1、解读考点知 识 点 名师点晴等腰三角形与直角三角形来源:学优高考网 gkstk利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题来源:gkstk.Com来源:学优高考网 gkstk来源:学优高考网来源:学优高考网动点问题中的特殊图形 相似问题 利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题的最值与定值问题 理解最值或定值问题的求法动点问题中的计算问题动点问题的面积问题 结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函数图象问题一次函数或二次函数的图象 结合函数的图象解决动点问题2 年中考2014 年题组1.（2014 年甘肃天水）如图，扇形 OAB 动点 P 从点 A 出发，沿 B线段
2、 BO、OA 匀速运动到点 A，则OP 的长度 y 与运动时间 t 之间的函数图象大致是（ ）【答案】D考点：1动点问题的函数图象；2分类思想的应用2.（2014 年贵州安顺）如图，MN 是半径为 1 的O 的直径，点 A 在O 上，AMN=30，点 B 为劣弧AN 的中点点 P 是直径 MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（ ）A. 2 B. 1 C. 2 D. 2【答案】A【解析】试题分析：作点 B 关于 MN 的对称点 B，连接 OA、OB、OB、AB，根据轴对称确定最短路线问题可得AB与 MN 的交点即为 PA+PB 的最小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的
3、 2 倍求出AON=60，然后求出BON=30，再根据对称性可得BON=BON=30，然后求出AOB=90，考点：1.轴对称的应用（最短路线问题） ；2.圆周角定理；3. 等腰直角三角形的判定和性质3.（2014 年安徽省）如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，动点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方向在AB 和 BC 上移动，记 PA=x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是【 】A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】试题分析：动点 P 从 A 点出发，按 ABC 的方向在 AB 和 BC 上移动，分两种情况讨论：当点 P 在 AB 上移动时，
4、04，此时，点（1， 34）应在 y= 12的一半上方，从而可排除 C 选项。故选 A。考点：动点问题的函数图象，勾股定理，等边三角形的判定和性质2. （2013 年浙江金华、丽水）如图 1，在 RtABC 中，ACB=90 0，点 P 以每秒 1cm 的速度从点 A 出发，沿折线 ACCB 运动，到点 B 停止。过点 P 作 PDAB，垂足为 D，PD 的长 y（cm）与点 P 的运动时间x（秒）的函数图象如图 2 所示。当点 P 运动 5 秒时，PD 的长是【 】A1.5cm B1.2cm C 1.8cm D2cm【答案】B。【解析】试题分析：由图 2 知，点 P 在 AC、CB 上的运动
5、时间时间分别是 3 秒和 4 秒，点 P 的运动速度是每秒 1cm ，AC=3，BC=4。在 RtABC 中，ACB=90 0，根据勾股定理得：AB=5。如图，过点 C 作 CHAB 于点 H，则易得ABCACH。 HAB，即 BC34125。如图，点 E（3， 125） ，F（7，0） 。学优高考网设直线 EF 的解析式为 ykxb，则123kb507，解得：3k521。直线 EF 的解析式为 321yx5。当 x时， 36PDy.2cm5。故选 B。考点：相似三角形的判定和性质，分类思想和数形结合思想的应用3. （2013 年浙江衢州）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，P 为正方形边上
6、一动点，沿 ADCBA 的路径匀速移动，设 P 点经过的路径长为 x，APD 的面积是 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 的函数关系的是（ ）A B C D【答案】B。【解析】试题分析：当点 P 由点 A 向点 D 运动时，y 的值为 0；当点 p 在 DC 上运动时，y 随着 x 的增大而增大；当点 p 在 CB 上运动时，y 不变；当点 P 在 BA 上运动时， y 随 x 的增大而减小。学优高考网故选 B。 考点：动点问题的函数图象4. （2013 年山东莱芜）如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，N 为 AC 的三等分点，三角形边上的动点 M从点 A 出发，沿 ABC 的方向运动
