1、第五章 四边形第二节 矩形、菱形和正方形玩转重庆 8 年中考真题(20082015 年)命题点 1 矩形的性质及相关计算(高频)1. （2014 重庆 B 卷 8 题 4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O，ACB 30，则AOB 的大小为( )A. 30 B. 60 C. 90 D. 120第 1 题图 第 2 题图2. （2013 重庆 B 卷 7 题 4 分）如图，矩形纸片 ABCD 中， AB=6 cm，BC=8 cm，现将其沿 AE 对折，使得点 B 落在边 AD 上的点 B1 处，折痕与边 BC 交于点 E，则 CE 的长为( )A. 6 cm B. 4
2、 cm C. 2 cm D. 1 cm3. （2015 重庆 B 卷 18 题 4 分）如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，AB=2,BC=2 ，3点 E， F 分别是线段 AB,AD 上的点，连接 CE,CF，当BCE=ACF，且 CE=CF 时，AE+AF= . 第 3 题图4. （2013 重庆 A 卷 24 题 10 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AB、CD上的点，AE=CF,连接 EF、BF ，EF 与对角线 AC 交于点 O，且 BE=BF,BEF=2BAC.(1)求证：OE =OF; (2)若 BC=2 ，求 AB 的长.3第 4 题图【变式改编】 （
3、2014 重庆 B 卷 8 题）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 60，AB=4，则 AC 为( )A. 6 B. 8 C. 10 D. 12变式改编题图命题点 2 菱形的性质及相关计算(高频)1. (2014 重庆 A 卷 15 题 4 分 )如图，菱形 ABCD 中，A=60，BD7，则菱形 ABCD的周长为 . 第 1 题图2. （2012 重庆 24 题 10 分）已知：如图，在菱形 ABCD 中，F 为边 BC 的中点，DF 与对角线 AC 交于点 M,过 M 作 MECD 于点 E,12. (1)若 CE=1,求 BC 的长；（2）求证：AM=D
4、F+ME .第 2 题图【拓展猜押 1】如图，在菱形 ABCD 中，AB=BD.点 E,F 分别在 BC，CD 边上，且CE=DF，BF 与 DE 交于点 G.若 BG2，DG=3,则四边形 ABGD 的面积为 .拓展猜押 1 题图命题点 3 正方形的性质及相关计算(高频)1. （2011 重庆 10 题 4 分）如图，正方形 ABCD 中，AB=6，点E 在边 CD 上，且 CD=3DE. 将ADE 沿 AE 对折至AFE ，延长 EF交边 BC 于点 G，连接 AG、 CF.下列结论：ABGAFG;BG =GC;AGCF;S FGC =3.其中正确结论的个数是( ) 第 1 题图A. 1
5、B. 2 C. 3 D. 4 2. (2014 重庆 B 卷 18 题 4 分 )如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 O 是对角线 AC、BD的交点，点 E 在 CD 上，且 DE2CE，连接 BE.过点 C 作 CFBE,垂足是 F，连接 OF，则OF 的长为 .第 2 题图 第 3 题图3. （2014 重庆 B 卷 18 题 4 分）如图，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是 AB 边2上一点，G 是 AD 延长线上一点，BE=DG，连接 EG，CFEG 交 EG 于点 H，交 AD 于点F，连接 CE，BH.若 BH=8，则 FG= .【拓展猜押 2】如图，将边长为 6
6、的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边的中点 E 处，折痕为 FH,点 C 落在点 Q 处， EQ 与 BC 交于点 G,则EBG 的周长是 cm.拓展猜押 2 题图【答案】命题点 1 矩形的性质及相关计算1. B【解析】四边形 ABCD 是矩形，AC 与 BD 相交于点 O，OB=OC，ACB=30，DBC=30，AOBACB+ DBC=60 .2. C【解析】AB 1E 是ABE 折叠得到的，AB 1EABE，AB=AB 1=6 cm，B= AB 1E=BAD=90，四边形 ABEB1 是正方形，BE=6 cm.BC=8 cm，EC=BC-BE=8-6=2 cm.3. 【解析】
7、如解图，作 FGAC 于 G 点，34FGC=B .EC= FC， BCE=ACF，BCE GCF（AAS） ，BC= CG=2 .在3RtABC 中，AB =2，tanBAC= ，3BAC=60 ，GAF =30，AC =2AB=4.AG =4-2 .在 RtAFG 中， tan303= ，AGFGF= =BE，AF=2GF= ，AE=2- ,AF AE= 2-32-432-4）（ 32-432-4）（=2 = = .第 3 题解图4. (1)证明：四边形 ABCD 是矩形，ABCD.（1 分）OAE=OCF,OEA =OFC.（2 分） AE=CF,AEOCFO(ASA). （3 分）OE
