1、课时训练 1 正弦定理一、正弦定理变形的应用1.在ABC 中,若角 A,B,C 对应的三边分别是 a,b,c,则下列各式一定成立的是 ( )A. B.C.asin B=bcos A D.a=bsin A答案:B解析:在ABC 中,由正弦定理得 ,即 .2.(2015 山东威海高二期中,4)已知 ABC 的三个内角之比为 A B C=3 2 1,那么对应的三边之比a b c 等于( )A.3 2 1 B. 2 1C. 1 D.2 1答案:D解析: A B C=3 2 1, B=2C,A=3C,再由 A+B+C=,可得 C= ,故 A= ,B= ,C= . a b c=sin A sin B si
2、n C=1 =2 1.故选 D.3.在ABC 中,A=60,a=3,则 等于( )A. B.C. D.2答案:D解析:利用正弦定理及比例性质 ,得=2 .二、利用正弦定理解三角形4.(2015 山东潍坊四县联考,2)在 ABC 中,已知 a=8,B=60,C=75,则 b 等于( )A.4 B.4 C.4 D.答案:A解析: B=60,C=75, A=180-60-75=45. 由正弦定理可得 b= =4 .故选 A.5.在ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 a= ,b= ,B=60,那么 A=( )A.45 B.135C.45或 135 D.60答案:A解析:由
3、正弦定理可得 sin A= ,但 ab, A=60或 A=120.8.在ABC 中,已知 a=5,B=120,C=15,求此三角形最大的边长.解: B=120,C=15, A=180-B-C=180-120-15=45. B 最大, b 最大.由正弦定理 ,得b= .9.在ABC 中,已知 a=2,c= ,C= ,求 A,B,b.解: , sin A= . ca, CA. A= . B= ,b= +1.三、判断三角形形状10.(2015 河北邯郸三校联考,7)设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则ABC 的形状为( )A.锐
4、角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定答案:B解析: bcos C+ccos B=asin A, 由正弦定理可得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin Asin A,即 sin(B+C)=sin Asin A,可得 sin A=1,故 A= ,故三角形为直角三角形.故选 B.11.在ABC 中内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b=2ccos A,c=2bcos A,则ABC 的形状为( )A.直角三角形 B.锐角三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案:C解析:由 b=2ccos A,根据正弦定理,得 sin B=2sin Ccos A, 在三角形
5、中,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,代入上式,可得 sin Acos C+cos Asin C=2sin Ccos A,即 sin Acos C-cos Asin C=sin(A-C)=0,又-b 可知 B=150不合题意, B=30. C=180-60-30=90.7.在锐角ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 3b=2 asin B,且 cos B=cos C,则ABC 的形状是 .答案:等边三角形解析:由正弦定理可将 3b=2 asin B 化为 3sin B=2 sin Asin B. sin A= . ABC 为锐角三角形
6、, A= .又 cos B=cos C,0b,则 B= . 答案:解析:由正弦定理 =2R,得 2Rsin Asin Bcos C+2Rsin Csin Bcos A= 2Rsin B.由 0b,所以在ABC 中,B 为锐角 ,则 B= .9.在ABC 中,已知 a2tan B=b2tan A,试判断 ABC 的形状.解:由已知得 ,由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B(R 为ABC 的外接圆半径), . sin Acos A=sin Bcos B. sin 2A=sin 2B.又 A,B 为三角形的内角, 2A=2B 或 2A=-2B,即 A=B 或 A+B= . ABC 为等腰或直角三角形.10.在ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对应的边,且 b=6,a=2 ,A=30,求 ac 的值.解:由正弦定理 得sin B= .由条件 b=6,a=2 ,知 ba,所以 BA. B=60或 120.(1)当 B=60时 ,C=180-A-B=180-30-60=90.在 RtABC 中,C= 90,a=2 ,b=6,则 c=4 , ac=2 4 =24.(2)当 B=120时,C= 180-A-B=180-30-120=30, A=C,则有 a=c=2 . ac=2 2 =12.
