1、第六章 频率与概率一. 本周教学内容：频率与概率学习目标1. 经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展同学们合作交流的意识和能力。2. 通过实验等活动，理解事件发生的频率与概率之间的关系，加深对概率的理解，进一步体会概率是描述随机现象的数学模型。3. 能 运 用 列 表 法 计 算 简 单 事 件 发 生 的 概 率 ， 能 用 实 验 或 模 拟 实 验 的 方 法 估 计 一 些 复 杂 的随 机 事 件 发 生 的 概 率 。4. 结合具体情境，初步感受统计推断的合理性，进一步体会概率与统计之间的关系。二. 重点、难点：1. 注重合作、交流活动，在活动中促进知识的学习，并进一步发展合
2、作，交流的意识和能力。随 着 现 代 化 社 会 的 迅 猛 发 展 ， 单 个 个 体 在 社 会 中 的 作 用 已 显 得 越 发 渺 小 ， 更 多 的 事 务要 求 人 们 的 合 作 与 交 流 。 因 此 培 养 合 作 交 流 的 意 识 和 能 力 已 经 成 为 现 代 教 学 活 动 的 重 要 目标 之 一 。 本 部 分 内 容 的 学 习 为 此 提 供 了 一 个 较 好 的 机 会 。 本 章 中 ， 实 验 频 率 稳 定 于 理 论 概率 ， 必 须 借 助 大 量 重 复 实 验 。 而 课 堂 教 学 时 间 是 有 限 的 ， 在 有 限 的 时 间
3、内 ， 一 个 学 生 完 成的 实 验 自 然 不 会 很 多 ， 而 且 易 于 理 解 为 静 态 的 ， 难 以 得 出 实 验 频 率 稳 定 于 理 论 概 率 这 一 结论 ， 所 以 必 须 综 合 多 个 人 甚 至 全 班 同 学 的 实 验 数 据 ， 在 用 实 验 估 计 随 机 事 件 发 生 的 概 率 时 ，也 是 这 样 。 因 此 ， 在 学 习 中 ， 务 必 注 重 和 其 它 同 学 的 合 作 、 交 流 。 以 此 促 进 知 识 的 学 习 ，并 进 一 步 发 展 学 生 合 作 交 流 的 意 识 和 能 力 。2. 注重积极参与实验活动。在
4、实验中体会频率的稳定性，感受实验频率与理论概率之间的关系。并形成对概率的全面理解，发展初步的辩证思维能力。实验频率稳定于理论概率应该是本章的教学重点，它是用实验的方法估计随机事件发生的概率的基础。但在本阶段，又难以给一个理论的解释。因而只能借助于大量重点实验去进行感悟，所以，我们在学习中一定要积极参与实验。另外，我们在实验中通过大量实验还会发现，实验频率并不一定等于理论概率。虽然多次实验的频率逐渐稳定于其理论概率，但也可能无论做多少次实验，实验频率仍然是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率，两者存在一定的偏差。应该说，偏差的存在是正常的、经常的。例如，在理论上“随意抛掷一枚硬币，落地后国
5、徽朝上”发生的概率为 12，但实验 100 次，并不能保证恰好 50 次国徽朝上，50 次国徽朝下，只有通过动手真正操作，才能体会到这一点。事实上，做 100 次掷币实验恰好 50 次朝上，50 次朝下的可能性仅为 8%左右。因此，对概率的理解应是多方面的，概率的实验估算，理论计算以及频率与概率的偏差等应是理解概率的一个不可分割的整体，应尽量领会这一点。从而形成对某一事件发生的概率的较为全面的理解，初步形成随机观念，发展初步的辩证思维能力。3. 注意揭示概率与统计之间的内在联系从数学的角度来说，统计与概率这两个学科互为基础。它们是一个密不可分的整体，概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的
