1、第二章 函数与导数第 9 课时 指数函数、对数函数及幂函数(3) (对应学生用书( 文)、(理)2425 页)考情分析 考点新知 对数函数在高考中的考查主要是图象和性质，同时考查数学思想方法，以考查分类讨论及运算能力为主；考查形式主要是填空题，同时也有综合性较强的解答题出现，目的是结合其他章节的知识，综合进行考查. 幂函数的考查较为基础，以常见的 5 种幂函数为载体，考查求值、单调性、奇偶性、最值等问题是高考命题的出发点 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性；掌握对数函数图象通过的特殊点. 知道对数函数是一类重要的函数模型. 了解指数函数 ya x 与对数函数 ylog ax的相互关系(a
2、0 ，a1). 了解幂函数的概念，结合函数yx，yx 2，yx 3，yx 1 ，yx 2 的图象，了解它们的变化情况.1. (必修 1P112 测试 8 改编)已知函数 f(x)log ax(a0，a1)，若 f(2)f(3)，则实数 a 的取值范围是_答案：(0，1)解析：因为 f(2)f(3)，所以 f(x)log ax 单调递减，则 a(0 ，1)2. (必修 1P89 练习 3 改编)若幂函数 yf(x)的图象经过点 ，则 f(25)_(9， 13)答案：15解析：设 f(x) x ，则 9 ， ，即 f(x)x ，f(25) .13 12 12 153. (必修 1P111 习题 1
3、5 改编)函数 f(x)ln 是_(填“奇”或“偶”) 函数1 x1 x答案：奇解析：因为 f(x)ln ln ln f(x)，所以 f(x)是奇函数1 x1 x (1 x1 x) 11 x1 x4. (必修 1P87 习题 13 改编)不等式 lg(x1)0，a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0 ，)2. 对数函数的图象与性质a1 00；当0x1 时，f(x)0性质(5) 是 (0， )上的增函数 (5) 是 (0， )上的减函数3. 幂函数的定义形如 yx (R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数4. 幂函数的图象5. 幂函数的性质函数特征性质 yx yx
4、2 yx 3yx12 yx 1定义域 R R R x|x 0 x|xR 且x0值域 R y|y 0 R y|y 0 y|yR 且y0奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增(，0 减，0，)增增 增 (，0) 减，(0，)减定点 (1，1)备课札记题型 1 对数函数的概念与性质例 1 (1) 设 a1，函数 f(x)log ax 在区间a ，2a上的最大值与最小值之差是 ，则12a_；(2) 若 alog 0.40.3，blog 54，clog 20.8，用小于号“1， 函数 f(x)log ax 在区间a ，2a上是增函数， loga2a logaa ， a4.12(2) 由于 a1，00
5、，1 x1 x1 ，且 mn1，所以 f(m2)|log 2m2|2，解得 m ，12所以 n2.变 式 训 练(1) 设 loga 1，则实数 a 的取值范围是_；23(2) 已知函数 f(x)lg(x 2t) 的值域为 R，则实数 t 的取值范围是_；(3) 若函数 f(x)log a|x1|在(1，0) 上有 f(x)0，则函数 f(x)的单调减区间是_；(4) 若函数 f(x)log (x22ax3)在( ，1内为增函数，则实数 a 的取值范围是12_答案：(1) 0a 或 a1 (2) a0 (3) (1，) (4) 1 ，2)23解析：(1) 分 a1 与 a1 两种情形进行讨论(
6、2) 值域为 R 等价于 x2a 可以取一切正实数(3) 函数 f(x)的图象是由 ylog a|x|的图象向左平移 1 个单位得到， 00，)题型 2 幂函数的概念与性质例 2 已知幂函数 yx 3m9 (mN *)的图象关于 y 轴对称，且在(0，)上是减函数(1) 求 m 的值；(2) 求满足不等式(a 1) 32a0 或 0a132a 或 a10，则方程 (a1)t 2 at10 有且只有一个正根43a1 t ，不合题意；a1 时，0 a 或3.若 a t2，不合题34 34 34意，若 a3 t ；a1 时，0，一个正根与一个负根，即 1.12 1a 1综上，实数 a 的取值范围是3
