1、第九章 平面解析几何第 8 课时 双 曲 线(对 应 学 生 用 书 （文 ）132 133页（理 ）137 139页 )考情分析 考点新知建立并掌握双曲线的标准方程，能根据已知条件求双曲线的标准方程；掌握双曲线的简单几何性质，能运用双曲线的几何性质处理一些简单的实际问题 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. 掌握双曲线的简单应用.1. 若双曲线方程为 x22y 21，则它的左焦点的坐标为_答案： ( 62，0)解析： 双曲线方程可化为 x2 1， a21，b 2 . c2a 2b 2 ，c y212 12 32. 左焦点坐标为 .62 ( 62，0)2. 双曲线 1
2、 的渐近线方程为_x24 y216答案：y2x解析： a2，b4， 双曲线的渐近线方程为 y2x.3. 若双曲线 y 21 的一个焦点为(2，0) ，则它的离心率为 _x2a2答案：233解析：依题意得 a214，a 23，故 e .2a2 23 2334. (选修 11P39 习题 2(2)改编)双曲线的焦点在 x 轴上，虚轴长为 12，离心率为 ，则双54曲线的标准方程为_. 答案： 1x264 y236解析：焦点在 x 轴上，设所求双曲线的方程为 1.由题意，得 解x2a2 y2b2 2b 12，ca 54，a2 b2 c2，)得 焦点在 x 轴上的双曲线方程为 1.a 8，b 6，c
3、10.) x264 y2365. 设 F1，F 2 是双曲线 x2 1 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3PF14PF 2，y224则PF 1F2 的面积等于_答案：24解析：由 P 是双曲线上的一点和 3PF14PF 2 可知，PF 1PF 22，解得PF1 8，PF 26.又 F1F22c10，所以PF 1F2 为直角三角形，所以 PF 1F2 的面积S 6824.121. 双曲线的定义平面内到两个定点 F1，F 2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 的正数)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距2. 双曲线的标准方程和几何性质标准
4、方程 1(a0，b0)x2a2 y2b2 1(a0，b0)y2a2 x2b2图形范围 x a 或 xa ，yR xR，ya 或 ya对称性 对称轴：x 轴，y 轴_对称中心：(0，0) 对称轴：x 轴，y 轴_对称中心：(0，0)顶点 顶点坐标：A 1(a ，0) ，A2(a，0)顶点坐标：A 1(0，a)，A20，a渐近线 y xbay xab离心率 e ，e(1 ，)ca性质实虚轴线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长 A1A22a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长 B1B22b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长.a，b，c 的关系 c2a 2b 2(ca0，cb
5、0)3. 等轴双曲线实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为 x2y 2(0)，离心率 e ，渐近线方程为 yx2备课札记题型 1 求双曲线方程 例 1 已知双曲线的离心率等于 2，且经过点 M(2，3) ，求双曲线的标准方程解：若双曲线方程为 1(a0，b0)，由已知可得 2，即 c2a.又 M(2，3)x2a2 y2b2 ca在双曲线上， 1, 4b29a 2a 2b2. c2a ， b23a 2，代入得4a2 9b2a21，b 23. 双曲线方程为 x2 1.同理，若双曲线方程为 1，则双曲线方程为 y23 y2a2 x2b2 3y2231.x223变 式 训 练已知双曲线 1
6、(a0， b0)的两条渐近线方程为 y x，若顶点到渐近线的距x2a2 y2b2 33离为 1，求双曲线方程解：由题意知：右顶点坐标为(a，0) ，其到渐近线的距离为 d 1，故| 33a|( 33)2 1 a2a2.又渐近线方程为 y x，所以 b ，所以双曲线方程为 1.33 2 33 x24 3y24题型 2 求双曲线的基本量例 2 已知双曲线的焦点在 x 轴上，两个顶点间的距离为 2，焦点到渐近线的距离为 .2(1) 求双曲线的标准方程；(2) 写出双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程解：(1) 依题意可设双曲线的方程为 1(a0, b0)，则 2a2, 所以 a1.设