6、基础上的，而统计又离不开概率的理论支撑，统计推断、估计，假设检验等统计方法的合理性和科学性都有赖于概率理论的严密性。具体来说，本章中实验频率稳定于理论概率，用实验方法估计随机事件发生的概率等活动本身就是一个统计活动，而“池塘里有多少条鱼”的估计方法的理论依据则是概率问题。在学习时，要注意理解这两者之间的联系。4. 多利用计算器等现代信息技术手段进行概率学习活动。在 理 解 实 验 频 率 的 稳 定 性 和 应 用 实 验 的 方 法 估 计 概 率 的 过 程 中 ， 我 们 首 先 通 过 具 体 的实 验 操 作 获 得 一 定 的 活 动 经 验 ， 促 进 知 识 的 建 构 。 同
7、 时 ， 在 具 体 实 验 操 作 基 础 上 ， 我 们 也可 以 利 用 现 代 化 信 息 技 术 （ 计 算 器 、 计 算 机 或 其 他 媒 体 ） ， 进 行 模 拟 实 验 ， 通 过 更 为 大 量 的模 拟 实 验 进 一 步 加 深 知 识 的 意 义 理 解 或 者 获 得 更 为 准 确 的 实 验 结 果 。5. 注重多从生活中寻找真实的、科学的概率素材。教科书已经注意了概率模型的递进性、现实性和趣味性，让我们对概率的知识产生兴趣。但书中的例子未必都能使我们对概率的理论有更明确的理解。所以，在学习时，应充分挖掘与学生生活实际密切联系而生动的生活情境，相信这些例子一
8、定能让我们积极高效地进行学习。【典型例题】例 1. 两袋分别盛着写有 0、1、2、3、4、5 六个数字的六张卡片，从每袋中各取一张，求所得之和等于 6 的概率，现有小刚和小颖分别给出了下列两种不同解答。小 刚 的 解 答 ： 两 数 之 和 共 有 、 、 、 ， 这 种 不 同 的 结 果 ， 因 此2310所 求 的 概 率 为 。1小 颖 的 解 法 ： 从 每 袋 中 各 任 取 一 张 卡 片 共 种 取 法 ， 其 中 和 数 为 的 情 况66共 有 种 ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， （ ， ） ， 因 此 所 有的 概 率 为 。52434
9、25136请问哪一种解法正确？为什么？解：小刚的解法是错误的，小颖的解法是正确的。因为从每袋中各取一张组成两数之和可能结果有 36 种情况，且每种情况发生的可能性相同，而出现和为 6 的情况共 5 次。因 此 ， 所 得 数 字 之 和 为 的 概 率 为 ， 而 小 刚 的 错 误 是 没 有 考 虑 到 事 件 发536生的等可能性。例 2. 一个密码保险柜的密码由 6 个数字组成，每个数字都是由 09 这十个数字中的一个，王叔叔忘记了其中最后面的两个数字，那么他一次就能打开保险柜的概率是多少？解：他前面的 4 个数字都已知道，只有最后两个数字忘记了，而最后两个数字每个数字出现的可能都有
10、10 种情况，那么组成两个数字的可能结果就有 100 种，因此正好是密码上的最后两个数字的概率是 10。例 3. 袋中有红色、黄色、蓝色、白色球若干个，小刚又放入 5 黑球后，小颖通过多次的摸球实验后，发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为25%、30%、30%、10%、5%，试估计袋中红色球、黄色球、蓝色球及白色球各有多少个？解：小 刚 放 入 个 黑 球 后 ， 摸 到 的 黑 色 球 的 频 率 为 ， 则 可 以 由 此 估 计 出 袋55%中 共 有 球 （ 个 ） ， 说 明 此 时 袋 中 可 能 有 个 球 （ 包 括 个 黑 球 ） ， 则红 色 球 个 ， 黄 色
11、 球 个 ， 蓝 色 球 个 ，白 色 球 个 。5%101052103%30%例 4. 要 想 知 道 一 个 鱼 缸 里 有 几 条 鱼 ， 只 要 数 一 数 就 可 以 了 ， 但 你 能 用 所 学 的 知 识 估 计 一个 鱼 塘 里 有 多 少 条 鱼 吗 ？解：我们可以先捞出若干条鱼，将它们记上标记，然后再放回鱼塘，经过一段时间后，再从中随机捕捞若干条鱼，并以其中有标记的鱼的比例作整个鱼塘中有标记的鱼的比例，据此估计鱼塘里鱼的数量。此题还有其它解法吗？请同学们思考！例 5. 在一个有 10 万人的小镇，随机调查了 2000 人，其中有 250 人看中央电视台的早新闻，在该镇随便
