1、函数与一次函数1如图，已知 A、 B 是反比例函数 图象上的两点， BC x 轴，交)0,(,xkyy 轴于点 C，动点从坐标原点 O 出发，沿 O A- B- C（图中所示路线）匀速运动，终点为 C，过 P 作 PM x 轴， PN y 轴，垂足分别为 M、 N设四边形 OMPN 的面积为 S， P 点运动时间为 t，则 S 关于 t 的函数图象大致为【解题思路】本题应分三种情形来讨论，第一种情形就是点 P 在 OA 上运动，其面积应是二次函数的关系，当点在反比例函数上运动时，根据反比例函数的几何意义，其面积应是不变的，当点在 BC 上运动是，其面积逐渐变小的，于是选 A【答案】A【点评】本
2、题考查了分段函数的概念，同时也考查了反比例函数的几何意义难度稍大2.小亮同学汽车上学，路上要经过平路、下坡、上坡和平路（如图） ，若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为 v1、v 2、v 3，且 v10 的一次函数。【答案】：如 y=x+1【点评】：本题考察了一次函数的解析式，一次函数的增减性等。题型多见，难度较小。7一家电信公司给顾客提供两种上网方式：方式 A 以每分 01 元的价格按上网所用时间计费；方式 B 除收月基费 20 元外，再以每分 005 元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时间为 x 分，计费为 y 元，如图，是在同一直角坐标系中，分别描述两种计费方式的函数的图象，有下列结论：
3、图象甲描述的是方式 A；图象乙描述的是方式 B；当上网所用时间为 500 分时，选择方式 B 省钱。其中，正确结论的个数是A3 B2 C1 D0【解题思路】：函数图象的识读，特殊坐标点的实际含义【答案】：A【点评】：本题考察了函数图象的实际意义，关键在于从图象中读取信息的数结合能力。难度中等。8一次函数 y6 x1 的图像不经过A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【分析与解】一次函数 y6 x1 的图像的位置是由 k 与 b 决定， k0， b0，图像经过一、二、三象限，即不经过第四象限，故 D 正确，此题选 D.本题也可利用图像法直接选取.【点评】本题属于容易题，主要考查学生对一次
4、函数图像与性质的理解与掌握9直线 一定经过点（ ） 1ykxA(1，0) B(1， k) C(0， k) D(0，1)【解题思路】本题用排除法解答较为容易，把选项逐一代入即可得答案。也可用使含k 的项为 0 来直接求。【答案】D【点评】本题考查了函数过一定点的知识，定点即不受常数 k 的变化而变化，即含 k的项为 0（x=0）再求出 y1。难度较小10函数 yl= x ( x 0 ) , （ x 0 ）的图象如图所示，则结论： 两函数92图象的交点 A 的坐标为（3 ,3 )， 当 x 3 时， 当 x 1 时， BC = 12y8， 当 x 逐渐增大时， yl 随着 x 的增大而增大，y 2
5、随着 x 的增大而减小其中正确结论的序号是_ .【解题思路】由函数 yl= x ( x 0 ) , （ x 0 ）构造出 的方程组得出 Ay92yx,点坐标故正确；由于当 x3 时， 的图像在 的下面故应 ；当 时，121故正确；当 x 逐渐增大时，y l 图像的上升，y 2图像的下降得正819ABy确.【答案】【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像交点、函数值的求法及利用图像升降判断其增减性的数形结合思想，解决本题的关键是熟练一次函数与反比例函数的图像与性质，难度中等. 11函数 中自变量 的取值范围是21xyxA B C D22x2x【解题思路】根据分式有意义的条件是分母不等于 0
6、，即可求解【答案】B【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，是需要熟记的内容难度较小12如图所示，函数 和 的图象xy13412相交于（1，1） ， （2，2）两点当 时，x 的取值范2y围是Ax1 B1x2 Cx2 D x1 或 x2 【解题思路】由函数图象可得，两函数的交点分别为（-1，1） ， （2，2）.y 1y2就是函数y1的图象在函数 y2的函数图象的上方，观察图象可知，y 1y2的解集是 x-1 或 x2，即得 x 的范围【答案】D【点评】本题主要考查根据一次函数图象确定不等式的解集问题，解题的关键是确定两直线交点的横坐标，再根据数形结合的思想解答，学生易错的地方是搞不清图像之间