7、双曲x2a2 y2b2线的一个焦点为(c, 0), 一条渐近线的方程为 bx ay 0，则焦点到渐近线的距离 db ，所以双曲线的方程为 x2 1.|bc|a2 b2 2 y22(2) 双曲线的实轴长为 2，虚轴长为 2 ，焦点坐标为( ， 0), ( ， 0)，离心率为2 3 3，渐近线方程为 y x.3 2备 选 变 式 （教 师 专 享 ）如图，F 1、F 2 分别是双曲线 C： 1(a，b0) 的左、右焦点，B 是虚轴的端点，x2a2 y2b2直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P、Q 两点，线段 PQ 的垂直平分线与 x 轴交于点 M.若 MF2 F1F2，则 C 的离心率是
8、 _答案：62解析：设双曲线的焦点坐标为 F1(c ，0) ，F 2(c，0) B(0，b)， F 1B 所在的直线为 1.xc yb双曲线渐近线为 y x，由 得 Q .ba y bax， xc yb 1，) ( acc a，bcc a)由 得 P ， PQ 的中点坐标为 .y bax， xc yb 1，) ( aca c，bca c) ( a2cc2 a2，bc2c2 a2)由 a2b 2c 2 得，PQ 的中点坐标可化为 .(a2cb2，c2b)直线 F1B 的斜率为 k ， PQ 的垂直平分线为 y .bc c2b cb(x a2cb2)令 y0，得 x c， M ， F 2M .a2
9、cb2 (a2cb2 c，0) a2cb2由 MF2 F1F2 得 2c，即 3a22c 2， e 2 ， e .a2cb2 a2cc2 a2 32 62题型 3 与椭圆、抛物线有关的基本量例 3 已知双曲线过点(3， 2)，且与椭圆 4x29y 236 有相同的焦点(1) 求双曲线的标准方程；(2) 求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程解：(1) 由题意，椭圆 4x29y 236 的焦点为( ，0)，即 c ，5 5 设所求双曲线的方程为 1，x2a2 y25 a2 双曲线过点(3，2)， 1, a 23 或 a215(舍去) 9a2 45 a2故所求双曲线的方程为 1.x23 y22
10、(2) 由(1)可知双曲线的右准线为 x . 35设所求抛物线的标准方程为 y22px(p0) ，则 p ，故所求抛物线的标准方程为65y2 x. 1255备 选 变 式 （教 师 专 享 ）双曲线 C 与椭圆 1 有相同的焦点，直线 y x 为 C 的一条渐近线求双曲x28 y24 3线 C 的方程解：设双曲线的方程为 1(a0，b0)，x2a2 y2b2由椭圆方程 1，求得两焦点为(2，0) 、(2，0) ，x28 y24对于双曲线 C：c 2.又 y x 为双曲线 C 的一条渐近线，3 ，解得 a21，b 23.ba 3双曲线 C 的方程为 x2 1.y231. 已知双曲线 C： 1 的
11、焦距为 10，P(2，1) 在 C 的渐近线上，则 C 的方程为x2a2 y2b2_答案： 1x220 y25解析： 1 的焦距为 10， c5 .x2a2 y2b2 a2 b2又双曲线渐近线方程为 y x，且 P(2，1)在渐近线上， 1，即 a2b.ba 2ba由解得 a2 ，b .5 52. 若双曲线 1 的离心率 e2，则 m_y216 x2m答案：48解析：根据双曲线方程 1 知 a216，b 2m，并在双曲线中有 a2b 2c 2， y2a2 x2b2离心率 e 2 4 m48.ca c2a2 16 m163. 已知双曲线 x2y 21，点 F1，F 2 为其两个焦点，点 P 为双
12、曲线上一点，若PF1 PF2，则 PF1PF 2_答案：2 3解析：不妨设点 P 在双曲线的右支上，因为 PF1PF 2，所以(2 )2PF PF ，2 21 2又因为 PF1PF 22，所以(PF 1PF 2)24，可得 2PF1PF24，则(PF 1 PF2)2 PF PF 2PF 1PF212，21 2所以 PF1PF 22 .34. 已知双曲线 1 的右焦点为(3，0) ，则该双曲线的离心率为 _x2a2 y25答案：32解析：由题意知 c3，故 a259，解得 a2，故该双曲线的离心率 e .ca 325. 已知双曲线 1(a0，b0) 与抛物线 y28x 有一个公共的焦点 F，且两
13、曲线x2a2 y2b2的一个交点为 P，若 PF5，则双曲线的渐近线方程为_ 答案：y x3解析：设点 P(m，n)，依题意得，点 F(2，0)，由点 P 在抛物线 y28x 上，且 PF5得 由此解得 m3，n 224.于是有 由此解得 a21，b 23，该双m 2 5，n2 8m，) a2 b2 4，9a2 24b2 1，)曲线的渐近线方程为 y x x.ba 36. 已知椭圆 1(ab c0，a 2b 2c 2)的左、右焦点分别为 F1，F 2，若以 F2x2a2 y2b2为圆心，bc 为半径作圆 F2，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且 PT 的最小值为 (ac) ，则椭圆
