1、综合型问题一、选择题1. （2011 年北京四中中考全真模拟 15）2001 年 7 月 13 日，北京市获得了第 29 届运动会的主办权，这一天是星期五，那么第 29 届奥运会在北京市举办的那一年的 7 月 13 日是星期( )A.1 B. 3 C. 5 D. 日答案：D1、（2011 年浙江杭州二模）如图，在矩形 ABCD 中，BC=8，AB=6，经过点 B 和点 D 的两个动圆均与 AC 相切，且与 AB、BC、AD、DC 分别交于点 G、H、E、F，则 EF+GH 的最小值是（ ）A6 B8 C9.6 D10答案：C2、（2011 年浙江杭州七模）下列命题：同位角相等；如果 ，那么00
2、945；若关于 x的方程 的解是负数，则 m 的取值范围为 m”、“=”、“”、“=”、“0 y0， 所 以 点 A 的 坐 标 为 （ ，2）7. （2011 年北京四中中考全真模拟 17）如图，以 RtABC 的直角边 AB 为直径的半圆 O，与斜边 AC 交于 D，E 是 BC 边上的中点，连结 DE. (1)DE 与半圆 O 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；(2)若 AD、AB 的长是方程 x210x+24=0 的两个根，求直角边 BC 的长。答案：解：（1）DE 与半圆 O 相切. 证明： 连结 OD、BD AB 是半圆 O 的直径BDA=BDC=90 在 RtBD
3、C 中,E 是 BC 边上的中点DE=BEEBDBDE OB=ODOBD=ODB 又ABCOBD+EBD90ODB+EBD=90DE 与半圆 O 相切. （2）解：在 RtABC 中，BDAC RtABDRtABC = 即 AB2=ADAC AC= ABACADAB AB2AD AD、AB 的长是方程 x210x+24=0 的两个根 解方程 x210x+24=0 得： x 1=4 x2=6 ADAB AD=4 AB=6 AC=9 在 RtABC 中，AB=6 AC=9 BC= = =3 AC2-AB2 81-36 58. （2011 年北京四中中考全真模拟 17）已知：如图 9，等腰梯形 AB
4、CD 的边 BC 在 x 轴上，点 A 在 y 轴的正方向上， A( 0, 6 )， D ( 4，6），且 AB .210（1）求点 B 的坐标；（2）求经过 A、 B、 D 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点 P，使得 SABC = S 梯形 ABCD ?若存12在，请求出该点坐标，若不存在，请说明理由.答案：（1）在 Rt ABC 中， ，又因为点 B 在 x 轴的负半轴上，所以 B（2，0）（2）设过 A， B， D 三点的抛物线的解析式为 ，将 A（0，6）， B（2，0）， D（4，6）三点的坐标代入得解得 所以 1420cab 126abc216yx（
5、3）略1、（2011 年浙江杭州三模）如图是杭州萧山少儿公园局部景点示意图。“蹦蹦床”A 在“小舞台”C 的正北方向，在“正大门”B 的北偏东 30方向；“小舞台”C 在“正大门”B 的东南方向 60m 处。问 A 和 C 之间相距多少 m？A 距离 B 多少 m？答案： 解：连结 AC由题意知，ADBD在 Rt BCD 中， BC=60， DBC=45 oBD=cos45BC302CD= 2 分 in在 RtA BD 中，ABD=60 oAD= 1 分si60A36AB= 2 分 co2AC= + 2 分3答：A 和 C 之间相距 + m;A 距离 B m。 1 分063602第 2 题图C
6、OABDNMPxy2、（2011 年浙江杭州三模）如图，P 为正方形 ABCD 的对称中心，正方形 ABCD 的边长为 , 。直线 OP 交 AB 于 N，DC 于 M，点 H 从原点 O 出发沿 x 轴的正半轴10tan3ABO方向以 1 个单位每秒速度运动，同时，点 R 从 O 出发沿 OM 方向以 2个单位每秒速度运动，运动时间为 t。求：（1）分别写出 A、C、D、P 的坐标；（2）当 t 为何值时，ANO 与DMR 相似？（3）HCR 面积 S 与 t 的函数关系式；并求以 A、B、C、R 为顶点的四边形是梯形时 t 的值及 S 的最大值。答案：解：（1） C（，）、D（3，）、P（
7、2，2）（2）当MDR45 时，2,点（2，0） 2 分当DRM45 时，3,点（3，0） 2 分（） 2（） 1 分1 2（） 1 分当时， ， 1 分13492当时， ， 1 分8当时， ， 1 分313、（2011 年浙江杭州二模）已知正比例函数 （ a0）与反比例函数xy)3(1的图象有两个公共点，其中一个公共点的纵坐标为 4xay2（1）求这两个函数的解析式；（2）在坐标系中画出它们的图象（可不列表）；（3）利用图像直接写出当 x 取何值时， 21y答案：（1） 交点纵坐标为 4， ，解得 （舍去）xa43)( 5,21a正比例函数： 反比例函数：xy2y8（2）（3）当 时，20x