7、的关系，难度较大13.在全民健身环城越野赛中，甲乙两选手的行程 y（千米）随时间（时）变化的图象（全程）如图所示.有下列说法：起跑后 1 小时内，甲在乙的前面；第 1 小时两人都跑了10 千米；甲比乙先到达终点；两人都跑了 20 千米.其中正确的说法有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个【解题思路】起跑后 1 小时内，甲的图象始终在乙的图象的上方，所以甲在乙的前面，正确；当 1 小时时，两人都欧式从起跑点跑到 10 千米的位置，所以两人都跑了 10 千米，正确；从图象上看，当 2 小时时，乙已到达终点，而甲还（1，1）1y（2，2） 2xyO第 10 题图2乙乙乙乙815
8、1051.510.5Ox/乙y/乙乙未到达，所以乙比甲先到达终点，错误；从乙的图象可以看出，以匀速跑的速度是：101=10 千米，所以乙跑的距离是 102=20 千米，所以正确。选择 C.【答案】C【点评】图象信息题是考查函数部分知识常考的题目类型，解决这类问题的关键就是弄清楚函数图象上每段图象的含义。难度中等。14、已知一次函数 的图象过第一、二、四象限，且与 x 轴交于点（2，0） ，则关yaxb于 x 的不等式 的解集为(1)0(A) x -1 （C） x1 （D）x0， m2， m0；（2）过第一、二、三象限 k0、 b0；（3）过第一、三、四象限 k0、 b0 时， y 随 x 的增
9、大而减小这个函数解析式为_（写出一个即可） 【解题思路】若这个函数是一次函数 y=kx+b，因为图象过（2,1）点，所以 2k+b=1，又因为当 x0 时， y 随 x 的增大而减小，所以 k0 w 随 a 的增大而增大 当 a=37 时 w 最大值 =20037+10000=17400 8 分所以，商店获得的最大利润为 17400 元。【点评】此题属于方案设计性问题，根据给出的生活相关的情景抽象出数学语言，列出一元一次不等式组，由于 a 的实际意义为正整数，所以由不等确定相等（得出具体的整数值） ，从而得出方案。最后要求的最大利润由利润的函数关系和有关函数的性质可以确定。此题有利于提高学生分
10、析问题和解决问题的能力，同时让学生明白生活中处处有数学，从而加强了学习数学的信心！难度中等。29 （2011 四川乐山，21，10 分）某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费 y（元）与复印页数 x（页）的关系如下表：x(页) 100 200 400 1000 y(元) 40 80 160 400（1） 若 y 与 x 满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；（2） 现在乙复印社表示：若学校先按每月付给 200 元的承包费，则可按每页 0.15 元收费。则乙复印社每月收费 y（元）与复印页数 x（页）的函数关系为 ；（3） 在给出的坐标系内画出（1） 、 （2）中的函数图象，并回答每月
11、复印页数在 1200 左右应选择哪个复印社？【解题思路】：根据图表信息，利用待定系数法确定一次函数的解析式，并根据列表、描点、连线，画出两个一次函数的图象，求出交点坐标，由函数图象性质作出判断。【答案】解：（1）由图表信息可得：y=0.4x,（2）y=200+0.15x， （3）画图略；当0.4x=200+0.15x 时，解得：x=800,每月复印页数在 1200 左右,故应选择乙复印社便宜。【点评】这是一道一次函数的应用问题，待定系数法确定函数解析式、画函数图象、利用函数图象作出方案设计都是中考的热点。本 题 难度中等。30.函数 中,自变量 x 的取值范围_.13yx【解题思路】本题涉及二
12、次根式的意义,分式有意义的条件,根据条件可得 ,通过解30x不等式可得.【答案】 3x【点评】本题考查了函数的自变量的取值范围,当含自变量 的二次根式和分式时,要从二x次根式的被开方数是非负数和分式的分母不为零的两个条件同时成立.难度较小.31.(2011 内蒙古呼和浩特,12,3 分)已知关于 x 的一次函数 的图象如图所示,ymxn则 可化简为_.2|nm【解题思路】由一次函数的图象特征确定 ,再利用绝对值和二次根式的0mn、性质对式子进行化简.【答案】 n【点评】本题考查了一次函数图象的性质、绝对值、二次根式化简等知识,考查了从图象上获取信息的能力,考查了数形结合的数学思想方法.难度较小
