1、专题四 线段和的最小值问题纵观贵阳5年中考，2014年和2015年两年连续考查了利用对称求线段和最小值的几何问题设置在第24题、25题，以解答题的形式出现，分值为12分，难度较大来源:学优高考网gkstk预计2017贵阳中考还会设计利用图形变换考查此类问题的几何综合题，复习时要加大训练力度,中考重难点突破)线段的最小值【经典导例】【例】(六盘水中考)(1)观察发现如图，若点A，B在直线m同侧，在直线 m上找一点P，使APBP的值最小，做法如下：作点B 关于直线m的对称点B，连接 AB，与直线m 的交点就是所求作的点P，线段AB的长度即为APBP 的最小值如图，在等边三角形ABC中，AB2，点E
2、是AB的中点，AD 是高，在AD上找一点P，使BP PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD于一点，则这点就是所求作的点P，故BPPE 的最小值为_(2)实践运用如图，已知O的直径CD为2，Error! 的度数为60，点B是Error! 的中点，在直径CD上作出点P，使BPAP的值最小，则BPAP的最小值为_来源:学优高考网(3)拓展延伸如图，点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB ，BC 上作出点 M，点N ，使PM PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法【解析】(1)利用作法得到CE的长为BPPE 的最小值；由 AB2，点E是AB的中点，根据等边三
3、角形的性质得到CEAB，BCE Error!BCA30，BE 1，再根据含 30的直角三角形三边的关系得到CE 的长度CE的长为BP PE的最小值 在等边三角形ABC 中，AB2，点E是AB的中点，CEAB，BCE Error!BCA30，BE1，CEBE .故答案为；(2)过B 点作弦 BECD ，连接AE 交CD于P 点，连接 OB，OE，OA，PB，根据垂径定得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP AP的最小值【学生解答】解：(1)；(2) 实践运用 如解图，过B作弦BECD，连接AE 交CD于P点，连接 OB，OE ，OA ，PB.BECD，CD平分BE ，即点
4、E与点B 关于 CD对称 Error! 的度数为60 ，点B是Error!的中点 ，BOC30，AOC60，EOC30，AOE 6030 90 ， OAOE 1，AEOA， AE 的长就是BP AP的最小值故答案为；(3)分别作出点P 关于AB和BC的对称点E和F，然后连接EF ，EF交AB于点M，交BC于点N.拓展延伸如解图.1(2015绥化中考)如图，在矩形ABCD中，AB10，BC5.若点M，N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BMMN 的最小值是( B )A10 B 8 C5 D6,(第1题图) ,(第2题图)2(2016贵阳模拟)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且D
5、M 1，N为对角线AC上任意一点，则DNMN的最小值为( B )来源:学优高考网A3 B5C6 D无法确定3(2016原创)如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N 分别是AB，BC 边上的中点，PM PN的最小值是( B )来源:学优高考网gkstkA2 B1 C . D.Error!来源 :学优高考网4(2016原创)几何模型：条件：如下左图，A，B是直线l同旁的两个定点问题：在直线l上确定一点P，使PAPB的值最小方法：作点A关于直线l的对称点A，连接AB交l 于点P ，则 PAPB AB的值最小(不必证明) 模型应用：(1)如图，正方形ABCD 的边长为 2，E
6、为AB中点，P 是AC上一动点连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称连接PE， PB，则PB PE的最小值是_；(2)如图，O的半径为2，点 A，B，C 在O 上，OAOB，AOC60，P是OB上一动点，求PAPC的最小值；(3)如图，AOB 30，P是AOB内一点，PO8， Q，R分别是OA ，OB上的动点，求PQR周长的最小值解：(1)；(2)如图，延长AO 交O 于点A，则点A，A关于直线OB对称，连接AC与OB相交于点P，连接AC.OA OC 2，AOC 60，AOC是等边三角形 ，AC2.AA4，ACA90，PAPCPA PCAC2 ，即PAPC的最小值是2；(3)如图
7、，分别作P 点关于OB，OA的对称点P 1，P 2，连接P 1P2交OA 于点Q，交OB于点R，OPOP 1OP 2，P 1OB POB，P 2OAPOA，P 1OP22AOB60，P 1OP2是等边三角形，P 1P2OP8，三角形PQR 的周长 PRPQRQP 1RP 2QRQP 1P28，即PQR的周长的最小值为8.5(2014贵阳中考)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形 ABCD，其中BAC 45，ACD 30，点E 为CD边上的中点，连接AE，将ADE 沿AE所在直线翻折得到ADE，DE交AC于F点若AB6 cm .(1)AE的长为 _4_cm；来源:gkstk.Com(2)试
8、在线段AC上确定一点P ，使得DPEP 的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D到BC 的距离来源:学优高考网来源:学优高考网解：(1)4；(2)RtADC中，ACD30， ADC60. E为CD边上的中点， DE AE, ADE 为等边三角形 将 ADE 沿AE所在直线翻折得ADE, ADE为等边三角形， AED60， EACEADDAC30， EFA90， 即AC所在的直线垂直平分线段ED， 点E ， D关于直线AC对称 ， 连接DD交AC于点P, 此时DPEP 值为最小，且DPEPDD， ADE 是等边三角形 ，AD AE 4， DD2Error! AD2612, 即DPEP最小值为12
9、 cm；(3)连接CD ，BD，过点D作DG BC于点G, AC垂直平分线ED， AEAD，CECD， AE EC，ADCD4， 在ABD和CBD中 ，Error! ABD CBD ( SSS), DBG45， DGGB, 设DG长为x cm，则CG长为(6x) cm，在Rt GDC中，x 2 (6x) 2 (4) 2 , 解得x 13，x 23(不合题意舍去 ), 点D 到BC边的距离为 (3)cm.6(2016贵阳中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AB4，AD 12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD 边上的点M处，折痕为PE，此时PD 3. 来源:学优高考网(1)求MP的值；(2)在AB 边
10、上有一个动点 F，且不与点A ，B重合，当AF等于多少时，MEF的周长最小？(3)若点G，Q是AB 边上的两个动点，且不与点A，B 重合，GQ2，当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值( 计算结果保留根号)解：(1)MP5；(2)如图1，作点M关于AB的对称点M， 连接ME交AB于点F，则点F即为所求，来源:gkstk.Com过点E作EN AD ，垂足为N.AM ADMP PD15 534，AMAM4.矩形ABCD折叠，使点C 落在 AD边上的点M处，折痕为PE ，CEPMEP ，而CEPMPE，MEPMPE，MEMP5，在RtENM中，MN 3，NM11.AF NE，AFMNEM，Error!Error! ，即Error!Error!，解得 AFError!，即AFError!时，MEF的周长最小； (3)如图2，由(2)知点M是点M关于AB的对称点，连接MG ，在EN上截取ER 2，连接MR交AB于点G，再过点E作EQRG，交AB于点Q ，EQRG，ERGQ，四边形ERGQ是平行四边形，QEGR.GMGM，MGQEGMGRM R，此时MGEQ最小，四边形MEQG的周长最小，在 RtMRN中，NR422，MR5，ME5，GQ2，四边形MEQG的最小周长值是75.