7、，到达点 C 时停止设点 M 运动的路程为 x，MN 2=y，则 y 关于 x 的函数图象大致为（ ）A B C D【答案】B。【解析】试题分析：分析 y 随 x 的变化而变化的趋势，应用排它法求解，而不一定要通过求解析式来解决：等边三角形 ABC 的边长为 3，N 为 AC 的三等分点，AN=1 。当点 M 位于点 A 处时，x=0，y=1 。当动点 M 从 A 点出发到 AM= 12的过程中，y 随 x 的增大而减小，故排除 D；当动点 M 到达 C 点时，x=6，y=31=2，即此时 y 的值与点 M 在点 A 处时的值不相等，故排除 A、C 。学优高考网故选 B。考点：动点问题的函数图
8、象, 等边三角形的性质。5 （2013 年江苏苏州） 如图，在平面直角坐标系中， RtOAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（3， ） ，点 C 的坐标为（ 12，0） ，点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PAPC 的最小值为（ ）A 132 B 312 C 3192 D2 7【答案】B。【解析】试题分析：如图，作点 C 关于 OB 的对称点 C，交 OB 于点 D，连接 AC交 OB 于点 P，根据轴对称的知识可知，此时 A C=PAPC 最小。过点 C作 CHx 轴于点 H，点 B 的坐标为（3 ， 3） ， 03tanAOB3。点 C 的坐标为（ 12，0） ，
9、 11CDsinB24， 。C C=2CD= 。又 0HAOB3， 31HcosCHCsinH44 ， 。OH= 124。HC= 14。在 RtA CH 中，根据勾股定理，得：2222131A 4。PAPC 的最小值为 312。学优高考网故选 B。考点：动点问题，轴对称的应用（最短线段问题）6.（2013年河北省）如图，梯形ABCD中，ABDC，DEAB，CFAB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B 停止.设运动时间为t秒，y = SEPF ，则y与t的函数图象大致是（ ）A B C D【答案】A。【解析
10、】分三段考虑，点 P 在 AD 上运动，点 P 在 DC 上运动，点 P 在 BC 上运动，分别求出 y 与t 的函数表达式，继而可得出函数图象：在 Rt ADE 中， 2ADE13，在 Rt CFB 中， BCF。点 P 在 AD 上运动时，过点 P 作 PMAB 于点 M，则 12PAsint3，此时 130yEFt2，为一次函数。点 P 在 DC 上运动， 1yEFD02。点 P 在 BC 上运动，学优高考网过点 P 作 PNAB 于点 N，则12NBsinACBt3t13，此时 0yEFt2，为一次函数。综上可得选项 A 的图象符合。故选 A。考点：动点问题的函数图象7. （2013
11、年重庆市）如图，对称轴为直线 x1的抛物线 2yaxbca0与 x 轴相交于 A、B 两点，其中 A 点的坐标为（3，0 ） 。（1）求点 B 的坐标；（2）已知 a1，C 为抛物线与 y 轴的交点。若点 P 在抛物线上，且 POCBS4，求点 P 的坐标；设点 Q 是线段 AC 上的动点，作 QDx 轴交抛物线于点 D，求线段 QD 长度的最大值。【答案】 （1）A、B 两点关于对称轴 x1对称 ，且 A 点的坐标为（3，0） ，点 B 的坐标为（ 1，0） 。（2）抛物线 a，对称轴为 ，经过点 A（3，0） ， 2b1a93c0，解得ab2c3。抛物线的解析式为 2yx。B 点的坐标为（
12、0， 3） 。OB=1，OC=3。 BOC13S2。设点 P 的坐标为 2p，则 POC3p。 OCBS4， 6，解得 p2。当 p2时， 2p35；当 时， 3，点 P 的坐标为（2，5）或（2，3） 。设直线 AC 的解析式为 ykxb，将点 A，C 的坐标代入，得：3kb0，解得： 13。直线 AC 的解析式为 yx3。点 Q 在线段 AC 上，设点 Q 的坐标为 q3 ，。又QDx 轴交抛物线于点 D，点 D 的坐标为 2q。 2239Dq3q3q4。 a100，-，线段 QD 长度的最大值为 。【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称性直接得点 B 的坐标。（2）用待定系数法求出抛物线
13、的解析式，学优高考网从而可得点 C 的坐标，得到 BOCS，设出点 P 的坐标，根据 POCBS4列式求解即可求得点 P 的坐标。用待定系数法求出直线 AC 的解析式，由点 Q 在线段 AC 上，可设点 Q 的坐标为q3，从而由 QDx 轴交抛物线于点 D，得点 D 的坐标为 2q3，从而线段 QD 等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理求解。考点：二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系8（2013 年湖北襄阳）如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点 A 的坐标为（1，0） ，对称轴为直线 x=2（1）求抛物线与 x