13、.32.在同一直角坐标系中反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交,且其中myxykxb一个交点 A 的坐标为(2,3),若一次函数的图象又与 x 轴相交于点 B,且 AOB 的面积为6(点 O 为坐标原点).求一次函数与反比例函数的解析式.【解题思路】根据反比例函数图象过 A 点,将 A 点坐标代入 ,即可得到反比例函数的myx解析式.一次函数解析式中含有 2 个待定系数,需找到一次函数图象上的两个点 A、 B,将它们的坐标代入一次函数解析式,联立组成方程组进行求解.在用 AOB 的面积求 B 点坐标时,要注意分类讨论.【答案】解:将点 A(-2,3)代入 中得myx32 6m (2 分)y
14、x又 AOB 的面积为 6 1|2AOBy |36| OB|=4 B 点坐标为(4,0)或(-4,0) (4 分)当 B(4,0)时,又点 A(-2,3)是两函数的交点代入 中得ykxbyxO4023kb1b (6 分)2yx当 B(-4,0)时,又点 A(-2,3)是两函数的交点代入 中得ykxb4023 6kb (8 分)32yx【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形面积公式、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识,考查了函数与方程、分类讨论等数学思想方法.用待定系数法求解析式贯穿本题始终,在用面积公式求 B 点坐标时,因涉及到分类讨论,这是学生易疏忽的地方,考查了数学思维的严谨性
15、.难度中等.33 已知 A、 B 两地的路程为 240 千米，某经销商每天都要用汽车或火车将 x 吨保鲜品一次性由 A 地运往 B 地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订.现在有货运收费项目及收费标准表，行驶路程 S（千米）与行驶时间 t（时）的函数图象（如图 13 中） ，上周货运量折线统计图（如图 13 中）等信息如下：货运收费项目及收费标准表运输工具运输费单价元/（吨千米）冷藏单价元/（吨时）固定费用元/次汽车 2 5 200火车 1.6 5 2280（1）汽车的速度为_千米/时，火车的速度为_千米/时；图13火车 汽车S(千米)t(时)2120200
16、O（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为 y 汽 （元）和y 火 （元） ，分别求 y 汽 、 y 火 与 x 的函数关系式（不必写出 x的取值范围）及 x 为何值时 y 汽 y 火 ；（总费用运输费冷藏费固定费用）（3）请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？【分析与解】 （1）根据图 13不难得出汽车的速度为 60 千米/时，火车的速度为 100 千米/时；（2）利用所给数量关系式总费用运输费冷藏费固定费用可分别写出 y 汽 、 y 火与 x 的函数关系式，注意一项也不能少，然后建立不等模型判决；（3）利用平均数的意义及
17、折线统计图的走势可轻松预策.解：（1）60，100.（2）依题意，得 y 汽 2402 x 5x200.24060y 汽 500 x200.y 火 2401.6 x 5x2280.240100y 火 396 x2280.若 y 汽 y 火 ,得 500x200396 x2280， x20.（3）上周货运量 (17201922222324)72120.x- 从平均数分析，建议预定火车费用较省.从折线图走势分析，上周货运量周四（含周四）后大于 20 且呈上升趋势，建议预定火车费用较省.【点评】本题属于中等题，为一次函数应用题，以两图一表的形式呈面背景的丰富性、多样样，总体感觉不难，特别注意的是将统
