1、学优中考网 2011-2012 学年八年级数学（人教版上）同步练习第十三章第三节 实数一. 教学内容：1. 无理数和实数的概念以及有理数和无理数的区别；2. 数的范围扩大后，实数的运算有什么发展；3. 实数和数轴上的点的关系，平面直角坐标系中的点和有序实数对之间的关系。二. 知识要点：1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。常见的无理数有以下几种形式：字母型：指含有某种特定意义的字母，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如8 等；构造型：如 2.10100100010000（每两个 1 之间多一个 0）就是一个无限不循环的小数；根号型：如、都是一些开方开不尽的数。2. 实数的定义：有理数和无
2、理数统称为实数。 判断一个实数的属性（如有理数、无理数），应遵循：一化简，二辨析，三判断。要注意：“神似”而不是“形似”：所有的有理数都可以写成分数，无理数不可化成分数。像虽看似分数形式，但分子中的 不是整数，因此它实际上并不是分数，而是一个无理数；要注意将“3.525225222522225”与“3.525225222522225”区别开来，前者是一个有限小数，因此是有理数；判断时要看结果，不要看表面形式，如是一个有理数。3. 实数的分类：实数实数4. 当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数
3、。平面直角坐标系中的点和有序实数对也是一一对应的关系。5. 实数的相反数、绝对值的概念及实数的运算实数 a 的相反数是a ，一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。当数从有理数扩展到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为 0），乘方运算，而且正数及 0 可以进行开平方运算，任何一个实数可以进行开立方运算。6. 实数的运算实数的运算法则：加：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加，仍得这个数。减：减去一个数等于加上这个数的相反数。乘（除）：同号的两
4、数相乘（或除），取正号；异号两数相乘（或除），取负号，并把绝对值相乘（或除）。任何数与零相乘都得零，零除以任何一个非零数都得零. 除以一个数（除数不为零），等于乘以这个数的倒数。几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。 运算律：abba ；（ab）ca（bc）；abba；（ab）ca（bc）；（a b）cac bc。混合运算的顺序：有括号时先算括号里的，没括号时，先算乘方、开方、再算乘除，最后加减. 同级运算可以按照从左到右的顺序进行。实数的混合运算应注意以下几点：一是先确定运算符号及顺序，再进行运算；二是运算过程中熟练运用
5、运算律（正向或逆向）及各种运算法则，掌握一定的运算技巧.7. 估算实数的大小对形如（a0）的无理数能估计它介于哪两个整数之间，用来比较实数的大小，也能表示这个数的整数部分和小数部分。例如：，252836，56，即是在 5 和 6 之间的一个无理数，那么它的整数部分和小数部分分别为 5 和5。三. 重点难点：1. 重点：无理数的概念及判别；实数及其分类。2. 难点：实数与数轴上的点的关系；实数的相反数、绝对值的概念及实数的运算。【考点分析】实数是数学知识的基础，在近年来全国各地的中考试题中经常出现，试题对实数的概念、性质和运算单独命题，试题难度低，中档次，题量约占总题量的 2%4%，题型有填空题
6、、选择题和计算题，有的还设计了开放性、探索性的试题. 试题的特点是既考查双基又考查数学思想方法以及灵活运用知识的能力。【典型例题】例 1 （1）（2007 年四川宜宾）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式 aba 的结果是（ ）A. 2ab B. 2a C. a D. b（2）实数 a 在数轴上的位置如图所示. 化简：aa。分析：本题主要考查实数绝对值的运算，并巧妙地涉及了数形结合的思想方法。（1）从图中获知 a表示的数为负数，b 表示的数为正数；由这两点距离原点的位置，知ba， a b ab，abaa bab，故应选 D。（2）在利用绝对值的概念进行实数的化简时，首先要判断绝对
7、值内实数的正负，再根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数“进行”化简。解：（1）D学优中考网 评析：“形能启迪数的计算，数能澄清形的模糊”正是源于此，本题形式独特，思路清晰，解决此类问题时，要注意运用数形结合的数学方法，从数轴上挖掘题中的隐含条件，正确解答，切忌粗心导致判断上的失误。解：（1）3（2）C（3）B（4）B（5）评析：（1）根据有理数和无理数的概念和常见无理数的三种形式来进行判断，注意不要被表面形式所迷惑，如：，是有理数而不是无理数。（2）本题的思维障碍是对有理数、无理数、实数的概念理解不清，分类标准不明，尽管实数的分类方法很多，但要注意分类的标准要一致，既不能重复，也
8、不能遗漏。（3）（4）对无理数作近似估算是新课标要求的，它考查学生对数的观察和分析能力。像这样的新题型在新课标下已越来越显现出生命力，同学们必须掌握“估算法”这种解题方法，以便于在具体的实际问题中能及时作出快速处理。（5）比较两个正无理数的大小，可用平方法，即比较这两个数的平方的大小。 本题也可以用计算器求出两数的近似值，再进行比较。例 3 写出所有适合下列条件的数。评析：解此类题的关键是找到满足条件的最大数和最小数，然后再将它们之间所有满足条件的数都写出来。评析：平方根和立方根的知识在实际生活中应用非常广泛，因此数的发展与现实需要密不可分。例 5 如果要把两个棱长分别是 2.15cm，3.2
9、4cm 的正方体铁块熔化，制成一个大的正方体铁块，那么这个大的正方体的棱长有多长？（结果保留 3 个有效数字）分析：加工前两个正方体铁块的体积等于加工后一个正方体铁块的体积. 再根据正方体的体积与其棱长的关系便可求得。解：设这个大正方体的棱长是 xcm。根据题意得 x32.15 33.24 3，x 39.93834.01，x343.948，x3.53。 答：这个大的正方体的棱长是 3.53cm。评析：加工前后铁块的总体积不变是列方程解应用题中常见的一个等量关系。【方法总结】学习本节应注重对基本概念的理解，抓住概念的实质以及概念之间的联系，并能够在应用中加深对概念的理解，注意数形结合思想的使用，
10、主要是用数轴比较实数的大小和绝对值的化简。【模拟试题】（答题时间：40 分钟）学优中考网 一. 选择题1. （2007 年佛山）下列说法正确的是 （ ）A. 无限小数是无理数 B. 不循环小数是无理数C. 无理数的相反数还是无理数 D. 两个无理数的和还是无理数2. 与数轴上的点具有一一对应关系的数是 （ ）A. 实数 B. 有理数 C. 无理数 D. 整数3. （2008 年广西桂林）在下列实数中，无理数是 （ ）二. 填空题三. 解答题学优中考网 【试题答案】一. 选择题1.C 2. A 3. B 4. A 5. D 6. D 7. B 8. C 9.C 10.D 11.B 12.B二. 填空题三. 解答题学?优中考，网
