1、 / 412013 中考数学压轴题矩形问题精选解析(三)例 5 如图 1，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为 A（5，0），C（0，3）射线 ykx 交折线 ABC 于点 P，点 A 关于 OP 的对称点为 A（1）当点 A 恰好在 CB 边上时，求 CA 的长及 k 的值；（2）若经过 O、A、A 三点的抛物线恰好以 A 为顶点，求 k 的值及该抛物线的解析式；（3）如图 2，当点 P 在 AB 边上，点 A 在 CB 上方时，连接 AO、A P 分别交 CB 边于点E、F是否存在实数 k 使A EFBPF ？若存在，求出 k 值；若不存在，说明理由；来源:学优
2、中考网（4）以 OP 为直径作M，则M 与矩形 OABC 最多有_个公共点，直接写出公共点个数最多时 k 的取值范围解析：（1）当点 A 恰好在 CB 边上时，连接 AO、A P，如图 1OA OA5，OC3CA 4OA 2 OC 2 5 2 3 2A BCBCA 541设 PAx，则 APPAx，BP3x在 Rt APB 中，A B 2BP 2A P 21 2( 3x )2x 2，解得 x ，P（5， ）53 53k yPxP 13（2）连接 AO、A P、A A，设 AA 交射线 OP 于点 D，如图 2则 OP 垂直平分 AA经过 O、A、A 三点的抛物线恰好以 A 为顶点由抛物线的对称
3、性可知 AOA A2A DA OD30，AODA OD30PA OA ，P（5， ）k yPxP可得A OA60，A OA 是等边三角形点 A 的坐标为（ ， ）52设抛物线的解析式为为 ya( x )2 52BACxOyPA图 1BACxOyPA图 2EPFPBACxOy备用图BACxOyPA图 1BACxOyPA图 2D把 O（0，0）代入上式，得 0a( 0 )2 52解得 a 抛物线的解析式为为 y ( x )2 52（3）假设存在实数 k，使A EFBPF，如图 3A B90，A FEBFPA EBP，A FBF设 AEBPa，A FBF b则 APPA3a，EF PF3ab，OE
4、5aCE5( 3ab )b2 a在 Rt OCE 中， OC 2CE 2 OE 23 2( 2a )2( 5a )2，解得 a 67PA3 ，P （5， ）67 157 157k yPxP 37（4）以 OP 为直径的M 与矩形 OABC 最多有 6 个公共点提示：OAP90当点 P 在 AB 边上时，M 经过 O、A 、P 三点，如图 4COP90，M 必与 OC 边交于另一点又M 与 BC 边最多有 2 个公共点M 与矩形 OABC 最多有 6 个公共点当点 P 在 BC 边上时，情况亦然来源:学优中考网当M 与 BC 边相切于点 D 时，连接 DM 并延长交 OA 于 E，如图 5则 M
5、D BC，DE ABOC，DE OC3M 是 OP 的中点，E 是 OA 的中点ME PA12设 PAx，则 ME x，DM OP 12 12 12x 2 5 2DM MEDE， x312x 2 5 2 12解得 x ，P （5， ） 来源:xYzkW.Com1112 1112k yPxP 1160当M 与 AB 边相切于点 E 时，连接 EM 并延长交 OC 于 D，如图 6设 CPx，则 DM x，ME OP 12 12 12x 2 3 2DM MEDE， x 512 12x 2 3 2BACxOyPA图 3EPFPBACxOyP图 4MBACxOyP图 5DPMEPBACxOyE图 6D
6、PPPM/ 43解得 x ，P （ ，3）9120 9120k yPxP 6091又当点 P 与点 B 重合时，M 经过 O、A、B 、C 四点，此时 k 35当M 与矩形 OABC 有 6 个公共点时，k 的取值范围是： k 且 k 1160 6091 35例 6 如图，矩形 ABCD 中，AB 1，BC ，将矩形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 90得到矩形3ABCD（1）求点 A 在旋转过程中所走过的路径的长；（2）求矩形 ABCD 在旋转过程中所扫过的面积；（3）若点 P 为线段 BC 上一点，且使得APA 60 ，则满足条件的点 P 有几个？请你选择一个点 P 求APA 的面积解析
7、：（1）易知点 A 的路径是以 O 为圆心、以 OA 长为半径、圆心角为90 的一段圆弧AB1，BC ，AC2，OA 13点 A 在旋转过程中所走过的路径的长为： 190180 2（2）如图，将矩形 ABCD 绕它的对称中心 O 旋转 90，扫过的面积是图中阴影部分的面积AB1，A DBC ，A GDGBEC E 来源:xYzkW.Com3AB1，AD 3ADBDBC30， OFCA CDBDC60A ODBOC 30S 阴影 S O 2( S 扇形 BOD 2 SBOE )S O 2 S 扇形 BOD 4 SBOE ) 1 22 4 1 230360 12 12 （ cm2）56（3）满足条
8、件的点 P 有 2 个提示：在 BC 上取点 P1，使 BP1 则AP 1B60，P 1H 来源:学优中考网3 12AH 3tanA P1H ，A P1H60AHP1H 3AP 1A60DBACOABC DDBAOCC DABE FGDBACC DABE P1 P2 HG在 BC 上取点 P2，使 P2HA G 则A P2HAA G，A P2A A AH 2 P2H 2 2BP2 1AB ，AP 2 2AP 2A P2A A，AP 2A 是等边三角形AP 2A60又AP 2A 的外接圆与 BC 最多有 2 个交点满足条件的点 P 有 2 个若求AP 1A 的面积S 梯形 ABHA ( 1 ) ，S ABP 1 1 12 34 12SA P1H ( ) 12 12 14S AP 1A S 梯形 ABHA S ABP 1 S A P1H 12若求AP 2A 的面积则 SAP 2A 12 2 2
