1、中考数学专题复习四 实际应用题一、总体概述近年各地中考中总有联系社会热点及现实生产生活的应用题，以考察学生用数学知识解决实际问题的能力。这类问题往往具有较强的现实意义和时代感，其背景贴近生活，贴近实际，有利于促进学生数学应用意识的培养和提高。 二、典型例题例 1 利 达 经 销 店 为 某 工 厂 代 销 一 种 建 筑 材 料 （ 这 里 的 代 销 是 指 厂 家 先 免 费 提 供 货源 ， 待 货 物 售 出 后 再 进 行 结 算 ， 未 售 出 的 由 厂 家 负 责 处 理 ） 当 每 吨 售 价 为 260 元 时 ， 月销 售 量 为 45 吨 该 经 销 店 为 提 高 经
2、 营 利 润 ， 准 备 采 取 降 价 的 方 式 进 行 促 销 经 市 场 调查 发 现 ： 当 每 吨 售 价 每 下 降 10 元 时 ， 月 销 售 量 就 会 增 加 7. 5 吨 综 合 考 虑 各 种 因 素 ， 每售 出 一 吨 建 筑 材 料 共 需 支 付 厂 家 及 其 它 费 用 100 元 设每吨材料售价为 x（元） ，该经销店的月利润为 y（元） （1 ）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；（2 ）求出 y 与 x 的二次函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；（3 ）请把（2 ）中的二次函数配方成 的 形 式 ， 并 据 此 说 明 ， 该经销
3、2()yahk店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元； （4 ）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对吗？请说明理由解析 （1） =60（吨） 5.7102465（2 ） ， ().)xyx化简得： 235404（3） 12xy 23(1)9075x利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元 （4 ）我认为，小静说的不对理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额 来说，)5.7102645(xxW23(160)94x当 x 为 160 元时，月销售额 W 最大当 x 为 210 元时，月销售额 W 不是最大小静说的不对方法二：当月利润最大
4、时，x 为 210 元，此时，月销售额为 17325 元；而当 x 为 200 元时，月销售额为 18000 元1732518000 ，当月利润最大时，月销售额 W 不是最大小静说的不对例 2 西南五省干旱牵动着全国亿万人民的心，某校为 灾区开展了“献出我们的爱” 赈灾捐款活动八年级（1）班 50 名同学积极参加了这次赈灾捐款活动，下表是小明对全班捐款情况的统计表： 捐款（元） 10 15 30 50 60人数 3 6 11 13 6因不慎两处被墨水污染，已无法看清，但已知全班平均每人捐款 38 元（1 ）根据以上信息请帮助小明计算出被污染处的数据，并写出解答过程（2 ）该班捐款金额的众数、中
5、位数分别是多少？解析 （1） 被污染处的人数为 11 人 设被污染处的捐款数为 x元，则 11 x+1460=5038 解得 =40答：（1）被污染处的人数为 11 人，被污染处的捐款数为 40 元 （2）捐款金额的中位数是 40 元，捐款金额的众数是 50 元 解题启示这类题目的特点是由图象或表格提供一组数据，要求从图表中获取有效信息并加以处理，因而寻找数据间的相等关系是解答这类问题的突破口例 3 有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间 x（时）之间关系的部分图象请解答下列问题：（1）乙队开挖到 30 米时，用了_小时开挖 6
6、 小时时， 甲队比乙队多挖了_米；（2）请你求出：甲队在 0 x6 的时段内， y 与 x 之间的函数关系式；乙队在 2 x6 的时段内， y 与 x 之间的函数关系式； 开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖 6 小时后，施工速度增加到 12 米/时，结果两队同时完成了任务问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？解析 （1）2；10；（2）设甲队在 0 x6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y=k1x，62O x(时)y(米)3060乙甲50由图可知，函数图象过点（6，60） ，6 k1=60，解得 k1=10， y =10x.设乙
7、队在 2 x6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y =k2x+b，由图可知，函数图象过点（2，30） 、 （6，50） ， 解得 230,65.kb25,0.kb y =5x20由题意，得 10x5 x20，解得 x4.所以，4 小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队.（3）由图可知，甲队速度是：606=10（米/时） 设甲 队 从 开 挖 到 完 工 所 挖 河 渠 的 长 度 为 z 米 ， 依 题 意 ， 得 605.12z解得 =110答：甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为 110 米解题启示解决这类题目主要是通过观察图象获取信息并用方程的思想来解决问题 例 4 在购买“上海世