7、 (1，)备 选 变 式 （教 师 专 享 ）已知函数 f(x) lg(axb x)(a1b0)(1) 求函数 yf(x) 的定义域；(2) 在函数 yf(x) 的图象上是否存在不同的两点，使过此两点的直线平行于 x 轴；(3) 当 a、b 满足什么关系时，f(x)在区间 上恒取正值(1， )解：(1) 由 axb x0，得 x1，因为 a1b0，所以 1，所以 x0，即函数 f(x)的定(ab) ab义域为(0 ，)(2) 设 x1x20，因为 a1b0，所以 ax1ax2，bx 1bx 2，所以ax1bx 1ax2 bx20，于是 lg(ax1bx 1)lg(ax2bx 2)，即 f(x1
8、)f(x2)，因此函数 f(x)在区间(0， )上是增函数假设函数 yf(x) 的图象上存在不同的两点 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，使得直线 AB 平行于 x 轴，即 x1x 2，y 1y 2，这与 f(x)是增函数矛盾故函数 yf(x) 的图象上不存在不同的两点，使过此两点的直线平行于 x 轴(3) 由(2)知， f(x)在区间(1 ， )上是增函数，所以当 x(1，) 时，f(x)f(1)，故只需 f(1)0，即 lg(ab) 0 ，即 ab1，所以当 ab 1 时，f(x)在区间(1，) 上恒取正值1. (2013南师大模拟) 已知函数 f(x)log 2x2log 2(x
9、c) ，其中 c0，若对任意x(0， ) ，都有 f(x)1，则 c 的取值范围是_ 答案：c18解析：由题意， 在 x(0 ，)上恒成立，所以 c .c0，x（x c）2 2) 182. (2013辽宁)已知函数 f(x) ln 1，则 f(lg2)f _( 1 9x2 3x) (lg12)答案：2解析：f(x) f(x)ln( 3x)ln( 3x)2ln(1 9x 29x 2)22，1 9x2 1 9x2所以 f(lg2)f f(lg2)f(lg2)2.(lg12)3. (2013江西检测)已知 x (log 0.5)y 0，由 af2(x)f(x)1，得 a f（x） 1f2（x） 1f
10、（x） 1f2（x） 14 (当且仅当 f(x)2 时等号成立) ，所以实数 a 的最小值为 .1f（x） 12214 141. 若函数 f(x) log2|ax1|(a0) ，当 x 时，有 f(x)f(1x)，则 a_12答案：2解析：由 f(x) f(1x)，知函数 f(x)的图象关于 x 对称，12而 f(x) log2 log 2|a|，从而 ，所以 a2.|x 1a| 1a 122. 已知函数 f(x)x ，x 1，8，函数 g(x)ax2，x1，8 ，若存在23 x 1 ，8 ，使 f(x)g(x) 成立，则实数 a 的取值范围是_答案： 1 ，)( ，14解析：分别作出函数 f
11、(x)x ，x1，8与函数 g(x)ax2，x1，8的图23 象当直线经过点(1，1)时，a1；当直线经过点(8，4) 时，a .结合图象有 a 或14 14a1.3. 已知函数 f(x)|lgx|，若 0f(1) 123，即 a2b 的取值范围是(3，) 4. 已知两条直线 l1：ym 和 l2：y ，l 1 与函数 y|log 2x|的图象从左至82m 1(m0)右相交于点 A、B，l 2 与函数 y|log 2x|的图象从左至右相交于点 C、D. 记线段 AC 和 BD在 x 轴上的投影长度分别为 a、b.当 m 变化时，求 的最小值ba解：由题意得 xA m，x B 2m，x C ，x
12、 D2 ，所以 a|x Ax C|(12) (12) 82m 1 82m 1 ，b|x Bx D| ，即|(12)m (12) 82m 1| |2m 282m 1 | 2 2m2 m.ba |2m 2 82m 1 2 m 2 82m 1| 82m 1 82m 1因为 m (2m1) 2 ，当且仅当82m 1 12 82m 1 12 12（2m 1） 82m 1 12 72(2m 1)12，即 m 时取等号所以， 的最小值为 2 8 .82m 1 32 ba 72 21. 指数函数的底数、对数函数的底数、真数应满足的条件，是求解有关指数、对数问题时必须予以重视的，如果底数含有参数，一般需分类讨论2. 与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤(1) 确定定义域；(2) 把复合函数分解为几个初等函数；(3) 确定各个基本初等函数的单调区间；(4) 根据“同增异减”判断复合函数的单调性请 使 用 课 时 训 练 （B）第 9课 时 （见 活 页 ）.
