1、解读考点知 识 点 名师点晴1. 确定事件来源:gkstk.Com2. 随机事件能正确识别自然和社会想象中的一些必然事件、不可能事件、不确定事件。来源:gkstk.Com来源:学优高考网3. 频率的概念 会用频率估算事件的概率。概率 的有关概念 来源:gkstk.Com4. 概率的概念 理解概率的概念。概率的计算1、一步的概率2、多步的概率能灵活选择适当的方法求事件的概率。2 年中考2014 年题组1 （2014 年福建南平中考）一个袋中只装有 3 个红球，从中随机摸出一个是红球【 】A. 可能性为 13 B. 属于不可能事件 C. 属于随机事件 D. 属于必然事件【答案】D【分析】因为袋中只
2、装有 3 个红球，学优高考网所以从中随机摸出一个一定是红球，所以属于必然事件，故选 D考点：1.随机事件；2.可能性的大小2. （2014 年福建三明中考）小亮和其他 5 个同学参加百米赛跑，赛场共设 1，2，3，4，5，6 六个跑道，选手以随机抽签的方式确定各自的跑道若小亮首先抽签，则小亮抽到 1 号跑道的概率是【 】A. 16 B. 15 C. 12 D. 1【答案】A【分析】根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，赛场共设 1，2，3，4，5，6 六个跑道，小亮首先抽签，则小亮抽到 1 号跑道的概率是： 16故选 A考点：概
3、率公式3. （2014 年湖南长沙中考）100 件外观相同的产品中有 5 件不合格，现从中任意抽取 1 件进行检测，抽到不合格产品的概率是 【答案】 120.考点：概率公式4. （2014 年广东梅州中考）下列事件中是必然事件是【 】A、明天太阳从西边升起 B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中C、实心铁球投入水中会沉入水底 D、抛出一枚硬币，落地后正面向上【答案】C.【分析】根据必然事件、随机事件和不可能事件和意义作出判断：A、明天太阳从西边升起，是不可能事件；B、篮球队员在罚球线投篮一次，未投中，是随机事件；C、实心铁球投入水中会沉入水底，是必然事件；D、抛出一枚硬币，落地后正面向上，是随机
4、事件 .故选 C.考点：必然事件.5. （2014 年江苏南通中考）在如图所示（A，B，C 三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在 区域的可能性最大（填 A 或 B 或 C） 【答案】A.【分析】根据概率的意义，知那个区域的面积大豆子落在那个区域的可能性就大因此， 2 2 2ABCS640,S41,S4 ， BC.落在 A 区域的可能性大.考点：1.几何概率；2.转换思想的应用6. （2014 年新疆乌鲁木齐中考）在一个不透明的口袋中有颜色不同的红、白两种小球，其中红球 3 只，白球 n 只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为 34，则 n= 【答案】9考点：1.概率公式；2.分式方程
5、的应用7. （2014 年浙江台州中考）抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各 1 双（除颜色外其余都相同）在看不见的情况下随机摸出两只袜子，他们恰好同色的概率是 【答案】 13.【分析】根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况，再利用概率公式即可求得答案：画树状图得：共有 12 种等可能的结果，它们恰好同色的有 4 种情况，它们恰好同色的概率是： 4123考点：1.列表法或树状图法；2.概率8. （2014 年江苏南京中考）从甲、乙、丙三名同学中随机抽取环保志愿者，求下列事件的概率：（1）抽取 1 名，恰好是甲；（2）抽取 2 名，甲在其中.【答案】解：（ 1）
6、从 甲 、 乙 、 丙 3 名 同 学 中 随 机 抽 取 环 保 志 愿 者 ， 抽 取 1 名 ， 恰 好 是 甲 的 概 率 为 ： 13.（ 2） 抽 取 2 名 ， 可 得 ： 甲 乙 ， 甲 丙 ， 乙 丙 ， 共 3 种 等 可 能 的 结 果 ， 甲 在 其 中 的有 2 种 情 况 ， 抽 取 2 名 ， 甲 在 其 中 的 概 率 为 ： 23.【分析】 （ 1） 根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，学优高考网由 从 甲 、 乙 、 丙 3 名 同 学 中 随 机 抽 取 环 保 志 愿 者 ， 直 接 利
7、 用概率 公 式 求 解 即 可 求 得 答 案 .（ 2） 利 用 列 举 法 可 得 抽 取 2 名 ， 可 得 ： 甲 乙 ， 甲 丙 ， 乙 丙 ， 共 3 种 等 可 能 的 结 果 ， 甲 在其 中 的 有 2 种 情 况 ， 然 后 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 求 得 答 案 考点：概率.9. （2014 年内蒙古包头、乌兰察布中考）有四张正面分别标有数字 2，1，3， 4 的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数字记为 m，再随机地摸取一张，将卡片上的数字记为 n（1）请画出树状图并写出（m ，
8、n）所有可能的结果；（2）求所选出的 m，n 能使一次函数 y=mx+n 的图象经过第二、三、四象限的概率【答案】解：（1）画树状图得：（m，n）共有 12 种等可能的结果：（ 2，1） ， （2， 3） ， （2，4） ， （1，2） ， （1，3） ，（1， 4） ， （ 3， 2） ， （ 3，1） ， （ 3， 4） ， （ 4，2） ， （4，1 ） ， （ 4， 3）.（2）当 k0。学优高考网故选 D。考点：概率公式，不等式的应用。2. （2013 年福建南平中考）以下事件中，必然发生的是【 】A打开电视机，正在播放体育节目 B正五边形的外角和为 180 C通常情况下，水加热到
