1、反比例函数一、选择题1. （2011 贵州毕节,9,3 分）一次函数 和反比例函数 在同)0(kxy )0(kxy一直角坐标系中的图象大致是( )【解题思路】由一次函数、反比例函数的图象和性质，可知 C 答案正确，解本题的关键就是一次函数与反比例函数解析式中 k 的取值符号相同。A 答案中一次函数与反比例函数解析式中 k 的取值符号不相同,同时一次函数解析式中 k 的取值符号本身就不相同。B 答案中，乍一看一次函数与反比例函数解析式中 k 的取值符号相同,但仔细一看，一次函数解析式中k 的取值符号本身就不相同。D 答案与 A 答案一样。【答案】C【点评】本题考查了一次函数、反比例函数的图象和性
2、质，在解题时注意一次函数、反比例函数的图象位置与 k 的关系。二者结合在一起，增加了难度。难度中等。2. （2011 甘肃兰州，2，4 分）如图，某反比例函数的图象过（-2,1） ，则此反比例函数表达式为（ ）xy-21OA. B. C. D. 2y2yx12yx12yx【解题思路】设反比例函数的解析式为 ，因为图象过（-2,1） ，代入解析式得 k=-kx x x xyy y yO O O OA、 B、 C、 D、2，所以解析式是 ，故 B 正确，其余选项不正确.2yx【答案】B【点评】本题考查了求反比例函数解析式的方法，关键是设出反比例函数的解析式，并将已知点的坐标代入解析式求出 k 的值
3、即可难度较小3. （2011 甘肃兰州，15，4 分）如图，矩形 ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反比例函数 的图像上.若点 A 的坐标为（-2，-2） ，21kyx则 k 的值为A. 1 B. -3 C. 4 D. 1 或-3xyOAB CD【解题思路】可以设点 C 的坐标是（m，n） ，设 AB 与 x 轴交于点 M，则BMOBAD，则，因为 AD=2+m，AB=2+n，OM=2，BM=n，因而得到 ，即 mn=4，BM 2nm点（m，n）在反比例函数 的图像上，代入得到 ，解得21kyx214k， .故选 D，显然其它选项不正确.1k23【答案
4、】D【点评】本题涉及的知识点是用待定系数法求反比例函数的解析式、矩形的性质相似三角形的性质与判定.本题的难点是借助矩形的性质，转化为相似的性质解决.难度较大.3.(2011 广东广州，5，3 分)下列函数中，当 x0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ）A. B. C. D. 2xy1xyxy431【解题思路】根据二次函数的性质， 当 x0 时，y 值随 x 值增大而增大；根据一次2函数的性质， 当 x0 时，y 值随 x 值增大而增大， 当 x0 时，y 值随 x 值xy 43增大而增大；根据反比例函数的性质， 当 x0 时，y 值随 x 值增大而减小的，1A、B、C 项均错，D 项为正
5、确选项。.【答案】D【点评】本题主要考查初中学段学习的几种基本函数的增减性，知识基础性强，难度较小。1. （2011 年怀化 5，3 分）函数 与函数 在同一坐标系中的大致图像是2yx1yx【解题思路】由函数 可知，图像在第一、三象限，反比例函数 中，-11 时,函数值 y 的取值范围是Ayl B02 D0 0 ）的y9图象如图所示，则结论： 两函数图象的交点 A 的坐标为（3 ,3 )， 当 x 3 时， 当 x 1 时， BC = 8， 当 x 逐渐增大时， yl 随着 x 的增大而12y增大，y 2随着 x 的增大而减小其中正确结论的序号是_ .【解题思路】由函数 yl= x ( x 0
6、 ) , （ x 0 ）构造出 的方程组得出 Ay92yx,点坐标故正确；由于当 x3 时， 的图像在 的下面故应 ；当 时，121故正确；当 x 逐渐增大时，y l 图像的上升，y 2图像的下降得正819ABy确.【答案】【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像交点、函数值的求法及利用图像升降判断其增减性的数形结合思想，解决本题的关键是熟练一次函数与反比例函数的图像与性质，难度中等. 4. （2011 湖北孝感，15，3 分）如图，点 A 在双曲线 y= 上，点 B 在双曲线 y= 上，且x1x3ABx 轴，C、D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为.15 题图 【
7、解题思路】可设 D(a,0),则 A(a, ),B(3a, ),C(3a,0).故矩形 ABCD 的面积为 BCCD=a1(3a-a)=2.a1【答案】2【点评】主要考查反比例函数的图象上点的表示特征，以及平行于坐标轴的点的特征.对于特殊平行四边形与反比例函数结合在一起的试题，可以采用逐步设未知数的方法，得到各边的长，再求面积即可难度中等三、解答题8. （2011 江西南昌，20，6 分）如图，四边形 ABCD 为菱形，已知 A（0，4） ，B（-3，0） 求点 D 的坐标；求经过点 C 的反比例函数解析式【解题思路】 （1）已知 A（0，4） ，B（-3，0）可以求出 AB=5，因为四边形