14、轴的另一个交点 B 的坐标；（2）点 D 是抛物线与 y 轴的交点，点 C 是抛物线上的另一点已知以 AB 为一底边的梯形 ABCD 的面积为 9求此抛物线的解析式，并指出顶点 E 的坐标；（3）点 P 是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以 1 个单位/秒的速度从此抛物线的顶点 E 向上运动设点 P 运动的时间为 t 秒当 t 为 秒时，PAD 的周长最小？当 t 为 秒时，PAD 是以 AD 为腰的等腰三角形？（结果保留根号）点 P 在运动过程中，是否存在一点 P，使PAD 是以 AD 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）由抛物线的轴对称性及
15、 A（1，0） ，可得 B（3，0） 。（2）设抛物线的对称轴交 CD 于点 M，交 AB 于点 N，由题意可知 ABCD，由抛物线的轴对称性可得 CD=2DM。MNy 轴，ABCD ，四边形 ODMN 是矩形。DM=ON=2。CD=22=4。A（1，0） ，B（3，0） ，AB=2。梯形 ABCD 的面积= 12（AB+CD ）OD=9，OD=3 ，即 c=3。把 A（1，0） ，B（3，0）代入 y=ax2+bx+3 得ab9，解得 a1b。y=x 2+4x+3将 y=x2+4x+3 化为顶点式为 y=（x+2） 21，得 E（2，1） 。（3）2； 4 或 6或 4。存在。APD=90，
16、PMD=PNA=90，PDM+APN=90，DPM+PDM=90。PDM=APN。PMD=ANP，APNPDM。 ANPMD，即 1PN32。PN 23PN+2=0，解得 PN=1 或 PN=2。P（2，1）或（2，2） 。【解析】试题分析：（1）根据抛物线的轴对称性可得抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标。（2）先根据梯形 ABCD 的面积为 9，可求 c 的值，再运用待定系数法可求抛物线的解析式，转化为顶点式可求顶点 E 的坐标。（3）根据轴对称最短路线问题的求法可得PAD 的周长最小时 t 的值；根据等腰三角形的性质可分三种情况求得PAD 是以 AD 为腰的等腰三角形时 t 的值。先
17、证明APNPDM，根据相似三角形的性质求得 PN 的值，从而得到点 P 的坐标。考点：二次函数综合题，单动点问题，二次函数的性质，轴对称（最短路线问题） ，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用考点归纳归纳 1：动点中的特殊图形基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质。【
18、例 1】如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3cm，BC=4cm动点 P 从点 B 出发，以每秒 1cm 的速度沿射线 BA 运动，求出点 P 运动所有的时间 t，使得PBC 为等腰三角形.【答案】符合要求的 t 的值有 3 个，分别是 ，4， (秒).52 325【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质，此题要分类讨论三边中腰的情况，所以应有 3 种可能，然后利用两腰相等即可得出答案.试题解析：在 RtABC 中，ACB=90，AC=3cm，BC=4cmAB=5 cm. 由运动可知，BP=t，且PBC 为等腰三角形有三种可能：若 BP=PC，则B=PCB.ACB=90，PAC=PCA
19、，PC=PA，t=BP= AB= . 12 52若 BP=BC，则 t=4. 若 BC=PC，过点 C 作 CHAB，则 BP=2BH.由 CHAB=BCAC，得 CH= . 125在 RtBHC 中，由勾股定理得 BH= . 165t=BP= .325综上所述，符合要求的 t 的值有 3 个，分别是 ，4， (秒). 52 325考点：等腰三角形的性质与判定.归纳 2：动点问题中的计算问题基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题。 基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次
20、函数、相似等内容。注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合。【例 2】如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=6，BC=8，AD 是BAC 的平分线若 P，Q 分别是 AD 和AC 上的动点，则 PC+PQ 的最小值是（ ）A 125 B 4 C 245 D 5【答案】C【解析】试题分析：如图，过点 C 作 CHAB 交 AB 于点 H，交 AD 于点 P，过点 P 作 PQAC 于点 Q，AD 是BAC 的平分线，PQ=PH，这时 PC+PQ 有最小值，即 CH 的长度，AC=6，BC=8，ACB=90，AB= 2286BCA=10S