8、博“门票时，设购买门票数为 x（张） ，总费用为 y（元）现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费 10000 元，则该单位所购门票的价格为每张 60 元；（总费用广告赞助费+ 门票费）方案二：购买门票方式如图所示解答下列问题：（1 ）方案一中，y 与 x 的函数关系式为 ；方案二中，当 0x 100 时， y 与 x 的函数关系式为 ，当 x100 时，y 与 x 的函数关系式为 ；（2 ）如果购买门票超过 100 张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；（3 ）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买门票共700 张，花去总费用计 58000 元，求甲、乙两单位各购买门票多少张解
9、析 (1) 方案一 : y=60x+10000 ； 1000014000100 150O x(张)y(元 )当 0x100 时，y=100x ； 当 x100 时，y=80x+2000 ；(2)因为方案一 y 与 x 的函数关系式为 y=60x+10000，x 100，方案二的 y 与 x 的函数关系式为 y=80x+2000； 当 60x+1000080x+2000 时，即 x400 时，选方案二进行购买， 当 60x+10000=80x+2000 时，即 x=400 时，两种方案都可以， 当 60x+1000080x+2000 时，即 x400 时，选方案一进行购买； (3) 设甲、乙单位
10、购买本次门票数分别为 a 张、b 张；甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买门票，乙公司购买本次门票有两种情况：b100 或 b100. 当 b100 时，乙公司购买本次门票费为 100b，解得 不符合题意，舍去； 70,61580,a50,1a 当 b100 时，乙公司购买本次门票费为 80b+2000，解得 符合题意 ,02,a ,20b答：甲、乙单位购买本次门票分别为 500 张、200 张. 解题启示方案一中可直接求出函数关系式，方案二中结合图象利用待定系数法可以求出函数关系式。 （2）选择哪一种方案，使总费用最省，就把这两种方案进行分类比较。（3 ）中要就不同的情况分类求解。三、当堂达
11、标1.甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线 起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示） ；途中乒乓l球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完事后，P30 米l甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒” ，乙同学说： “捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍” 根据图文信息，请问哪位同学获胜？ 2. 如图某堤坝的横截面是梯形 ABCD，背水坡 AD 的坡度 i（即 ）为tan1 1.2，坝高为 5 米，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶 CD 加宽 1 米，形成新的背水坡
12、EF，其坡度为 11.4，已知堤坝总长度为 4000 米（1 ）求完成该工程需要多少土方 （2 ）该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成按原计划需要 20 天准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高 30%，乙队工作效率提高 40%，结果提前 5 天完成问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？ 3. 某农户种植一种经济作物，总用水量 （米 ）与种植时间 （天）之间的函数y3x关系式如图 10 所示（1 ）第 天的总用水量为多少米 ？203（2 ）当 时，求 与 之间的函数关系式 xyx（3 ）种植时间为多少天时，总用水量达到 7000 米 ？3部门经理小
13、张这个经理的介绍能反映该公司员工的月工资实际水平吗？欢迎你来我们公司应聘！我公司员工的月平均工资是2500 元，薪水是较高的4.某高科技产品开发公司现有员工 50 名，所有员工的月工资情况如下表：员工 管理人员 普通工作人员人员结构总经理部门经理科研人员销售人员高级技工中级技工勤杂工员工数( 名) 1 3 2 3 24 1每人月工资 (元) 21000 8400 2025 2200 1800 1600 950请你根据上述内容，解答下列问题：（1 ）该公司“高级技工”有 名；（2 ）所有员工月工资的平均数 为 2500 元，x中位数为 元，众数为 元；（3 ）小张到这家公司应聘普通工作人员 请你