8、x三21y4、（2011 年浙江杭州二模）如图 1，点 P、Q 分别是边长为 4cm 的等边ABC 边AB、BC 上的动点，点 P 从顶点 A，点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s，（1）连接 AQ、CP 交于点 M，则在 P、Q 运动的过程中，CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时PBQ 是直角三角形？（3）如图 2，若点 P、Q 在运动到终点后继续在射线 AB、BC 上运动，直线 AQ、CP 交点为 M，则CMQ 变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；-24-42（2，-4）（-2，4） 2 2 2APB Q CM第 22
9、 题图1APB QCM第 22 题图2答案：（1） 不变。06CMQ06CAPBA三三又由条件得 AP=BQ， (SAS) CPBQ 06BACMBAQAM（2）设时间为 t，则 AB=BQ=t，PB=4-t当 34,24,2,6090 tPPB三三当 )(tBQ当第 秒或第 2 秒时， PBQ 为直角三角形34（3） 不变。01CM06CAPBA三三 012ACQB又由条件得 BP=CQ， (SAS)PQ 又QCBPM 012M 1 2 2 1 1 1B 组46.综合型问题一、选择题1（2011 浙 江 杭 州 义 蓬 一 中 一 模 ）下列函数的图象，经过原点的是（ ）A. B. C. D
10、.xy35212xyxy273xy答案：A2.（2011 浙 江 杭 州 育 才 初 中 模 拟 ）如图 1，四个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、 B、 O 是小正方形顶点， O 的半径为 1， P 是 O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则 tan APB 等于（ ）（09 河北中考试题第 5 题改编）(A) 1 (B) (C) (D) 3312答案：A3.（安徽芜湖 2011 模拟）如图，一圆弧过方格的格点 A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点 A 的坐标为（2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ ）A. （1，2）B. （1，1）C. （1，1）D. （2，1）.
11、答案: C4.（浙江杭州金山学校 2011 模拟）（引九年级模拟试题卷）函数2yaxbyxc和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）答案：C5、（2011 杭州模拟 20）给出下列命题：反比例函数 的图象经xy2过一、三象限，且 随 的增大而减小；对角线相等且有一个内角是yx直角的四边形是矩形；我国古代三国时期的数学家赵爽，创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）；等弧所对的圆周角相等.其中正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）答案：A6、（2011 年北京四中 34 模）给出下面四个命题:(1)平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；(2)
12、 二次函数 ，当 a0 时 y 随 x 的增大而增大；32xay(3)同角的补角相等；(4)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。其中真命题的个数 ( ) A4 个 B3 个 C2 个 D1 个答案：C7、（2011 年浙 江 杭 州 27 模）如图，ABC 中，BC=4，以 A 为圆心，2 为半径的A 与 BC相切于 D，交 AB 于 E，交 AC 于 F， P 是A 上一点，且EPF=40，（第 5 题）PAE FD CB则图中阴影部分的面积是（ ）。A B C D 949849498答案：B二 填空题1（2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）两圆的圆心距 ，它们的半径分别是一元二次5d
13、方程 的两个根，这两圆的位置关系是 .2540x答案：外切2.（2011 浙 江 杭 州 育 才 初 中 模 拟 ）如图，跷跷板 AB 长为 5 米的，0 为支点，当 AO=3 米时，坐在 A 端的人可以将 B 端的人跷高 1 米那么当支点 0 在 AB 的中点时，A 端的人下降同样的高度可以将 B 端的人跷高_米( 09宜宾第 15 题改编)答案：1.53（2011 浙 江 杭 州 育 才 初 中 模 拟 ）我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图，点 A、B、C、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点