8、ABCD 为菱形，所以 AD=BC=5，点 A、D 在 y 轴上所以点 D 的坐标为（0，-1） ；（2）要求经过点 C 的反比例函数解析式，首先要求出点 C 的坐标结合已知和图形，可很容易求出，利用待定系数法，即可求出反比例函数的解析式【答案】(1)根据题意得 AO=4，BO=3，AOB=90，所以 AB= = =5.2AOB+243因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AD=AB=5，所以 OD=AD-AO=1,因为点 D 在 y 轴负半轴，所以点 D 的坐标为（-1,0）.(2)设反比例函数解析式为 .kyx=因为 BC=AB=5，OB=3,所以点 C 的坐标为（-3，-5）.因为反比例函
9、数解析式 经过点 C,kyx=所以反比例函数解析式为 .15【点评】本题将两个简易的知识点，反例函数的图象和菱形组合在一起，是一个简单的综合问题，其中涉及的菱形性质要求学生能熟练，并能运用，难度中等21 （2011 四川绵阳，21，12） （本题满分 12 分）右图中曲线是反比例函数 y 的图象的一支7nx（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数 n 的取值范围是什么？（2）若一次函数 y 的图象与反比例函数图象交于点 A，与 x 轴交于 B，243xAOB 的面积为 2，求 n 的值【解题思路】(1)当 k0，反比例函数的图象在第一、三象限；当 k0 时，反比例函数的图象在第二、四
10、象限；反之同样成立，所以，由图象的一个分支在第二象限，则另一个分支在第四象限，n+70，则 n7(2)点 B 在 x 轴上，纵坐标为 0，把 y0 代入直线解析式，即可求出点 B 的横坐标，求出 OB 的长以 OB 为AOB 的底，点 A 的纵坐标的绝对值为AOB 的高，由AOB 的面积是 2，OB2，求出 A 的纵坐标，代入直线解析式求出横坐标把点 A 的横纵坐标代入反比例函数的解析式求出 n 的值【答案】 （1）第四象限，n7（2）点 B 是直线 y 与 x 轴的交点，纵坐标为 0，243把 y0 代入 y ，得 0，解得 x2，x3B 的坐标为（2，0） 设点 A 的坐标为(x，y)，B
11、 的坐标为（2，0） ，OB2AOB 面积是 2， 2 2，b21y又点 A 在第二象限，则 y0，y2把 y2 代入 y ，解得 x143x点 A 的坐标是(1，2)n+712，n9【点评】本题主要考查了反比例函数，由反比例函数的性质确定图象所在的象限和 k的范围；直线与 x 轴的交点的纵坐标为 0，与 y 轴的交点的横坐标为 0，代入直线解析式可以求出交点的坐标；由三角形的面积求出三角形某个顶点的某个坐标的绝对值，根据所在象限确定具体值；把反比例函数上的点的坐标代入反比例函数的解析式，求出未知系数的值，即求出解析式21 （2011 四川内江，21，10 分）如图，正比例函数 y1=k1x
12、与反比例函数 y2= 交与xkA、 B 两点，已知点 A 的坐标为（4， n）, BD x 轴于 D，且 SBDO =4过点 A 的一次函数y3=k3x+b 与反比例函数交与另一点 C，且与 x 轴交与点 E（5,0） （1）求正比例函数 y1、反比例函数 y2和一次函数 y3的解析式；（2）结合图像，求出当 k3x+b k1x 时 x 的取值范围xBACEDOy【思路分析】 （1）有三角形面积可确定反比例函数解析式，将 A（4， n）代入反比例函数表达式可求点 A 坐标，将点 A 坐标代入 y1=k1x 可求正比例函数解析式，由点 A、 E 可确定一次函数 y3=k3x+b 的解析式；（2）
13、由反比例函数和正比例函数解析式组成方程组可解得点 C 的坐标，根据双曲线和正比例函数交点特点可确定点 B 的坐标，结合图像从 x-2、-2 x0、0 x1、1 x4 和x4 五个范围来确定 k3x+b k1x 时 x 的取值范围2【答案】解：（1）S BDO =4， k2=8， y2= ，将 A（4， n）代入 y2= ，8x8得 n=2把 A（4，2）代入 y1=k1x 得 k1= ， y1= x 又点 A、 B 关于原点对称， B（ -4，-2） 把 A（4，2） 、点 E（5,0）分别代入 y3=k3x+b 得，解得 k3= -2， b=10, y3=-2x+10；bk350（2） 解得
