1、第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 9 课时 三角函数的综合应用(对应学生用书(文) 、(理)5759 页)考情分析 考点新知理解和掌握同角三角函数的基本关系式、三角函数的图象和性质、两角和与差的正弦余弦与正切公式、二倍角公式及正弦定理和余弦定理，并能运用它们解决有关三角函数的综合问题2. B 级考点： 同角三角函数的基本关系式 二倍角公式 三角函数的图象和性质 正弦定理和余弦定理1. (必修 5P9 例题 4 题改编)设ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c ，且 ，则 A_ acosA csinC答案：4解析：由 ， ，得 ，即 sinAcosA，所以 A .a
2、cosA csinC asinA csinC asinA acosA 42. (必修 4P45 习题 1.3 第 8 题改编)将函数 ysinx 的图象向左平移 (00，00，所以 A .12 3备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知函数 f(x) sin(x)(0，0)为偶函数，且其图象上相邻两对称轴之间的距离为 .(1) 求函数 f(x)的表达式；(2) 若 sinf() ，求 的值23 2sin(2 4) 11 tan解：(1) f(x)为偶函数， sin(x)sin(x)，即 2sinxcos 0 恒成立， cos0，又 0 ， . 又其图象上相邻对称轴之间的距离为 ， 2T2 ，
3、1，f(x)cosx. (2) 原式 2sin cos ，又 sincos ， sin2 cos2 11 tan 2312sincos ， 即 2sincos ，故原式 .49 59 59题型 3 正弦定理、余弦定理的综合应用例 3 (2013浙江)在锐角ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且2asinB b.3(1) 求角 A 的大小；(2) 若 a6，bc8，求ABC 的面积解：(1) 由 2asinB b 及正弦定理 ，得 sinA .因为 A 是锐角，所以3asinA bsinB 32A .3(2) 由余弦定理 a2b 2c 22bccosA ，得 b2c 2bc3
4、6.又 bc8，所以 bc .283由三角形面积公式 S bcsinA，得ABC 的面积为 .12 733备 选 变 式 （教 师 专 享 ）在ABC 中，角 A，B ，C 的对边分别为 a，b，c ，C ，a 5，ABC 的面积为 310 .3(1) 求 b，c 的值；(2) 求 cos 的值(B 3)解：(1) 由已知，C ，a5，因为 SABC absinC，3 12即 10 b5sin ，解得 b8.312 3由余弦定理可得：c 2256480cos 49, 所以 c7.3(2) 由(1) 有 cosB ，由于 B 是三角形的内角，易知 sinB 25 49 6470 17 1 cos
5、2B，所以 cos cosBcos sinBsin .437 (B 3) 3 3 17 12 437 32 1314题型 4 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用例 4 已知向量 m 与 n(3，sinA cosA)共线，其中 A 是ABC 的内(sinA，12) 3角(1) 求角 A 的大小；(2) 若 BC2，求ABC 面积 S 的最大值，并判断 S 取得最大值时 ABC 的形状解：(1) 因为 m n，所以 sinA(sinA cosA) 0.332所以 sin2A 0，1 cos2A2 32 32即 sin2A cos2A1，32 12即 sin 1.(2A 6)因为 A(0，)，所
6、以 2A .6 ( 6，116)故 2A ，A .6 2 3(2) 由余弦定理，得 4b 2c 2bc.又 SABC bcsinA bc，12 34而 b2c 22bc bc42bc bc4(当且仅当 bc 时等号成立)，所以 SABC bcsinA bc 4 .12 34 34 3当ABC 的面积取最大值时，bc.又 A ，故此时ABC 为等边三角形3备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知ABC 的角 A、B 、C 所对的边分别是 a、b、c ，设向量 m(a，b)，n(sin B，sin A) ，p(b2，a 2)(1) 若 m n，求证：ABC 为等腰三角形；(2) 若 m p，边长