21、 ABC = 1ABCH= ACBC，CH= 5241086ABC，PC+PQ 的最小值为 245.故选 C考点：1轴对称的应用（最短路线问题） ；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.直角三角形的面积归纳 3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合。基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线。注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势。【例 3】如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，点 E 在边 AD 上，ABE=45，BE=DE，
22、连接 BD，点 P 在线段 DE上，过点 P 作 PQBD 交 BE 于点 Q，连接 QD设 PD=x，PQD 的面积为 y，则能表示 y 与 x 函数关系的图象大致是（ ）【答案】C.【解析】试题分析：ABE=45，A=90，ABE 是等腰直角三角形，AE=AB=2，BE= 2AB=2 ，BE=DE，PD=x，PE=DEPD=2 2x，PQBD，BE=DE，QE=PE=22x，又ABE 是等腰直角三角形（已证） ，点 Q 到 AD 的距离= （2 x）=2 2x，PQD 的面积 y=x（2 2x）= 4（x 22 x+2）= 4（x ） 2+ ，即 y= 24（x ） 2+ ，纵观各选项，只
23、有 C 选项符合考点:动点问题的函数图象1 年模拟1(2015 届山东省新泰市楼德镇第一中学九年级上学期学业水平模拟数学试卷)如图，点 P 按 ABCM的顺序在边长为 1 的正方形边上运动，M 是 CD 边上的中点设点 P 经过的路程 x 为自变量，APM 的面积为 y，则函数 y 的大致图象是（ ）【答案】A【解析】 试题分析：当点 P 在 AB 上时，如图：y= 12x （0x1） 当点 P 在 BC 上时，如图：PB=x-1，PC=2-x，y=S 正方形 ABCD-SADM -SABP -SPCM =1- 14- 2（x-1）- 1 2（2-x）=- 14x+ ，y=- 14x+ 3（1
24、x2）当点 P 在 CM 上时，如图，MP=2.5-x，y= 2（2.5-x）=- 2x+ 54 （2x2.5）得到的三个函数都是一次函数，由一次函数的图象与性质可以确定 y 与 x 的图形只有 A 的图象是三个一次函数，且在第二段上 y 随 x 的增大而减小，故选 A考点：1.动点问题的函数图象；2.三角形的面积；3.正方形的性质2(2015 届山东省滕州市)如图，E，B，A，F 四点共线，点 D 是正三角形 ABC 的边 AC 的中点，点 P是直线 上异于 A，B 的一个动点，且满足 30CP，则( )A点 P一定在射线 BE上 B点 P一定在线段 AB上C点 可以在射线 AF上，也可以在
25、线段 上 D点 P可以在射线 BE上，也可以在线段【答案】B.【解析】 试题分析：连接 BD、PC、PD，如图，ABC 等边三角形，CBD=30，又CPD=30，CBD=CPD，B、C、D、P 四点共圆，又BDC=90，点 P 在以 BC 为直径的圆上，点 P 一定在线段 AB 上故选 B考点：1.圆周角定理；2.等边三角形的性质3.(2015 届安徽省铜陵市四校九年级开学联考数学试卷)如图，正方形 ABCD 的边长为 3，点 E，F 分别在边AB，BC 上，AE=BF=1，小球 P 从点 E 出发沿直线向点 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当小球 P 第 n（n 为
26、正整数）次碰到点 F 时，小球 P 所经过的路程为（ ）A 65n B 5n C 65n D 54n【答案】C【解析】试题分析：根据已知中的点 E，F 的位置，可知入射角的正切值为 12，第一次碰撞点为 F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得，第二次碰撞点为 G，在 DA 上，且 DG= 16DA，第三次碰撞点为 H，在 DC 上，且 DH= 13DC，第四次碰撞点为 M，在 CB 上，且 CM= 3BC，第五次碰撞点为 N，在DA 上，且 AN= 16AD，第六次回到 E 点，AE= AB由勾股定理可以得出 EF= 5，FG= 2，GH= 15，HM= ，MN=