18、计引入函数应用题是本题亮点.34.某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲、乙两厂的印刷费用 y（千元）与证书数量 x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示.（1） 请你直接写出甲厂的近制版费 y 甲 与 x 的函数解析式，并求出其证书印刷单价.17181920212223242517201922 222324周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 时间货运量（吨）图 13 （2） 当印制证书 8 千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？（3） 如果甲厂想把 8 千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费
19、的情况下，每个证书最少降低多少元？【解题思路】 （1）由图图象可知甲厂的制版费为 1 千元，当印制 2 千个时总费用为 2 千元，所以证书单价为：（2-1）2=0.5（元） ，函数解析式为 y 甲 = ；（2）求出乙厂的费1x用与数量的关系，把 x=8 分别代入比较，可求出节省的费用；（3）由（2）知印制 8 千个证书甲厂比乙贵 0.5 千元，所以每个证书应降价 5008000=0.0625（元） 。【答案】(1)制版费 1 千元，y 甲 = ，证书单价 0.5 元.（2）把 x=6 代入 y 甲 =1x中得 y=4,当 x2 时，由图象可设 y 乙 与 x 的函数关系式为 y=kx+b, 由
20、已知得12x，解得 ，所以 y 乙 = ，当 x=8 时，y 甲 ，y 乙 =364kb5214bk15421852， （千元） ，即，当印制 8 千张证书时，选择乙厂，节省费用159820.5500 元；（3）设甲厂每个证书的印刷费用应降低 a 元，8000a=500,所以 a=0.0625.【点评】主要考查一次函数及其图象的应用，解题关键是正确理解图象的意义及准确写出函数的解析式。难度中等。35 点 A、 B、 C、 D 的坐标如图，求直线 AB 与直线 CD 的交点坐标。【解题思路】由图象得到 A、 B、 C、 D 各点的坐标，利用待定系数法分别求出直线 AB 和直线 CD 的解析式，再
21、求其交点坐标即可。【答案】解：由已知得，直线 AB 方程为 ，直线 CD 方程为26yx12yx解方程组 ，得 ，所以直线 AB， CD 的交点坐标为（-2，2）.261yx【点评】本题主要考查利用待定系数法求函数解析式及交点坐标的求法。难度较小36、设函数 （ k 为实数） 。1x)2(ky（1）写出其中的两个特殊函数，使他们的图像不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个特殊函数的图像;（2）根据所画图像，猜想出：对于任意实数 k，函数的图像都具有的特征，并给予证明；（3）对于任意负实数 k，当 xm 时， y 随 x 的增大而增大，试求出 m 的一个值。【解题思路】 （1）考
22、虑函数 （ k 为实数）的特殊性实际就是对 x 的1)2(系数进行分析，尤其是 x 的二次项系数（2）图像特征主要就是图像的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置、与 x 轴的交点个数等，而这些特征主要就是通过解析式、判别式来反应（3）考虑二次函数的性质（增减性）【答案】解：（1）如两个函数为 ，函数图形略；21,31yx（2）不论 k 取何值，函数 的图象必过定点 ，()k(0,1)2,且与 轴至少有 1 个交点.证明如下：x由 ，得2()ykx2()(1)0kxy当 即 时，上20,10xxy且 ， ,12,1xyxy， 或式对任意实数 k 都成立，所以函数的图像必过定点 .(0)又因为
23、当 时，函数 的图像与 x 轴有一个交点；yx当 时， ，所以函数图像与 x 轴有两个交0k22(1)410kk点.所以函数 的图象与 轴至少有 1 个交点.2()yxxx（3）只要写出 的数都可以.1m， 函数 的图像在对称轴直线0k2(1)k21kx的左侧， 随 的增大而增大.yx根据题意，得 ，而当 时，2k021kk所以 .1m【点评】本题考查了二次函数的图像与性质、系数关系。此题是以二次函数为背景，综合性的考查了初中有关函数的知识。难度较大37已知：一次函数 y=kx+b 的图象经过 M（0，2） ， N（1，3）两点（1）求 k， b 的值；（2）若一次函数 y=kx+b 的图象与
