1、专题 23：二次函数的应用（实际问题）一、选择题1. （2012 四川资阳 3 分）如图是二次函数 的部分图象，由图象可知不等式2y=ax+bc的解集是【 】2ax+bc5x515【答案】D。【考点】二次函数与不等式（组），二次函数的性质。【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与 x 轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：2ax+bc12st其实际意义是刹车后到 t2 时间内的平均速到 t1 时间内的度小于刹车后平均速度。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析】 （1）描点作图即可。（2）首先判断函数为二次函数。用待定系
2、数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求） ，即可求得答案。（4）求出 与 ，用差值法比较大小。1st25. （2012 江苏常州 7 分）某商场购进一批 L 型服装（数量足够多） ，进价为 40 元/件，以60 元/件销售，每天销售 20 件。根据市场调研，若每件每降 1 元，则每天销售数量比原来多 3 件。现商场决定对 L 型服装开展降价促销活动，每件降价 x 元（x 为正整数） 。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）【答案】解：根据题意，商场
3、每天的销售毛利润 Z=（60 40x） （203x）=3x 240x+400当 时，函数 Z 取得最大值。b402x=6a3x 为正整数，且 ， 7且且且为 数 为 数为 数（3）由y=10x 2+700x可知抛物线开口向下，当 时，利703521润y有最大值，此时，销售单价为300010（x10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为 2750 元。【考点】二次函数的应用。【分析】 （1）设件数为 x，则销售单价为 3000-10（x-10 ）元，根据销售单价恰好为 2600元，列方程求解。（2）由利润y=销售单价 件数，及销售单价均不低于2600元，按0x10，10x50，x50三种
4、情况列出函数关系式。（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。12. （2012 湖南岳阳 10 分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为 6dm，锅深3dm，锅盖高 1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同） ，建立直接坐标系如图 所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为 C1，把锅盖纵断面的抛物线记为 C2（1）求 C1 和 C2 的解析式；（2）如图，过点 B 作直线 BE：y= x1 交 C1 于点 E（2， ） ，连接 OE、BC，353在 x 轴上求一点
5、P，使以点 P、B、C 为顶点的PBC 与 BOE 相似，求出 P 点的坐标；（3）如果（2）中的直线 BE 保持不变，抛物线 C1 或 C2 上是否存在一点 Q，使得EBQ的面积最大？若存在，求出 Q 的坐标和EBQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由/ 25- 18 -【答案】解：（1）抛物线 C1、C 2 都过点 A（3，0） 、B （3，0） ，设它们的解析式为：y=a（x3） （x+3） 。抛物线 C1 还经过 D（0，3） ，3=a（03） （0+3） ，解得a= 。13抛物线 C1：y= （x3） （x+3） ，即 y= x23（3x3） 。1抛物线 C2 还经过 A（0，1）
6、，1=a（03） （0+3） ，a= 19抛物线 C2：y= （x3 ） （x+3 ） ，即 y= x2+1（ 3x3） 。919（2）直线 BE：y= x1 必过（0，1） ，CBO= EBO（tan CBO=tanEBO= ） 。3由 E 点坐标可知：tan AOE ，即AOECBO ，它们的补角EOBCBx。若以点 P、B、C 为顶点的 PBC 与BOE 相似，只需考虑两种情况：CBP 1=EBO ，且 OB：BE=BP 1：BC，由已知和勾股定理，得 OB=3，BE= ，BC= 。50313： =BP1： ，50得：BP 1= ， OP1=OBBP 1= 。P 1（ ，0）965P 2
7、BC=EBO ，且 BC：BP 2=OB：BE，即：BP 2=3： ，得：BP 2= ，OP 2=BP2OB= 。P 2（0503939， 0） 239综上所述，符合条件的 P 点有：P 1（ ，0） 、P 2（ ，0） 。6539（3）如图，作直线 l直线 BE，设直线 l：y= x+b。3当直线 l 与抛物线 C1 只有一个交点时：x+b= x23，即：x 2x（3b+9）=0。1由=（1） 24（3b+9 ）=0。得 。37b=12此时， 。135x=y2且该交点 Q2（ ） 。 过点 Q2 作 Q2FBE 于点 F，则由 BE：y= x1 可用相似得 Q2F 的斜3率为3，设 Q2F：
8、y=3xm。将 Q2（ ）代入，可得 。15 且 17m=2Q 2F：y=3x 。17联立 BE 和 Q2F，解得 。F（ ） 。15x=y824且15824 且Q 2 到直线 BE：y= x1 的距离 Q2F：3。213510+848当直线 l 与抛物线 C2 只有一个交点时： x+b= x2+1，即：139x2+3x+9b9=0。由=3 24（9b9）=0 。得 。b=4此时， 。该交点 Q1（ ） 。3x=y且 32 且同上方法可得 Q1 到直线 BE：y= x1 的距离： 。7104 ，50275070=8442可求得该函数的最大值. 提出新问题若矩形的面积为 1，则该矩形的周长有无最
9、大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析问题若设该矩形的一边长为 x，周长为 y，则 y 与 x 的函数关系式为：，问题就转化为研究该函数的最大（小）值了.1y2(x)0解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数 的最大（小）值.1y2(x)0（1）实践操作：填写下表，并用描点法 画出函数 的图象：xx 143121 2 3 4 y（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当 x= 时，函数有最 值（填1y(x)0“大”或“小”） ，是 .（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数 的最大21sx0值，请你尝试通过配方求函数 的最大（小）值，以证明你的猜想. 提1y2(x)0示
10、：当 时， x0()【答案】解：（1）填表如下：x 143121 2 3 4 y 8265 4 5 6182（2）1，小，4。 （3）证明：，22 2211y(x)(x)(x)4() 当 时，y 的最小值是 4，即 x =1 时，y 的最小值0是 4。【考点】二次函数的最值，配方法的应用。【分析】 （1）分别把表中 x 的值代入所得函数关系式求出 y 的对应值填入表中，并画出函数图象即可。（2）根据（1）中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可。（3）利用配方法把原式化为平方的形式，再求出其最值即可。14. （2012 四川巴中 9 分）某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可