14、 或 ，即 C（1,8）xy8128yx24由图像知当 k3x+b k1x 时 x-2 或 1 x42【点评】本题主要考查双函数的图象问题，又与几何图形产生联系.直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意： (1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式 (2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标20 （2011 年河南，20，9 分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象12ykx2kyx交于点 和 ，与 y 轴交于点 C.(4,)Am(8,2)B（1） ， ；kk（2
15、）根据函数图象可知，当 时， x 的取值范围是 ；1y2（3）过点 A 作 AD x 轴于点 D，点 P 是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP 与线段 AD 交于点 E，当 ： 3：1 时，求点 P 的坐标.OACS四 边 形 E【解题思路】 （1）本题须把 B 点的坐标分别代入一次函数 y1=k1x+2 与反比例函数 的解析式即可求出 K2、k 1的值（2）本题须先求出一次函数 y1=k1x+2 与反比例函数 的图象的交点坐标，即可求出当 y1y 2时，x 的取值范围（3）本题须先求出四边形 OADC 的面积，从而求出 DE 的长，然后得出点 E 的坐标，最后求出直线 OP 的解析
16、式即可得出点 P 的坐标【解】 （1） ，16；2（2）8 x0 或 x4；（3）由（1）知， 1216,.yyx m4，点 C 的坐标是（0，2）点 A 的坐标是（4，4）. CO2， AD OD4. 21.ODACS梯 形 :3:1,E梯 形 24ODEODACA梯 形即 ODDE4， DE2.12点 E 的坐标为（4，2）.又点 E 在直线 OP 上，直线 OP 的解析式是 .12yx直线 OP 与 的图象在第一象限内的交点 P 的坐标为（ ）.216yx 42,【点评】本题主要考查了反比例函数的综合问题，在解题时要综合应用反比例函数的图象和性质以及求一次函数与反比例函数交点坐标是本题的
17、关键解决本题一类的问题，要深刻理解函数解析式与图象之间的关系，根据点的意义求出点的坐标，确定解析式.21 （2011 年内蒙古呼和浩特，21，8）在同一直角坐标系中反比例函数 的图象与一myx次函数 的图象相交,且其中一个交点 A 的坐标为(2,3),若一次函数的图象又ykxb与 x 轴相交于点 B,且 AOB 的面积为 6(点 O 为坐标原点).求一次函数与反比例函数的解析式.【解题思路】根据反比例函数图象过 A 点,将 A 点坐标代入 ,即可得到反比例函数的myx解析式.一次函数解析式中含有 2 个待定系数,需找到一次函数图象上的两个点 A、 B,将它们的坐标代入一次函数解析式,联立组成方
18、程组进行求解.在用 AOB 的面积求 B 点坐标时,要注意分类讨论.【答案】解:将点 A(-2,3)代入 中得myx32 6m (2 分)yx又 AOB 的面积为 6 1|2AOBy |36| OB|=4 B 点坐标为(4,0)或(-4,0) (4 分)当 B(4,0)时,又点 A(-2,3)是两函数的交点代入 中得ykxb40231kb (6 分)2yx当 B(-4,0)时,又点 A(-2,3)是两函数的交点代入 中得ykxb4023 6kb (8 分)32yx【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、三角形面积公式、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识,考查了函数与方程、分类讨论等数学思想
19、方法.用待定系数法求解析式贯穿本题始终,在用面积公式求 B 点坐标时,因涉及到分类讨论,这是学生易疏忽的地方,考查了数学思维的严谨性.难度中等.24 （2011 四川广安，24，8 分）如图 6 所示，直线 l1的方程为 y= x+l，直线 l2的方程为 y=x+5，且两直线相交于点 P，过点 P 的双曲线 与直线 l1的另一交点为kxQ（3 M）.（1）求双曲线的解析式（2）根据图象直接写出不等式 x+l 的解集k_x_y_Q_p_o_l2_l1图6【解题思路】先由直线 11和直线 l2解析式组成的二元一次方程组解得点 P 的坐标，在将点 P 的坐标代入双曲线解析式得到 k 的值即可得双曲线
20、的解析式再把点 Q 的坐标代入双曲线的解析式，求出 m 的值从而可以根据图像得到不等式 x+l 的解集【答案】解：（1）依题意：15yx解得： 23y双曲线的解析式为： y= 6x（2）2 x0 或 x3【点评】本题为典型双曲线考题，考察待定系数法求解析式和通过图像确定不等式的取值范围1 （2011 年湖南衡阳 25，8 分） （本小题满分 8 分）如图 13，已知 A，B 两点的坐标分别为A（0， ） ，B（2，0） ，直线 AB 与反比例函数 的图象交于点 C 和点 D（-1， a） 3 myx（1）求直线 AB 和反比例函数的解析式；（2）求ACO 的度数；（3）将OBC 绕点 O 逆时
