1、 阅读理解型如图， P 为 ABC 内一点，连接 PA、 PB、 PC，在 PAB、 PBC 和 PAC 中，如果存在一个三角形与 ABC 相似，那么就称 P 为 ABC 的自相似点如图，已知 Rt ABC 中， ACB=90， ACB A， CD 是 AB 上的中线，过点 B 作 BE CD，垂足为 E，试说明 E 是 ABC 的自相似点在 ABC 中， A B C如图，利用尺规作出 ABC 的自相似点 P（写出作法并保留作图痕迹） ；若 ABC 的内心 P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数B B B CCCA A ADP E (第 27 题)【解题思路】要判断一个点是不是一个
2、三角形的自相似点，只要根据自相似的定义来判断即可；构造一个自相似三角形时，要紧扣定义；因为三角形的内心是角平分线相交形成的，又因为定义既性质，所以可以依据自相似求出各角度数。【答案】在 Rt ABC 中， ACB90， CD 是 AB 上的中线， ， CD=BD12CDAB BCE ABC BE CD， BEC90， BEC ACB BCE ABC E 是 ABC 的自相似点 作图略 作法如下：（i）在 ABC 内，作 CBD A；（ii）在 ACB 内，作 BCE ABC； BD 交 CE 于点 P则 P 为 ABC 的自相似点连接 PB、 PC P 为 ABC 的内心， ， 12BC12C
3、BA P 为 ABC 的自相似点， BCP ABC PBC A， BCP ABC=2 PBC =2 A， ACB2 BCP=4 A A+ ABC+ ACB180 A+2 A+4 A180 该三角形三个内角的度数分别为 、 、 1807 180736720【点评】本题介绍了一个全新的知识：自相似，能有效的考查同学们运用所学知识解决新问题的能力，能体现学以致用的原则，是数学教学的最高境界，动手做一个自相似图形，又能有效的考查同学们的动手能力，利用自相似的定义求角度，考查了知识的运用能力，是一个形势新颖的好题，难道较较大。1.通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相
4、互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad） ，如图，在ABC 中，AB=AC，顶角 A 的正对记作 sadA，这时 sadA=底边/腰= .容易知BCA道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：（1）sad60= .（2）对于 0A180，A 的正对值 sadA 的取值范围是 .（3）如图，已知 sinA= ，其中A 为锐角，试求 sadA 的值.35【解题思路】 （1）根据等腰三角形的性质，求出底角的的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对
5、的定义解答；（2）求出 0 度和 180 度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角ABC，构造等腰三角形 ACD，根据正对的定义解答【答案】 （1）根据正对定义，当顶角为 60时，等腰三角形底角为 60，则三角形为等边三角形，则 sad60= =1（2）当A 接近 0时，sad 接近 0，当A 接近 180时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故 sad 接近 2于是 sadA 的取值范围是 0sadA2故答案为0sadA2（3） 如图，在ABC 中，ACB=90，sinA= 在 AB 上取点 D，使 AD=AC，作 DHAC，H 为垂足，令 BC=3k，AB=5k，则 AD=AC= =4k，又在ADH 中，AHD=90，sinA= DH=ADsinA= k，AH= = k则在CDH 中，CH=AC-AH= k，CD= = k于是在ACD 中，AD=AC=4k，CD= k由正对的定义可得：sadA= = 【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答难度中等.