11、卖出200 件。如果每件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72 元） 。设每件商品的售价上涨 x 元（x/ 25- 22 -为整数） ，每个月的销售利润为 y 元，（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨 x 元（x 为正整数） ，则每件商品的利润为：（6050x）元，总销量为：（200-10x）件，商品利润为：y=（6050x） （20010x）=10x 2100x2000。原售价为每件 60 元，每件售价不能高于 72 元
12、，0x12。（2）y=10x 2100x2000=10（x5） 2+2250，当 x=5 时，最大月利润 y=2250。答：每件商品的售价定为 5 元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是 2250 元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】 （1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出 y 与 x 的函数关系式。（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法） ，从而得出当x=5 时得出 y 的最大值。15. （2012 辽宁锦州 10 分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元.调查发现：销售单价是 30 元时，月销售量是 230 件
13、，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能高于 40 元. 设每件玩具的销售单价上涨了 x 元时（x 为正整数） ，月销售利润为 y 元.（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围.（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】解：（1）依题意得 2y(30x2)(301x)130x自变量 x 的取值范围是：0x10 且 x 为正整数。（2）当 y=2520 时，得 ，2125解得 x1=2,x2=11（不合题意，舍去） 。当 x=2 时，30
14、+x=32。每件玩具的售价定为 32 元时，月销售利润恰为 2520 元。（3） 2 2y10x301(x6.5)7.a=-100 当 x=6.5 时，y 有最大值为 2722.5 。 0x10 且 x 为正整数，当 x=6 时，30+x=36,y=2720， 当 x=7 时，30+x=37,y=2720。每件玩具的售价定为 36 元或 37 元时，每个月可获得最大利润。最大的月利润是 2720 元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。【分析】 （1）根据销售利润=销售量销售单价即可得 y 与 x 的函数关系式。因为 x 为正整数，所以 x0；因为每件玩具售价不能高于 40
15、 元，所以 x4030=10。故自变量 x 的取值范围是：0x10 且 x 为正整数。（2）求出函数值等于 2520 时自变量 x 的值即可。（3）将函数式化为顶点式即可求。16. （2012 河北省 9 分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计） ，这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在 550 之间每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm 2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的浮动价与薄板的边长成正比例在营销过程中得到了表格中的数据薄板的边长（cm） 20 30出厂价（元/张） 50 70（1）求一
16、张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为 40cm 的薄板，获得的利润为 26 元（利润=出厂价-成本价） ，求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax 2bxc（a0 ）的顶点坐标为 - 2b4ac且/ 25- 24 -【答案】解：（1）设一张薄板的边长为 xcm，它的出厂价为 y 元，基础价为 n 元，浮动价为 kx 元，则 y=kx+n。由表格中的数据，得 ，解得 。502kn73k=210一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式为 y=2x+10。 。（2）设一张薄板的利
17、润为 p 元，它的成本价为 mx2 元，由题意，得：p=ymx 2=2x10mx 2，将 x=40，p=26 代入 p=2x10 mx 2 中，得 26=240+10m40 2，解得m= 。125一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式为 。21px05a= 0， 当 x= （在 550 之间）时，125b2=1ap 最大值= 。2240acb5351出厂一张边长为 25cm 的薄板，获得的利润最大，最大利润是 35 元。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】 （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案。（2）首先假设一张薄板的利润为 p
18、 元，它的成本价为 mx2 元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出 m 的值，求出函数解析式即可。利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可。17. （2012 黑龙江大庆 6 分）将一根长为 16 厘米的细铁丝剪成两段并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为 和 . 1r2（1）求 与 的关系式，并写出 的取值范围；r21r（2）将两圆的面积和 S 表示成 的函数关系式，求 S 的最小值【答案】解：（1）由题意，有 2r1+2r2=16，则 r1+r2=8。r 10，r 20，0r 18。r 1 与 r2 的关系式为 r1+r2=8，r 1 的取值范围是 0r 18 厘米。（2）r 1+
19、r2=8，r 2=8r 1。又，2 22211111Sr+=r8r=6r+4=r+3当 r1=4 厘米时，S 有最小值 32 平方厘米。【考点】二次函数的应用。119281【分析】 （1）由圆的周长公式表示出半径分别为 r1 和 r2 的圆的周长，再根据这两个圆的周长之和等于 16 厘米列出关系式即可。（2）先由（1）可得 r2=8r 1，再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和 S 表示成 r1 的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出 S 的最小值。18. （2012 黑龙江哈尔滨 6 分）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为 x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为 40 cm，这个三角形的面积 S(单位：cm 2)随x(单位：cm)的变化而变化（1）请直接写出 S 与 x 之间的函数关系式( 不要求写出自变量 x 的取值范围)；（2）当 x 是多少时，这个三角形面积 S 最大?最大面积是多少?/ 25- 26 -