9、100沸腾 D掷一次骰子，向上一面是 5 点【答案】C。【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：A、打开电视机，可能播放体育节目、也可能播放戏曲等其它节目，为随机事件，故本选项错误；B、任何正多边形的外角和是 360，故本选项错误；C、通常情况下，水加热到 100沸腾，符合物理学原理，故本选项正确；D、掷一次骰子，向上一面可能是 1，2，3，4，5，6，中的任何一个，故本选项错误。学优高考网故选 C。考点：必然事件的确定。3. （2013 年广东佛山中考）掷一枚有正反面的均匀硬币，正确的说法是【 】A正面一定朝上 B反面一定朝上C正面比反面朝上的概率大 D正面和反面朝上
10、的概率都是 0.5【答案】D。【分析】因为掷一枚有正反面的均匀硬币，则根据正反面出现的机会均等得到正反两面的概率相等，因此，正面和反面朝上的概率都是 0.5。故选 D。考点：概率的意义。4. （2014 年新疆乌鲁木齐中考）在一个不透明的口袋中有颜色不同的红、白两种小球，其中红球 3 只，白球 n 只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为 34，则 n= 【答案】9【分析】从 3 只红球，n 只白球的袋中任取一个球，摸出白球的概率为 34， 4解得：n=9，学优高考网经检验：x=9 是原分式方程的解n=9考点：1.概率公式；2.分式方程的应用5. （2013 年福建莆田中考）经过某个路口的汽车
11、，它可能继续直行或向右转，若两种可能性大小相同，则两辆汽车经过该路口全部继续直行的概率为 【答案】 14。【分析】列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可：画树状图得出：一共有 4 种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是： 14。考点：列表法或画树状图法，概率。6. （2013 年广东深圳中考）写有“ 中国”、 “美国”、 “英国”、 “韩国” 的四张卡片，从中随机抽取一张，抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是 .【答案】 12。【分析】根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况
12、数目；二者的比值就是其发生的概率。学优高考网因此，“中国” 、 “美国”、 “英国”、 “韩国”四个国家中为亚洲国家的有“中国”、 “韩国”2 个，抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是 214。考点：跨学科问题，概率。7. （2013 年广东茂名中考）如图，四条直径把两个同心圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在白色区域的概率是 【答案】 12。【分析】根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。因此，两个同心圆被等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中白色区域的面积占了其中的四等份， 41P82在飞 镖 区 。 考点：几何概率
13、。8. （ 2013 年广西梧州中考）小李是 9 人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从 1 开始按顺序报数，小李报到偶数的概率是【 】A 23 B 49 C 12 D 19【答案】B。【分析】根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。因此，小李是 9 人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从 1 开始按顺序报数，偶数一共有 4 个。小李报到偶数的概率是： 49。故选 B。 考点：概率。9. （2013 年广东广州中考）在某项针对 1835 岁的青年人每天发微博数量的调查中，设一个人的“日均发微博条数”为 m，规定：当 m10 时为 A
14、级，当 5m 10 时为 B 级，当 0m5 时为 C 级.现随机抽取30 个符合年龄条件的青年人开展每人“日均发微博条数”的调查，所抽青年人的“日均发微博条数”的数据如下：11 10 6 15 9 16 13 12 0 8 2 8 10 17 6 13 7 5 7 3 12 10 7 11 3 6 8 14 15 12 （1）求样本数据中为 A 级的频率；（2）试估计 1000 个 1835 岁的青年人中“日均发微博条数”为 A 级的人数；（3）从样本数据为 C 级的人中随机抽取 2 人，用列举法求抽得 2 个人的“日均发微博条数”都是 3 的概率.【答案】解：（1）样本数据中为 A 级的有
15、11，10，15，16，13，12，10，17，13，12，10，11，14，15，12，共 15 个，样本数据中为 A 级的频率为 15302。（2） 1052，估计 1000 个 1835 岁的青年人中“日均发微博条数”为 A 级的人数 500 人。（3）样本数据为 C 级的人有 4 人，学优高考网“ 日均发微博条数”是 0 的有 1 人，是 2 的有 1人，是 3 的有 2 人，记“日均发微博条数” 是 0 的 1 人为 A，是 2 的为 B，是 3 的分别为 C1，C 2，样本数据为 C 级的人中随机抽取 2 人的所有情况有 6 种：（A，B） ， （A，C 1） ， （A，C 2）
16、， （B，C 1） ， （B ，C 2） ， （C 1，C 2） ，其中抽得 2 个人的“日均发微博条数”都是 3 的情况有 1 种：（C 1，C 2） ，抽得 2 个人的“日均发微博条数”都是 3 的概率是 6。【分析】 （1）根据频率=频数总量计算即可。（2）根据样本估计总体即可。（3）根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。考点：频数、频率和总量的关系，用样本估计总体，列举法，概率。10. （2013 年福建泉州中考）四张小卡片上分别写有数字 1、2、3、4，它们除数字外没有任何区别，现将它们放在盒子里搅匀（1）随机地从盒子里抽取一