7、c2，角 C ，求ABC 的面积 3(1) 证明： m n， asin A bsin B，即 a b ，其中 R 是ABC 外接圆半径，a2R b2R ab. ABC 为等腰三角形(2) 解：由题意可知 mp0，即 a(b2) b(a2)0. abab. 由余弦定理可知，4a 2b 2ab(ab) 23ab，即(ab) 23ab40，ab4(舍去 ab1) ， S absin C 4sin .12 12 3 3在已知值求角中，应合理选择三角函数形式进行求解，避免增根【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分 14 分)若 sin ，sin ，且 、 均为锐角，求 的值55 1010学生错解：解：
8、为锐角， cos .1 sin2255又 为锐角， cos .1 sin231010 sin()sin cos cos sin ，22由于 00，所以 C .根据正弦定理可得 ，3 33 BCsinA ABsinC即 2 ，所以 sinA .因为 ABBC，所以 AC，所以 A ，即 B ，所以1sinA 332 12 6 2三角形为直角三角形，所以 SABC 1 .12 3 324. (2013新课标 卷)设当 x 时，函数 f(x)sinx 2cosx 取得最大值，则cos _答案：255解析： f(x)sinx2cosx .5(55sinx 255cosx)令 cos ，sin ，则 f
9、(x)55 255(sinxcossincosx) sin(x)，5 5当 x2k ，kZ，即 x2k ，2 2kZ 时，f(x) 取最大值，此时 2k ，kZ ，2 coscos sin .(2k 2 ) 2551. (2014扬州期末)在锐角ABC 中，角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c. 向量m(1， cosB)， n(sinB， )，且 m n.3(1) 求角 B 的大小；(2) 若ABC 面积为 10 ，b7，求此三角形周长3解：(1) mnsinB cosB， m n， mn0，3 sinB cosB0. ABC 为锐角三角形， cosB 0，3 tanB . 0B ，
10、B .32 3(2) SABC acsinB ac，由题设 ac10 ，得 ac40.由12 34 34 372a 2c 22accosB，得 49 a2c 2ac， (ac) 2(a 2c 2ac) 3ac 49120169. ac13， 三角形周长是 20.2. 在ABC 中， a、b、 c 分别是角 A、B 、C 的对边，ABC 的周长为 2，且2sinAsinB sinC.2(1) 求边 c 的长；(2) 若ABC 的面积为 sinC，求角 C 的度数13解：(1) 在 ABC 中， sinAsinB sinC，由正弦定理，得 ab c ， 2 2abc c c( 1)c 2. 2 2
11、 2 ab2，c .2(2) 在ABC 中， SABC absinC sinC，12 13 ab ，即 ab .12 13 23又 ab2，在ABC 中，由余弦定理，得cosC ，又在ABC 中C(0，)，a2 b2 c22ab （a b）2 2ab 22ab 12 C60.3. (2013湖北卷)在ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别是 a、b、c. 已知cos2A 3cos(BC)1.(1) 求角 A 的大小；(2) 若ABC 的面积 S5 ，b5，求 sinBsinC 的值3解：(1) 由已知条件得：cos2A3cosA1， 2cos2A3cosA 20，解得cosA ， A60.1
12、2(2) S bcsinA5 c4，由余弦定理，得 a221，(2R) 2 28， 12 3 a2sin2AsinBsinC .bc4R2 574. (2013北京卷)在ABC 中，a3，b2 ，B2 A.6(1) 求 cosA 的值；(2) 求 c 的值解：(1) 因为 a3，b2 ，B2A.所以在ABC 中，由正弦定理得 63sinA.所以 .故 cosA . 26sin2A 2sinAcosAsinA 263 63(2) 由(1)知 cosA ，所以 sinA .63 1 cos2A 33又因为B2A，所以 cosB2cos 2A1 .所以 sinB . 13 1 cos2B 223在A
13、BC 中，sinCsin(AB)sinAcosB cosAsinB . 539所以 c sinaCA5. 1. 三角变换的基本策略是化异为同，即将函数名称、角、次数等化异为同2. 对于函数 yAsin(x) B，常用“五点法”画图象，运用整体思想研究性质3. 求三角函数的单调区间、周期，及判断函数的奇偶性，要注意化归思想的运用，通过恒等变换转化为基本三角函数类型，注意变形前后的等价性4. 解三角函数的综合题时应注意：(1) 与已知基本函数对应求解，即将 x 视为一个整体 X；(2) 将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如 yAsin(x)B 或yasin2x bsinxc ；(3) 换元方法在解题中的运用请使用课时训练(B)第 9 课时( 见活页 )备课札记