14、回答右图中小张的问题，并指 出 用 （ 2） 中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；（4 ）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资 （结果y保留整数） ，并判断 能否反映该公司员工的月工资实际水平y5.某旅游胜地欲开发一座景观山从山的侧面进行堪测，迎面山坡线 ABC 由同一平面内的两段抛物线组成，其中 AB 所在的抛物线以 A 为顶点、开口向下，BC 所在的抛物线以 C 为顶点、开口向上以过山脚（点 C）的水平线为 x 轴、过山顶（点 A）的铅垂线为 y 轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米） 已知 AB 所在抛物线的解析式为，BC 所在抛物线的解析式为 ，且已
15、知 8412x 2)8(41y)4,(mB（1 ）设 是山坡线 AB 上任意一点，用 y 表示 x，并求点 B 的坐标；),(yP（2 ）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶这种台阶每级的高度为 20 厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于 20 厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图） 分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米） ；这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？（3 ）在山坡上的 700 米高度（点 D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站索道的起点选择在山脚水平线上的点 E 处， （米） 假设索道 DE160O可近似地看成一段以 E 为顶点、开口向上的抛物线，解析式为 试求索道的最大悬
16、空高度2)16(8xyO xyABCmD47上山方向 E长度高度中考数学专题复习 实际应用题参考答案1解一：设乙同学的速度为 米/秒，则甲同学的速度为 米/秒， 根据题意，得x1.2x， 解得 经检验， 是方程的解，且符合题意 6050.2x2.55甲同学所用的时间为： （秒） ， 乙同学所用的时间为：61.x（秒） 604x， 乙同学获胜 2解二：设甲同学所用的时间为 秒，乙同学所用的时间为 秒， 根据题意，得xy解得 经检验， ， 是方程组的解，且符合5061.yx， 264.y， 26x4题意， 乙同学获胜 y2（）作 DGAB 于 G，作 EHAB 于 H. CDAB，EHDG ， A
17、G=6 米, ，FH=7 米， FA=FH+GH-AG=7+1-.1AD4.1FHE6=2（米） SADEF= （ED+AF）EH= (1+2)5=7.5（平方米）V=7. 54000=30000 (立方米) 22(2)设甲队原计划每天完成 x 立方米土方，乙队原计划每天完成 y 立方米土方.根据题意，得 化简，得.30%)41()3015,(yy.24.3,yx解之，得 答：甲队原计划每天完成 1000 立方米土方，乙队原计划每天完.501yx成 500 立方米土方. 3 解：（1）第 2天的总用水量为 10米 3 （2 ）当 x0时，设 ykxb函数图象经过点（20，1000） ， （30
18、，4000） bk4 解得503bk y与 x之间的函数关系式为： y=300 x5000 （3 ）当 y =7000 时 有 7000=300 5000 解得 x=40 答 ：种植时间为 40 天时，总用水量达到 7000 米 3 4.（1）由表中数据知有 16 名； （2）由表中数据知中位数为 1700；众数为 1600； （3 ）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平 用 1700 元或 1600 元来介绍更合理些 （说明：该问中只要写对其中一个数据或相应统计量（中位数或众数）也可以）（ 4） 1713（元） 能反映25018406yy5.（1） 是山坡线 AB 上任意一点，
19、， ， ),(xP 8412x0， ， 4，842yxy82)4,(mB)4,(B（2 ）在山坡线 AB 上， ，x)8,0(A令 ，得 ；令 ，得80y09.72.1y 0894.2.1x第一级台阶的长度为 （百米） （厘米） 084.x84同理，令 、 ，可得 、2.082y 2.3y1269.0x15492.03x第二级台阶的长度为 （百米） （厘米） 075.1x37第三级台阶的长度为 （百米） （厘米） 2843.3284取点 ，又取 ，则)4,(B02.4y 90.38.x 1.09.3这种台阶不能从山顶一直铺到点 B，从而就不能一直铺到山脚 （注：事实上这种台阶从山顶开始最多只能
20、铺到 700 米高度，共 500 级从 100 米高度到 700 米高度都不能铺设这种台阶解题时取点具有开放性）另解：连接任意一段台阶的两端点 P、Q，如图这种台阶的长度不小于它的高度 45PQR当其中有一级台阶的长大于它的高时，在题设图中，作 于 HOAB则 ，又第一级台阶的长大于它的高45AH这种台阶不能从山顶一直铺到点 B，从而就不能一直铺到山脚 （3 ）、 、 、)7,2(D)0,16(E)4,(B)0,8(C由图可知，只有当索道在 BC 上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值 索道在 BC 上方时，悬空高度 2)16(xy2)8(4x)96403(12x30143当 时，x8may索道的最大悬空高度为 米30PQRO xyABC4 ED47 上山方向