17、张，求抽到数字 3 的概率；（2）随机地从盒子里抽取一张，将数字记为 x，不放回再抽取第二张，将数字记为 y，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求出点（x，y）在函数 2yx图象上的概率【答案】解：（1）根据题意得：随机地从盒子里抽取一张，抽到数字 3 的概率为 14。（2）列表如下：1 2 3 41 （2，1） （3，1） （4，1）2 （1，2） （3，2） （4，2）3 （1，3） （2，3） （4，3）4 （1，4） （2，4） （3，4） 所有等可能的情况数有 12 种，其中在反比例图象上的点有 2 种：（1，2） ， （2，1） ，点（x，y）在函数 yx图象上的概
18、率为 216。【分析】 （1）求出四张卡片中抽出一张为 3 的概率即可；（2）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，学优高考网得出点的坐标，判断在反比例图象上的情况数，即可求出所求的概率。 考点：列表法或树状图法，概率公式，反比例函数图象上点的坐标特征。考点归纳归纳 1：概率的有关概念基础知识归纳： 1、确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。2、随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。3、概率的概念一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画其发生可
19、能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A).3. 频率与概率的关系当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.基本方法归纳：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件注意问题归纳：判断事件是必须根据定义判断。【例 1】下列事件中是必然事件的是( )A明天太阳从西边升起 B篮球队员在罚球线投篮一次，未投中C实心铁球投入水中会沉入水底 D抛出一枚硬币，落地后正面向上【答案】C【解析】试题分析：必然事件就是一定会
20、发生的事件，依据定义即可判断试题解析：A是不可能事件，故 A 选项不符合题意；B是随机事件，故 B 选项不符合题意；C是必然事件，故 C 选项符合题意；D是随机事件，故 D 选项不符合题意故选：C归纳 2：概率的计算基础知识归纳：1. 公式法一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果,那么事件 A 发生的概率为 P(A) 2. 列表法当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.3. 画树状图当一次试验要涉及 3 个或更多的因素(例如从 3 个口袋中取球
21、)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.4. 几何概型一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A) A事 件 发 生 的 面 积总 面 积 ,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.基本方法归纳：根据概率的求法，找准两点：全部等可能情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率注意问题归纳：选择求概率的方法时须先判断事件是几步完成； 总结果数必须不重复不遗漏的列出所有可能的结果。【例 2】让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是 2 的倍数或是 3 的
22、倍数的概率等于（ ）A. 316 B. 38 C. 58 D. 136【答案】C.考点：概率.【分析】让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，等可能的结果有 16 种，两个数的和是 2 的倍数或是 3 的倍数的情况有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（4，2），（4，4）10 种，所求概率等于 58.故选 C. 归纳 3：频率估计概率基础知识归纳：1、利用频率估计概率在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中
23、复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。3、随机数在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。基本方法归纳：大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率.注意问题归纳：利用频率估计概率必须在大量重复试验下估算。【例 3】在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）A 频率就是概率B 频率与试验次数无关C 概率是随机的，与频率无关D 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率【答案】D.【解析】大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这
24、个事件发生的概率， A、B、C 错误，D 正确1 年模拟1、 （2015 届安徽省铜陵市四校九年级 2 月开学联考数学试卷）下列事件为必然事件的是（ ）A小王参加本次数学考试，成绩是 150 分B某射击运动员射靶一次，正中靶心C打开电视机，中央一套节目正在播新闻D口袋中装有两个红球和一个白球，从中摸出两个球，其中必有红球【答案】D【解析】试题分析：A小王参加本次数学考试，成绩是 150 分是随机事件，故 A 选项错误；B某射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故 B 选项错误；C打开电视机，中央一套节目正在播放新闻是随机事件，故 C 选项错误D口袋中装有两个红球和一个白球，从中摸出两个球，其
