1、2013 中考数学压轴题函数梯形问题精选解析(一)例 1 已知平面直角坐标系 xOy 中， 抛物线 y ax2( a1) x 与直线 y kx 的一个公共点为A(4，8) （1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点 P 在线段 OA 上，过点 P 作 y 轴的平行线交（1）中抛物线于点 Q，求线段 PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为 M，点 N 在此抛物线上，若四边形 AOMN 恰好是梯形，求点 N 的坐标及梯形 AOMN 的面积备用图解析（1）抛物线的解析式为 y x22 x，直线的解析式为 y2 x（2）如图 1，当 P 为 OA 的中点时， 的长度取得最大值为 4来源:xY
2、zkW.ComPQ（3）如图 2，如果四边形 AOMN 是梯形，那么点 N 的坐标为(3，3)，梯形 AOMN 的面积为 9图 1 图 2例 2 已知二次函数的图象经过 A（2，0）、 C(0，12) 两点，且对称轴为直线 x4，设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为点 B（1）求二次函数的解析式及顶点 P 的坐标；（2）如图 1，在直线 y2 x 上是否存在点 D，使四边形 OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（ O、 P 两点除外），以每秒 个单位长度2/ 32的速度由点 P 向点 O 运动，过点 M 作
3、直线 MN/x 轴，交 PB 于点 N 将 PMN 沿直线 MN 对折，得到 P1MN 在动点 M 的运动过程中，设 P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为S，运动时间为 t 秒，求 S 关于 t 的函数关系式 图 1 图 2来源:xYzkW.Com解析（1）设抛物线的解析式为 ，代入 A（2，0）、 C(0，12) 两点，得2(4)yaxk解得 40,62.ak,.k所以二次函数的解析式为 ，顶点 P 的坐标为22(4)81yxx（4，4）（2）由 ，知点 B 的坐标为（6，0）281yx假设在等腰梯形 OPBD，那么 DP OB6设点 D 的坐标为( x，2 x)由两点间的距离公式
4、，得 解得 或 x222(4)()3x5如图 3，当 x2 时，四边形 ODPB 是平行四边形所以，当点 D 的坐标为( ， )时，四边形 OPBD 为等腰梯形5来源:学优中考网 xYzkw图 3 图 4 图 5（3）设 PMN 与 POB 的高分别为 PH、 PG在 Rt PMH 中， ， 所以 2PMtHt24PGt在 Rt PNH 中， ， 所以 12N3MN 如图 4，当 0 t2 时，重叠部分的面积等于 PMN 的面积此时来源:学优中考网2134St如图 5，当 2 t4 时，重叠部分是梯形，面积等于 PMN 的面积减去 P DC 的面积由于 ，所以 PDCMNGH22 43(4)PDCtStt此时 来源:xYzkW.Com2239(4)1Stt考点伸展第（2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆以 P 为圆心， OB 长为半径画圆，与直线 y2 x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点方法二，按照对边相等画圆以 B 为圆心， OP 长为半径画圆，与直线 y2 x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点
