1、第十三讲 从三角形内角和谈起三角形的内角和等于 180(也称一个平角)是三角形的一个基本性质从它出发可引出下面两个事实： (1)三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和如图 1 35 所示延长三角形的三条边，由三角形一条边及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角来源:gkstk.Com如图 135 中的1，2，3 ，4，5，6由于1+ABC=180(平角)，又BAC+ BCA+ ABC=180 ，所以1= BAC+BCA同法可证3=BAC+ ABC，5=ABC+ ACB(2)n 边形的内角和等于(n-2)180 如图 1 36 所示以 n 边形 A1A2An 的某一个顶点(如
2、A1)为共同顶点，将这个 n 边形 “分割成” n-2 个三角形A1A2A3， A1A3A4， ， A1An-1An由于每一个三角形的内角和等于 180，所以，这 n-2 个三角形的内角和(即 n 边形的内角和)为(n-2)180(详证见后面例 6)三角形内角和等于 180这个事实有着广泛的应用例 1 如图 137 所示平面上六个点 A，B， C，D，E，F 构成一个封闭折线图形求：A+B+C+D+E+ F来源:学优说明 依据图形的特点，利用几何图形的性质将分散的角集中到某些三角形之中，是利用三角形内角和性质的前提例 2 求如图 138 所示图形中A+B+ C+D+ E 的大小例 3 如图 1
3、40 所示在ABC 中，B 的平分线与C 的外角平分线交于 D，且D=30求 A 的度数说明 解决本题的关键在于两条角平分线架起了ABC 与BCD 之间的桥梁，完成了从已知向未知的过渡细心审题，发现已知与所求之间的联系，常是解题的重要前提例 4 如图 1-41 所示A=10，ABC=90 ， ACB=DCE，ADC=EDF，CED=FEG求F 的度数 来源:GKSTK.Com例 5 如图 142 所示ABC 的边 BA 延长线与外角ACE 的平分线交于 D求证：BAC B由于多边形可以分割为若干个三角形，因而多边形的内角和可以转化为三角形内角和来计算下面我们来求 n(n3 的自然数)边形的内角
4、和例 6 n 边形的内角和等于 (n-2)180说明(1)从具体的简单的问题入手常能找到解决复杂问题的思路如本题从 n=4，5 入手，找到将多边形分割为三角形的方法(这是一个本质的方法)，从而可以推广到 n 为任意自然数的范围中去(2)各条边都相等，各个内角都相等的多边形称为正多边形由本例自然可以推出正 n边形每一个内角的大小设正 n 边形的一个内角大小为 ，则n 边形的内角和= ，180)2(n所以例如正五边形的内角的度数为 1085)2(正十边形的内角度数为 410)(练习十三1如图 146 所示A+B+ C+D+E 的大小2如图 147 所示求 A+B+ C+D+E 的大小3如图 148 所示求A+B+ C+D+E+F 的大小4如图 1-49 所示求a+ B+ C+D+E+F+G 的大小5如图 150 所示ABC 中，AE 是A 的平分线， CDAE 于 D求证：ACDB6若多边形内角和分别为下列度数时，试分别求出多边形的边数：(1)1260；(2)2160来源:GKSTK.Com来源 :学优 GKSTK7证明： n 边形的外角和等于 360