24、 x 轴的交点为 A（ a，0） ，求 a 的值【解题思路】(1)把两点的坐标代入解析式 ， 解关于 k， b 的二元一次方程组 (2)有了解析式 ， 把 y=0 代入解析式 ， 可求得点的横坐标 【答案】解：（1）由题意得 解得32bk21b所以 k， b 的值分别是 1 和 2（2）由（1）得 y=x+2，所以当所以当 y=0 时， x=-2， 即 a=-2【点评】本题考查了一次函数的待定系数法 注意代入和计算准确 难度较小 38、某班师生组织植树活动，上午 8 时从学校出发，到植树地点后原路返校，如图为师生离校路程 S 与时间 t 之间的图象，请回答下列问题：（1） 求师生何时回到学校？
25、（2） 如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程 S 与时间 t 之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程；（3） 如果师生骑自行车上午 8 时出发，到植树地点后，植树需 2 小时，要求 14 时前返回到学校，往返平均速度分别为每时 10km、8km，现有 A、B、C、D 四个植树点与学校的路程分别是 13km、15km、17km 、19km，试通过计算说明哪几个植树点符合要求。【解题思路】能否从图形中获取有效条件是解决本题放的关键首先应注意横坐标、纵坐标所表示的含义： S（ km）表示师生
26、距离学校路程，而 t（ h）表示当天的时间.再看图形的意义：在上午 8 点时，师生还在学校刚要准备走，此时离校为 S=0；走了二小时，时间为t=10 点时，到达目的地，此时 S=8，说明植树地离校的距离为 8（ km） ； 种了二小时的树后，在 t=12 时开始返校，此时点的坐标为（12，8） ；过了一小时，t=13 时，离校 3（ km） ， 此时点的坐标为（13，3） ，所以我们可设返校时 S 和 T 的解析式为 ，把这二点代入bkts求出解析式，在当 S=0 时，即为几时返校。同理，利用此方法能求出师生去植树地和三轮车去植树地的解析式，题意中的相遇实际上 S 相等时，即二直线的交点。【答
27、案】 （1）由题意得：设返校时 S 和 T 的函数解析式为 ，把（13，3）和bkts（12，8）代入得 解得， ，所以 bk1283685，令，s=0 即65ts 0685t解得，t=13.6 所以，师生在 13 点 36 分返回学校。2） 相遇时离校的路程为 4 km方法是先求师生去时的函数解析式为 324ts三轮车去时的函数解析式为 68然后 = 所以 t=9 S=4324t68t3） 设植树地离学校的路程为 S，由题意得， 26810S解此不等式得， ，故符合要求有 A、B、C。9160【点评】此题考察了用待定系数法来来求一次函数解析式，用一次函数来解决实际题目，和一点不等式和分式的知
28、识，源于教材课后的练习，让学生做起来应该是得心应手。是教师备课的好例。属中档题。39. （ 浙江省 绍兴市，21，10 分） 在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等,则这个点叫做和谐点.例如:图中过点 P 分别作 x轴, y 轴的垂线,与坐标轴围成矩形 OAPB 的周长与面积相等,则点 P 是和谐点.(1)判断点 M(1,2), N(4,4)是否为和谐点,并说明理由;(2)若和谐点 P(a,3)在直线 y= -x+b(b 为常数)上,求 a, b 的值.【解题思路】 （1）根据和谐点的定义进行计算验证；（2）对 a 要分两种情况，根据和谐点的定义将 P(a,3)代入可求得 a 的值再求 b 的值.【答案】解:(1)122(1+2),44=2(4+4),点 M 不是和谐点,点 N 是和谐点.(2)由题意得.当 a 0 时,( a+3)2=3a, a = 6,点 P(a,3)在直线 y= -x+b 上,代入得 b= 9;当 a0 时,(- a+3)2= -3a, a = -6,点 P(a,3)在直线 y= -x+b 上,代入得 b= -3, a = 6, b= 9 或 a = -6, b= -3.【点评】本题考查一次函数的有关性质的掌握和灵活运用的能力，关注对数形结合、分类讨论等思想方法、待定系数法的考查，难度中等.