14、D 的坐标为（0，-3）AB 为半圆直径，半圆圆心 M（1，0），半径为 2，则“蛋圆”的抛物线部分的解析式为_。经过点 C 的“蛋圆”的切线的解析式为_。（08年益阳第 20 题）答案：y=x 2-2x-3, y=-2x-34（2011 年深圳二模）如图，M 为双曲线 y 上的一点，过点x1作轴、轴的垂线，分别交直线m 于 D、C 两点，若直OCBA第 1 题图AB CD EO第 2 题线m 与轴交于点，与轴相交于点 B则 ADBC 的值为 答案：25. （2011 湖北省崇阳县城关中学模拟） 如图，在半圆 O 中，直径 AE=10，四边形 ABCD 是平行四边形，且顶点 A、B、C 在半圆
15、上，点 D 在直径 AE 上，连接 CE，若 AD=8，则 CE长为 答案： 10三、解答题1（2011 年重庆江津区七校联考）已知、分别是ABC 的三边，其中1，4，且关于 x 的方程 042bx有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状。答案：关于 x 的方程 2x有两个相等的实数根 04)(b b c ABC 是等腰三角形。 2（ 2011 年杭州三月月考）已知一个直角三角形纸片 OAB，其中9024AOBOB， ，如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 交于点 C，与边 A交于点 D（1）若折叠后使点 与点 重合，求点 的坐标；（2）若折叠后点 落在边 上的点为 ，设
16、 OBx， Cy，试写出 关于 x的函数解析式，并确定 y的取值范围；（3）若折叠后点 落在边 A上的 点为 B，xyBO AxyBO A且使 BDO ，求此时点 C的坐标 答案： 解（1）如图，折叠后点 B与点 A重合，则 ACD .设点 的坐标为 0m， .则 4BO.于是 .在 RtAC 中，由勾股定理，得 22ACO，即 224m，解得 3m.点 的坐标为 0， （2）如图，折叠后点 B落在 OA边上的点为 B,则 BCD .由题设 Oxy， ，则 4，在 RtBC 中，由勾股定理，得 22BCO.224yx，即 18 由点 B在边 OA上，有 0 ，解析式 2yx2x 为所求.当 0
17、 时， y随 的增大而减小，y的取值范围为 32 . （3）如图，折叠后点 B落在 OA边上的点为 B，且 DOB .则 OCD.又 C， ，有 CA .Rtt .xyBO AxyBO ADC图xyBO BDC图xyBO BDC图有 OBCA，得 2OB. 在 Rt 中，设 0x，则 0x.由（2）的结论，得 2018，解得 0 084545xx ， .点 C的坐标为 16， . 3（2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）已知线段 OAOB，C 为 OB 上中点，D 为 AO 上一点，连 AC、BD 交于 P 点（1）如图 1，当 OA=OB 且 D 为 AO 中点时，求 的值；PA（2）如
18、图 2，当 OA=OB， = 时，求 tanBPC；AO41答案：（1）过 C 作 CEOA 交 BD 于 E，则BCEBOD 得 CE= OD= AD； 21再由ECPDAP 得 ； 2CADP（2）过 C 作 CEOA 交 BD 于 E，设 AD=x，AO=OB=4x，则 OD=3x， DCPOAB图 1DCPOAB图 2由BCEBOD 得 CE= OD= x， 213再由ECPDAP 得 ； 2CEADP由勾股定理可知 BD=5x，DE= x，则 ，可得 PD=AD=x，53P则BPC=DPA=A，tanBPC=tanA= 。 21AO4（2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）如图，将
19、正方形 ABCD 中的ABD 绕对称中心 O 旋转至GEF 的位置，EF 交 AB 于 M，GF 交 BD 于 N请猜想 BM 与 FN 有怎样的数量关系？并证明你的结论答案：BM=FN证明：在正方形 ABCD 中，BD 为对角线，O 为对称中心,BO=DO ,BDA=DBA=45 GEF 为ABD 绕 O 点旋转所得，FO=DO, F=BDAOB=OF OBM=OFN 在 OMB 和ONF 中BMFNOBMOFN BM=FN 5（2011年安徽省巢湖市七中模拟）如图1，已知抛物线的顶点为A(O，1)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在 轴上，CF交y轴于点B(0，2)，且其面积为8