25、中必有红球是必然事件，故 D 选项正确；故选 D考点：随机事件2、 （2015 届安徽省铜陵县第三中学九年级下学期开学考试数学试卷）一个不透明的布袋里装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球，4 个白球，从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是（ ）A、 47 B、 7 C、 3 D、 1【答案】B【解析】试题分析：红球的概率=红球的数量球的总数量.P（摸出是红球）= 37.考点：概率的计算.3、 （2015 届江苏省兴化顾庄等三校九年级上学期期末考试数学试卷）掷一个骰子时，点数小于 2 的概率是（ ）. A 61 B 31 C 2 D0 【答案】A.【解析】试题分析：点数小于 2
26、 的只有一面，即为 1，所以概率为 61.考点：随机事件的概率.4、 （2015 届山东省临沐县青云镇中心中学九年级 12 月学情监测数学试卷）如图所示，随机闭合开关K1，K 2，K 3中的两个，则能让两盏灯同时发光的概率为（ ）A 16 B 3 C 21 D 32【答案】B【解析】试题分析：画树状图得：共有 6 种等可能的结果，能让两盏灯泡同时发光的是闭合开关 K1、K 3与 K3、K 1，能让两盏灯泡同时发光的概率为： 213故选 B考点：列表法与树状图法5、 （2015 届江苏省东台市第一教研片九年级下学期第一次月考数学试卷）小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上，他第二次再抛这枚硬币
27、时，正面向上的概率是 【答案】 12【解析】试题分析：因为抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，所以他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是： 12考点：概率的求法6、 （2015 届山东省滕州市木石中学九年级下学期学业水平模拟考试 1 数学试卷）小刚把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上） ，则飞镖落在阴影区域的概率是_【答案】 41【解析】试题分析：根据题意可知：阴影部分的面积之和等于矩形面积的 41，所以飞镖落在阴影区域的概率是 41.考点：简单事件的概率.7.（2015 届湖北省广水市马坪镇中心中学九年级下学期第一次月考数学
28、试卷）长岭中心中学现要从甲、乙两位男生和丙、丁两位女生中，选派两位同学分别作为号选手和号选手代表学校参加全镇汉字听写大赛（1）请用树状图或列表法列举出各种可能选派的结果；（2）求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率【答案】 （1） 共有 12 种等可能的结果，树状图略；（2） 23【解析】试题分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2） 由（1）可求得恰好选派一男一女两位同学参赛的有 8 种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案试题解析：解：（1）画树状图得：则共有 12 种等可能的结果；（2）恰好选派一男一女两位同学参赛的有 8 种情况，恰好选派一男一女两位同学
29、参赛的概率为：P= = 考点：用树状图或列表法列举各种可能的结果；概率的求法8.（2015 届湖北省武汉市部分学校九年级 3 月联考数学试卷）据报道， “国际剪刀石头布协会”提议将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目某校学生会想知道学生对这个提议的了解程度，随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有 名，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 ；请补全条形统计图；（2 分）（2）若该校共有学生 900 人，请根据上述调查结果，估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运
30、会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数；（2 分）（3） “剪刀石头布”比赛时双方每次任意出“剪刀” 、 “石头” 、 “布”这三种手势中的一种，规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀，若双方出现相同手势，则算打平若小刚和小明两人只比赛一局，请用树状图或列表法求两人打平的概率 （4 分）【答案】 （1）60；90；统计图详见解析；（2）300；（3） 【解析】试题分析：（1）由“了解很少”的人数除以所占的百分比得出学生总数，求出“基本了解”的学生所占的百分比，乘以 360 得到结果，补全条形统计图即可；（2）求出“了解”和“基本了解”程度的百分比之和，乘以 900 即可得到结果
31、；（3）列表得出所有可能的情况数，找出两人打平的情况数，即可求出所求的概率试题解析：解：（1）根据题意得：3050%=60（名） ， “了解”人数为 60（15+30+10）=5（名） ，“基本了解”占的百分比为 100%=25%，占的角度为 25%360=90，故答案为：60；90；补全条形统计图如图所示：（2）根据题意得：900 =300（人） ，则估计该校学生中对将“剪刀石头布”作为奥运会比赛项目的提议达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 300 人；（3）列表如下：剪 石 布剪 （剪，剪） （石，剪） （布，剪）石 （剪，石） （石，石） （布，石）布 （剪，布） （石，布） （布，布）所有等可能的情况有 9 种，其中两人打平的情况有 3 种，则 P= = 考点：条形统计图；扇形统计图；概率
