 要注意观察已知式与所求式的结构特点，灵活变形，整体代入是常用的方法. 特别要注意的是：已知式字母的取值，否则会致错.【答案】：解：原式= = = .2xx2 y2 xyx2 y
11、2 2xx2 y2 x2 y2xy 2y当 y 时，原式 = = =2y1. 等式 = 成立的条件是（ ）ab1A a、b 同号 Ba 0,b 0 Ca、b 异号 Da0,b 0【解析】一是只考虑了等式的左边，二是要使 有意义， 应为 0,因 b0,故正确答b案应选 B2. 判断下列各式是否是最简二次根式？【解析】解：被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断（1） 不能分解因式， 显然满足最简二次根式的两个条件学优中考网 （2） 3. 化简：（1） ；（2） ；（3） .1549425xy0.9126【解析】利用公式 直接化简.（1） ；ab5494987（2） ；4259xy4253xy
12、（3） .0.160.9160.124. 把下列二次根式化为最简二次根式【解析】解：5. 阅读理解题型，2338验证： ；32122(1)133222(3)38 8学优中考网 （1）按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想 的变形结果并进行验证；415（2）针对上述各式反映的规律，写出用 n（n 为任意正整数且 ）表示的等式，2n并给出证明【解析】本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这科变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用【解答】 （1） 451验证 ；3242415（2）猜想： （ ， 为正整数） ；221nn n证明：因为 332222 2(1)11nn 所以
13、 22117. 根据爱因斯坦的相对论，当地面上经过 1 秒钟时，宇宙飞船内只经过 秒，21()rc公式内的 r 是指宇宙飞船的速度，c 是指光速（约 30 万千米秒） ，假定有一对亲兄弟，哥哥 23 岁，弟弟 20 岁，哥哥乘着以光速 0.98 倍的速度飞行的宇宙飞船作了 5 年宇宙旅行后回来了，这个 5 年是指地面上的 5 年，所以弟弟的年龄为 25 岁，可是哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁，只有 24 岁，就这样，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了 1 岁，请你用以上公式验证一下这个结论【解析】本题关键点，根据公式计算出地面上经过一秒钟时，宇宙飞船上经过多少秒.【答案】解：根据题意得，当 =1（
14、秒）时，t地 面210.9810.98t飞 船 （ ） （ -）= （秒） ，所以 ：. 363960.12.t地 面 飞 船学优中考网 =1：0.2=5：1，即地面上经过 5 年，宇宙飞船上才经过 1 年，所以结论是正确的1. 教生物的老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地观察，为了考查一下同学们的扇形能力，他把长方形的基地设计成长为 米，宽为 米，让学生算出802345这块实验基地的面积【解析】长方形的面积=长宽【答案】解：实验基地的面积为 =803452220455340=7200（米 ） 【评注】作二次根式的乘法时，被开方数一般不要直接求积，而是化为 ab2计算更简便课时作
15、业：A 等级1. 直接填写计算结果：（1） =_；（2） _；805359071（3） _；（4） _1776238xy2. 计算 _； _248203. 把根号外的因式移到根号内： _1()a4.下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） 812623a5. 计算 ；结果为（ ）34 2252626. 给出下列四道算式：学优中考网 （1） （2）2(4)ab23415（3） （4）87x2()()baba其中正确的算式是（ ） （1） （3） （2） （4） （1） （4） （2） （3）7. 化简二次根式 得（ ）(5)3 55308. 计算：（1） （2）24035210.xy（3） （4）
16、15ab9. 计算：（1） ；（2） （3） 3()1850215 810. 一个三角形一边长为 cm，这边上的高是 cm，求这个三角形的面积6B 等级11. 若 ，则 （精确 0.01）62.49512. 计算 1813. 计算： ，计算： 25(4)(169)0.46251914. 已知一个直角三角形的斜边 ，一条直角边 ，则另一条直角边 2cba15. 计算： 321学优中考网 16. 已知三角形的一边长为 ，这边上的高为 ，则这个三角形的面积是 2xy1xy17. 计算： 3129454318. 计算： 5 3516yxyxy19. 若直角三角形的面积是 ，一条直角边长 ，求另一条直角
17、边长及斜边上28cmcm的高线长20. 张老师在微机上设计了一个长方形图片，已知长方形的长是 ，宽是140cm他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助张老师求出圆的半径35cmC 等级21. 式子 成立时， 满足的条件为（ ）23xyxy， 0 0 0x 0xy22. 下列根式中最简二次根式的个数有（ ）， ， ， ， ， ， 2xyab35xy2c25()ab375x2A2 个 B3 个 C4 个 D5 个23. 下列计算正确的是（ ）A B C C5182142ab514224. 化简 的结果（ ） 2aA B C D11a1a1a25. 定义运算“”的运算法则为 : xy= ，则 4(2
18、6)8学优中考网 26. 计算： （y0）=_. （a0,b0,c0）=_.4259x24bc27. 对于题目：“化简并求值： ，其中 ”21a15甲、乙两人的解答不同，甲的解答是：；乙的答案是：221 1aa2212495a谁的解答是错误的？为什么？28. 已知 ，求 的值3xyyx29. 化简：（1） ；（2） (52)(5)3(75127)课前预习1. 下列根式中，与 是开方数相同的二次根式的是（ ）3A. B. C. D. 241232182. 计算：. . 135483 145233答案：课时作业：1.（1） ；（2） ；（3） ；（4） 41572xy2. 83；3. a4. 5.
19、 B学优中考网 6. B7. B8.（1） ；（2） ；（3） ；（4） 950x19b9. （1） （2）10 （3）010. 23cm11 12 13 ， 147.5123016551715 1632417. 18. 19. ， ，062158xy26320. 提示：设圆的半径为 ，则 ， 7r2140570r21. B22. A23. D24. B25. 626. ，253xyabc27. 解：甲的解答是错误的当 时， ， ，15a102故乙的解答是正确的28. 解：化简得 ，yxyxy因为 ，则 同号，当 时，原式 ；当 时，原30xy， 0， 230y，学优中考网 式 2329. 解：（1）原式= ；22(5)(3)504（2）原式=2 961课前预习1.B2. 31.,2.462学优中考网 学优?中考，网