20、x(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连结PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作 轴的垂线，垂足分别为S、Rx求证：PBPS；判断SBR的形状；试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似，若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由FGED CBA图1 图2答案：解：B点坐标为(02)，OB2，矩形CDEF面积为8，CF=4.C点坐标为(一2，2)F点坐标为(2，2)。设抛物线的解析式为 2yaxbc其过三点A(0，1)，C(-22)，F(2，2)。得124xabc解这个方程组，得 1,04abc
21、此抛物线的解析式为 214yx (3分)(2)解：过点B作BN ，垂足为NScP点在抛物线y= 十l上可设P点坐标为 214x21(,)4aPS ，OBNS2，BN 。2aPN=PSNS= (5分)1在RtPNB中PB2 2221()()44PNBaaPBPS (6分)1根据同理可知BQQR。 ，2又 ，13 ，同理 SBP (7分)5 280 39 .SBR SBR为直角三角形 (8分) 若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似， ，90Q有 PSM MRQ和 PSMQRM两种情况。当 PSM MRQ时 SPM RMQ， SMP RQM由直角三角形两锐角互余性质知 PMS
22、+ QMR 。90 。 (9分)90P取PQ中点为N连结MN则MN PQ= (10分)12(QRPSMN为直角梯形SRQP的中位线,点M为SR的中点 (11分)当PSMQRM时，RQBSPM又 ，即M点与O点重合。RS点M为原点O。综上所述，当点M为SR的中点时， PSMMRQ；当点M为原点时， PSMQRM (12分)6（2011 安徽中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上，线段 OA、OB 的长(0AOB)是方程 x2-18x+72=0 的两个根，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 在线段 OC 上，OD=2CD(1)求点 C 的坐标；(2)求直线 AD
23、 的解析式；(3)P 是直线 AD 上的点，在平面内是否存在点 Q，使以 O、A、P、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由【解】答案：（解 (1)OA=6，OB=12 点 C 是线段 AB 的中点，OC=AC作 CEx 轴于点 E OE= OA=3，CE= OB=612 12 点 C 的坐标为(3，6)(2)作 DFx 轴于点 FOFDOEC， = ，于是可求得 OF=2，DF=4ODOC23 点 D 的坐标为(2，4)设直线 AD 的解析式为 y=kx+b把 A(6，0)，D(2，4)代人得 6024kb解得 16kb 直线 AD 的解析式为 y=
24、-x+6 (3)存在Q1(-3 ，3 ) 2 2Q2(3 ，-3 ) 2 2Q3(3，-3) Q4(6，6) 7（2011 北京四中一模）（本题 9 分）如图，在 ABC 中，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，连结 AD，请你添加一个条件，使ABDACD，并说明全等的理由你添加的条件是 证明：答案： 本题答案不唯一，添加的条件可以是ABAC，BC，BDDC（或 D 是 BC 中点），BADCAD（或 AD 平分BAC）等8（2011 北京四中一模）如图，在 ABC 中，AC15，BC18，sinC= ，D 是 AC 上一个动点（不运动至点45A，C),过 D 作 DEBC，交 AB 于
25、 E，过 D 作 DFBC，垂足为 F，连结 BD，设 CDx（1）用含 x 的代数式分别表示 DF 和 BF；（2）如果梯形 EBFD 的面积为 S，求 S 关于 x 的函数关系式；(3）如果BDF 的面积为 S1，BDE 的面积为 S2，那么 x 为何值时，S 12S 2 答案：第 24 题图9（2011 北京四中一模）（本题 14 分）如图，已知直线 y2x12 分别与 y 轴，x 轴交于 A，B 两点，点 M 在 y 轴上，以点 M 为圆心的M 与直线 AB 相切于点 D，连结 MD（1）求证：ADMAOB；（2）如果M 的半径为 2 ，请求出点 M 的坐标，并写出以 为顶点且过5529(,)点 M 的抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，试问在此抛物线上是否存在点 P，使得以 P，A，M 三点为顶点的三角形与AOB 相似？如果存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由第 25 题图