27、 52，NE= 1，故小球第一次碰到点 F 路程为：EF= ，小球第二次碰到点 F 路程为： + 3+ + + 3+ 52+ =7， 小球第 n 次碰到点 F 路程为： 65n故选 C考点：1正方形的性质；2轴对称的性质4.(2015 届浙江省宁波市宁海县东片九年级上学期第三次月考数学试卷)如图，RtABC 中，C=90，AC=3，BC=4，P 是斜边 AB 上一动点（不与点 A、B 重合） ，PQAB 交ABC 的直角边于点 Q，设 AP 为x， APQ 的 面 积 为 y， 则 下 列 图 象 中 ， 能 表 示 y 关 于 x 的 函 数 关 系 的 图 象 大 致 是 （ ）【答案】C
28、【解析】试题分析：当点 Q 在 AC 上时，y= 12APPQ= x 43x= 2x；当点 Q 在 BC 上时，AP=x，AB=5，BP=5-x，又 cosB= 5，ABCQBP，PQ= 34BP= 5xS APQ = 12APPQ= x 354x=- 8x2+15，该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下故选 C考点：1.动点问题的函数图象；2.相似三角形的应用5(2015 届江苏省如皋市城南初级中学九年级 12 月阶段测试数学试卷)如图，ABC 为等边三角形，AB6，动点 O 在ABC 的边上从点 A 出发沿 ACBA 的路线匀速运动一周，速度为 1 个单位长度/秒，
29、以 O 为圆心、 3为半径的圆在运动过程中与ABC 的边第二次相切时是出发后（ ）A第 2 秒 B第 4 秒 C第 8 秒 D第 10 秒【答案】B.【解析】试题分析：根据题意，则作 ODBC 于 D，则 OD= 3在 RtOCD 中，C=60，OD= 3，OC=2，OA=6-2=4，以 O 为圆心、 3为半径的圆在运动过程中与ABC 的边第二次相切时是出发后第 4 秒故选 B.考点：1.直线与圆的位置关系；2.等边三角形的性质6(2015 届安徽省安庆市九年级下学期联考数学试卷)如图，在平面直角坐标系中，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，点 P 是双曲线 3yx（ 0）上的一个动点，PB
30、y 轴于点 B，当点 P 的横坐标逐渐增大时，四边形 OAPB 的面积将会（ ）A 逐渐增大 B不变 C逐渐减小 D先增大后减小【答案】C【解析】试题分析：设点 P 的坐标为（ x， 3） ，PBy 轴于点 B，点 A 是 x 轴正半轴上的一个定点，四边形OAPB 是个直角梯形，四边形 OAPB 的面积= 12（PB+AO）BO= 12（ +AO） 3x= 3122AOx，AO 是定值，四边形 OAPB 的面积是个减函数，即点 P 的横坐标逐渐增大时四边形 OAPB 的面积逐渐减小故选 C考点：反比例函数系数 k 的几何意义7 （2015 届江苏省张家港市九年级期末考试数学试卷）如图，在平面直
31、角坐标系中，四边形 OABC 是边长为 4 的正方形，M（4，m） 、N（n，4）分别是 AB、BC 上的两个动点，且 ONMN，当 OM 最小时， mn 【答案】5【解析】试题分析：OABC 是正方形，OCN=NBM=90，CON+CNO=90，ONNM，CNO+BNM=90，CNOBMN，CN：CO=BM：NB， 4nm，4m-16=n 2-4n，4m-12=n 2-4n+4=(n-2)2，(n-2) 20，4m-120，m3，OM= 216，当 OM最小时，m 最小，m3，m=3，n=2，m+n=5故答案为：5考点：1正方形的值；2相似三角形的判定与性质8.(2015 届安徽省安庆市初中
32、毕业班联考数学试卷)如图，在ABC 中，AB=AC=10，点 D 是边 BC 上一动点（不与 B，C 重合） ，ADE=B=，DE 交 AC 于点 E，且 cos= 45下列结论：ADEACD；当 BD=6 时，ABD 与DCE 全等；DCE 为直角三角形时，BD 为 8 或 25；0CE6.4其中正确的结论是 （把你认为正确结论的序号都填上）【答案】【解析】试题分析：因为 AB=AC，ADE=B=，所以ADE=B=C=，又因为DAE=DAE，所以ADEACD，所以正确；过点 A 作 AFBC，垂足为 F，因为 AB=AC=10，ADE=B=，cos= 54，所以 BF=CF=8，所以 BC=
33、16，因为 BD=6，所以 DC=10，所以 AB=DC，又因为ADE+DEC =B+BAD,所以DEC =BAD,在ABD 与DCE中，DEC =BAD，AB=DC，B=C，所以ABDDCE（ASA)所以正确；当DCE 为直角三角形时，分两种情况，当AED=90时，由可知：ADEACD，所以ADC=AED，因为AED=90，所以ADC=90，即 ADBC，因为 AB=AC，所以 BD=CD，所以ADE=B= 且 cos=54AB=10，BD=8；当CDE=90 时，易得CDEBAD，因为CDE=90，所以BADF=90，因为B= 且 cos= 54AB=10 ，所以 cosB= 54，所以 BD= 2所以正确；易证得CDEBAD，由可知 BC=16，设 BD=y，CE=x，所以 ABDCE，所以 106yx，整理得：y2-16y+64=64-10x，即(y-8) 2=64-10x，所以 0x6.4，所以正确所以都正确.考点：1.等腰三角形的性质；2.相似三角形的判定与性质；3.全等三角形的判定与性质.