12、问一个人，他看早新闻的概率大约是多少？解： 查 中 有可 以 看 成 一 个 样 本 。 调人 ，人 的 小 镇 随 机 调 查万从 201025人 看 早 新 闻 ， 那 么 这 个 事 件 的 频 率 应 为 。 我 们 可 以 用 它 来 估 计 ，在 小 镇 中 随 便 问 一 个 人 ， 看 早 新 闻 的 概 率 其 值 为 。5012.【模拟试题】一. 填空题（每小题 5 分，共 15 分）1. 一个正六面体的骰子，六个面分别标有 16 个点，如果有这样的两个骰子，同时掷出，和为 10 点的概率是_。2. 往一个装了很多黑球的袋子里放入 10 个白球，每次倒出 5 个，记下所倒出
13、的白球的数目，再把它们放回去，共倒了 120 次，倒出白球共 180 个，袋子里原有黑球约_个。3. 某生好逸恶学，已知某次考试有 100 道的单项选择题，所有单项选择题都只有四个选项，且只有一个正确，选对一个得 1 分，不选或选错均不得分。该生所有题都不会做，便在考试中做了四个标有 A、B、C、D 的签，靠抽签来决定选项。他每个题答对的概率为_。估计该生此次考试能得_分。二. 选择题（每小题 5 分，共 15 分）1. 设甲投掷一个一元硬币，乙投掷两个一元硬币，则乙投掷均为正面的概率和甲投掷出现正面的概率之比是（ ）A. 1/4 B. 3/8 C. 1/2 D. 2/32. 小美在自助餐店排
14、队，准备挑选一种肉类，二种不同蔬菜，以及一种点心。若不计较食物的挑选次序，则她可以有（ ）种不同选择方法？肉类：牛肉、鸡肉、猪肉蔬菜：烤豆、玉米、马铃薯、蕃茄点心：奶黄派、巧克力蛋糕、巧克力布丁、冰淇淋A. 4 B. 24 C. 72 D. 80E. 1443. 下列说法正确的有（ ）A. 某事件发生的概率为 12，这就是说：在两次重复的试验中，必有一次发生。B. 一 个 袋 子 里 有 100 个 球 ， 小 明 摸 了 8 次 ， 每 次 都 只 摸 到 黑 球 ， 没 摸 到 白 球 ， 结 论 ：袋 子 里 面 只 有 黑 色 的 球C. 将两枚一元硬币同时抛下，可能出现的情形有：两枚
15、均为正，两枚均为反，一正一反；所以出现一正一反的概率是 13D. 全年级有 400 名同学，一定会有 2 人同一天过生日三. 解答题（70 分）1. （10 分）将一副扑克牌中的 K 和大小王取出，在剩余的 48 张牌中，小美随意抽出一张牌后，小明也抽出一张，两张牌的数字相加得 13 的概率是多少？2. （12 分）九年级一班有 50 名学生，你认为有两人同一天过生日的概率是多少？三个人同一天过生日的概率是多少？3. （12 分）某种福利彩票（29 选 7）规定：从 129 这 29 个数字中选择 7 个（可以重复） ，如果有两个与公布的中奖号码相同，既可获五等奖，请问每份彩票获得五等奖的概率
16、是多少？如果 7 个号码都与公布的一致， （顺序不记）则可获大奖，请问每份彩票获得大奖的概率是多少？4. （16 分）张先生欲转让其承包的养殖观赏鱼锦鲤的池塘，为了估算产值，需了解池塘内锦鲤的数目，请你帮他设计一个方案。5. （20 分）某可乐公司利用周末促销活动：每购买一听可乐，便可参加摇奖一次，摇奖牌（如图所示）：是将一个圆平均分成了 8 个扇形。 谢 谢 谢 谢 谢 谢 谢 谢（1）中奖的概率是多少？（2）中奖得 4 听可乐的概率是多少？（3）如果促销活动当天能卖出可乐 1000 听，那么该促销点当天应准备奖品可乐多少听？（4）已知一听可乐的成本是 1 元，售价 2 元，摊位费 100 元/天，那么每个促销点在周六、周末两天的促销活动中，公司净赔还是净挣？金额多少？【试题答案】一. 填空题。1. 122. 约 23 个 3. 25%，25二. 选择题。1. C 2. C 3. D三. 解答题。1. 472. 4936548365， 3. （1）5.8% （2） 10.4. 将 a 条普通鲤鱼放入池塘中，反复捕捞 n 次。 （n 要足够大） ，统计出总共捕捞的条数b 和捕捞的普通鲤鱼的条数 c，使用公式 axcb， 、 、 已知，可求 x。5. （1） 2（2） 8（3）625 听 （4）净挣 500 元