8、= OF.（4 分）(2)解：如解图，连接 BO.OE= OF,BE=BF, 第 4 题解图BOEF,且EBO=FBO. BOF=90.四边形 ABCD 是矩形， BCF=90 .又BEF =2 BAC,BEFBAC+ EOA ，BAC= EOA,AE=OE.AE=CF,OE=OF,OF= CF.又BF=BF,BOFBCF(HL), （6 分）OBF=CBF,（7 分）CBF= FBO =OBE .ABC=90 ，OBE= ABC=30 ,（8 分）31BEO=60,BAC=30 .（9 分）tanBAC = ，ABCtan30= ,即 = ,3232AB=6. （10 分）【变式改编】B【解
9、析】四边形 ABCD 是矩形，AC 与 BD 相交于点O，OB =OA，OABOBA,又AOB=60，OAB=OBA60，ABO为等边三角形，OA=AB4 ，AC2OA=8.命题点 2 菱形的性质及相关计算1. 28【解析】菱形的四条边都相等，AB=AD，又A=60，则ABD 是等边三角形，AB=BD=7，则菱形 ABCD 的周长为 47=28.2. （1）解：四边形 ABCD 是菱形， AB CD， 1=ACD， （1 分）1=2，ACD=2，MC=MD， （2 分）MECD ，CD=2CE， （3 分）CE=1，CD=2， （4 分）BC=CD =2.（5 分）（2）证明：F 为边 BC
10、的中点，BF=CF= BC，1CF=CE，在菱形 ABCD 中，AC 平分BCD，ACB=ACD， （6 分）在CEM 和CFM 中， ，CEMCFM（SAS） ，CMADBFEME=MF， （7 分）如解图，延长 AB 交 DF 的延长线于点 G，ABCD，G=2，1=2， 1=G， 第 2 题解图AM=MG ， （8 分）在CDF 和BGF 中， ，CFBDG对 顶 角 相 等 ）(2CDFBGF（AAS） ，GF= DF， （9 分）GM=GF+ MF，AM=DF +ME.（10 分）【拓展猜押 1】 【解析】 四边形 ABCD 是菱形，3425AB=AD,AB= BD，AB=AD =B
11、D，ABD 是等边三角形,DBC 是等边三角形.CE= DF,C =BDF ,DC=BD,DECBFD(SAS),EDC=DBF,BGE=BDG+DBG =BDG+ GDF=60 .如解图，过点 D 作 DMBF 于 M， BGE=60,DGM =60,DG=3,DM =DGsin60= ,GM=DGcos60= .S BGD = BG23231DM= 2 = .BD= = ,S ABD = ,四边形13B1949ABGD 的面积为SABD + SBGD = + = . 49235拓展猜押 1 题解图命题点 3 正方形的性质及相关计算1. C【解析】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、勾
12、股定理、全等三角形的判定、三角形面积的计算等.序号 逐项分析 结论由折叠的性质知 DE=EF=2，AD=AF，AFE=D =90.又因为AB=AF，由 HL 可证ABGAFG由 AB=6，CD3DE 可得 DE=2，CE=4.设 BG=x,则FG=BG=x，GC=6-x.在 RtCEG 中，由勾股定理可得：GE2=GC2+CE2，所以(x +2)2=(6-x)2+42，解得 x=3,所以BG=GF=3，GC=BC-BG=3，所以 BG=GC由 BG=GC 可得GCF= ，又AGB=AGF =-180FGC，所以GCF=AGB ，所以 AGCF2-180FGC 在 Rt GCE 中， SGCE
13、= GCCE=6，又因为 GF=3，EF =2，所2以 SFGC = S GCE=53182. 【解析】如解图，过点 O 作 OGOF ，交 BF 于点 G，AC 与 BD 是正方形6ABCD 的对角线，BOC=90，则BOG= FOC，又OB=OC，BGO =90OFG ，OFC=90OFG，BGO =OFC，则 OBGOCF，OG=OF，BG=CF， CD=6 ，DE=2CE，解得 CE=2，在 RtBEC 中，由勾股定理得，BE = =2 ，ECB =CFE =90,2CEB2610OBG =FCO,OBC=DCO=45 ，EBC=FCE,CEFBEC ，则CE2=EFBE，则 EF=
14、= = ，BF=BE- EF= ，在 RtFEC 中，利用210455109勾股定理可得，CF = = ，故 GF=BFBG= 2-EFC2-35109= ，在等腰 RtOGF 中，OF=GF sin45= = .51036 510626第 2 题解图3. 5 【解析】如解图所示，连接 CG，在CGD 与CEB 中，2,90DCBGECGDCEB(SAS),CG=CE,GCD=ECB ,GCE=90,即GCE 是等腰直角三角形.又CHGE,CH= EH=GH.过点 H 作 AB、BC 的垂线，垂足分别为点 M、N,如解图，则MHN=90 ,又EHC=90,1=2,HEM=HCN.在HEM 与H
15、CN 中，,HEMHCN(ASA),HM =HN,四边形 MBNH 为正方形.HCNEM21BH=8,BN= HN=4 ,CN= BC-BN=6 -4 =2 .在 RtHCN 中，由勾股定理得：22CH= 2= 2 ，GH=CH=2 .HM AG,1=3,2=3.又41010HNC=GHF=90,RtHCNRtGFH. = ,即 = ,FG=5FGCHN1024.2第 3 题解图【拓展猜押 2】12【解析】由翻折的性质得，DF= EF，设 EF=x，则 AF=6-x，点 E是 AB 的中点， AE =BE= 6=3，在 RtAE F 中，AE 2+AF2=EF2，即 32+（6-x） 2=x2，解1得 x= ,AF =6- = ,FEG=D=90，AEF+BEG=90，41549AEF +AFE=90 ， AFE=BEG，又A=B =90，AEFBGE ，= = ,即 = = ,解得 BG=4，EG=5 ，EBG 的周长为 3+4+5=12.AFBEG49315EG