14、的离心率 e 的取值范围是_32答案： 35，22)解析：因为 PT (bc)，而 PF2 的最小值为 ac，所以 PT 的最小值为.（a c）2 （b c）2依题意有， (ac)，（a c）2 （b c）232所以(a c)24(bc) 2，所以 ac2(bc)，所以 ac2b，所以(a c)24(a 2c 2)，所以 5c22ac3a 20，所以 5e22e30 .又 b0，所以 b2c 2，所以 a2c 2c 2，所以 2e21 ，联立，得 e .35 221. 双曲线 1 上一点 P 到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，x216 y29则 P 点到左焦点的距离为_答案：1
15、3解析：由 a4，b3，得 c5.设左焦点为 F1，右焦点为 F2，则|PF 2| (acca)c5，12由双曲线的定义，得|PF 1|2a|PF 2|8513.2. 已知 ABC 外接圆半径 R ，且ABC120，BC10，边 BC 在 x 轴上且1433y 轴垂直平分 BC 边，则过点 A 且以 B、C 为焦点的双曲线方程为_答案： 1x216 y29解析： sinBAC ， BC2R 5314cosBAC ，AC2Rsin ABC2 14，1114 1433 32sinACB sin(60BAC)sin 60cosBACcos60sinBAC 32 1114 12 ，5314 3314
16、AB2RsinACB2 6, 1433 3314 2a|ACAB| 1468 ， a4，又 c5， b 2c 2a 225169， 所求双曲线方程为 1.x216 y293. 根据下列条件，求双曲线方程(1) 与双曲线 1 有共同的渐近线，且过点( 3，2 )；x29 y216 3(2) 与双曲线 1 有公共焦点，且过点(3 ，2) x216 y24 2解：解法 1：(1) 设双曲线的方程为 1，x2a2 y2b2由题意，得 解得 a2 ，b 24.ba 43，（ 3）2a2 （23）2b2 1，) 94所以双曲线的方程为 1.x294 y24(2) 设双曲线方程为 1.由题意易求得 c2 .
17、x2a2 y2b2 5又双曲线过点(3 ，2)， 1.2（32）2a2 4b2又a 2b 2(2 ) 2，a 212，b 28.5故所求双曲线的方程为 1.x212 y28解法 2：(1) 设所求双曲线方程为 (0) ，x29 y216将点(3，2 )代入得 ，所以双曲线方程为 .314 x29 y216 14(2) 设双曲线方程为 1，x216 k y24 k将点(3 ，2) 代入得 k4，所以双曲线方程为 1.2x212 y284. 已知双曲线 1 的离心率为 2，焦点到渐近线的距离等于 ，过右焦点 F2 的x2a2 y2b2 3直线 l 交双曲线于 A、B 两点， F1 为左焦点(1)
18、求双曲线的方程；(2) 若F 1AB 的面积等于 6 ，求直线 l 的方程2解：(1) 依题意，b ， 2 a1，c2， 双曲线的方程为：x 2 1.3ca y23(2) 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)， F2(2，0)，直线 l：yk(x2)，由 消元得(k 23)x 24k 2x4k 230，y k（x 2），x2 y23 1，)k 时，x 1x 2 ，x 1x2 ，y 1y 2k(x 1x 2)，34k2k2 3 4k2 3k2 3F 1AB 的面积 S 2|k|x 1x 2|2|k|12 4k1 k2（x1 x2）2 （y1 y2）212|k| 6 k48k 290 k2
19、1 k1，（4k2）2 4（k2 3）（4k2 3）|k2 3| k2 1|k2 3| 2所以直线 l 的方程为 y(x2) 1. 应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点) 具备的几何条件，即 “到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离” 若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支2. 区分双曲线与椭圆中 a，b，c 的关系，在椭圆中 a2b 2c 2，而在双曲线中c2a 2b 2.双曲线的离心率 e1，椭圆的离心率 e(0，1) 3. 双曲线方程的求法(1) 若不能明确焦点在哪条坐标轴上，设双曲线方程为 mx2ny 21(mn0)；(2) 与双曲线 1 有共同渐近线的双曲线方程可设为 (0)；x2a2 y2b2 x2a2 y2b2(3) 若已知渐近线方程为 mxny0，则双曲线方程可设为 m2x2n 2y2( 0) 请 使 用 课 时 训 练 （A）第 8课 时 （见 活 页 ）.备课札记