21、针方向旋转 a 角（ a 为锐角） ，得到OBC，当 a 为多少度时，OCAB，并求此时线段 AB的长【解题思路】第（1）问设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，直接代入点 A、B 的坐标到解析式即可求出直线的解析式；因为直线与双曲线交于点 D，所以 D 点的坐标既满足一次函数的解析式，也满足反比例函数的解析式，所以将点 D（-1， a）代入直线解析式可求出 a 的值，然后将 D 点坐标代入反比例函数 ，便可得反比例函数的解析式 （2）在直角AOBmyx中，因为 tanOAB= ，所以OAB=30 0因为 C 是直线与双曲线的交点，所以将两3OBA个函数的解析式的右边相等可得 C（3， ）
22、，过 C 作 CMX 轴于点 M，则OM=3，CM= ，所以 OC=2 ，OC=AO=2 ，ACO=OAB=30 0 （3）设 OC与 AB 交3于点 N，由 OCAB 可得ONC=90 0，根据三角形内角和定理可得旋转角 a=600在 RtBCM 中，因CBM=ABO=60 0，CM= ，所以 BC=2由OBC是OBC 绕点 O 逆时针方3向旋转 600角得到的，所以可得ABOCBO，故 AB=BC=2【答案】解（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则有 ，解得 ，230bk32kb直线 AB 的解析式为 32yx把点 D（-1， a）代入 得 a = ，3点 D（-1， ）3把点
23、D（-1， ）代入 中得 m= ，myx3反比例函数的解析式为： （2）由 得 ， ，32yx13xy23xyC 的坐标为（3， ） ，过 C 作 CMx 轴于点 M，则 OM=3，CM= ，所以 OC=2 ，33A（0， ）23OA= OC= ，ACO=OAB在 RtAOB 中，tanOAB= ，3OBAOAB=30 0ACO=OAB=30 0（3）设 OC与 AB 相交于点 N，OCAB，ONC=90 0，ACO=30 0，COC=60 0故当 a 为 60 度时，OCAB在 RtAOB 中，OAB=30 0，CBM=ABO=60 0在 RtBCM 中，CM= ，CBM=60 0，BC=2
24、3OB=2 OB=BC BOC=30 0，AOB=90 0，BOB=60 0，AOB=30 0，在AO B和COB 中，OACBAO BCOBAB=BC=2【点评】确定解析式，一般采用待定系数法，本题第（1）问是常见的用待定系数法求函数解析式的问题，题目问题的设置有坡度，让不同层次的学生有不同的提高；第（2）问是直角三角形边角关系及等边对等角定理的灵活应用，主要考查同学们分析及解决问题的能力第（3）问将函数解析式、全等三角形、图形的旋转融为一体，题型新颖，内容丰富，主要考查了动手操作能力、分析与解决问题的能力，知识的综合性强，取材较独特，有一定的难度1. （2011 安徽，21，12 分）如图
25、，函数 y1 k1x b 的图象与函数 y2 (x0)的图象交k2x于点 A、 B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 A 坐标为(2，1)，点 C 坐标为(0，3)第 21题图（1）求函数 的表达式和 B 点坐标； 1y（2）观察图象，比较当 x0 时， 和 的大小.1y2【解题思路】 （1）由待定系数法,将 A、C 两点坐标代入 y1 k1x b 便可求出函数 的表达1y式， 将点 C 坐标代入 y2 便可求出 y2的解析式，解由两个解析式构成的方程组便可得k2x点 B 的坐标. （2）直接看图像位置高低就能比较 和 的大小.12y【答案】解：(1)由题意，得 解得 .3,1bk.3,bk
26、31xy又 A 点在函数 上，所以 ，解得 所以 x2xy222k解方程组 得 xy,3.,1y.,2x所以点 B 的坐标为（1, 2）（2）当 0x1 或 x2 时，y 1y 2;当 1x2 时，y 1y 2; 当 x=1 或 x=2 时，y 1=y2.【点评】本题主要从数形结合的角度考查用待定系数法求函数解析式的能力，而利用两个函数图象的位置高低来比较函数值的大小则是用“形”的特点解决“数”的问题极致方式，也是难点所在.难度中等.2. （2011 甘肃兰州，24，7 分）如图，一次函数 的图像与反比例函数 （3ykxmyx0）的图像交与点 P，PA 轴于点 A，PB 轴于点 B.一次函数的
27、图像分别交 轴、xx轴于点 C、点 D，且 =27， = .yBSOC12(1)求点 D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的表达式；（3）根据图像写出当 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？xxyAOPBCD【解题思路】 （1）本题需先根据题意一次函数与 y 轴的交点，从而得出 D 点的坐标 （2）本题需先根据在 RtCOD 和 RtCAP 中， ，OD=3，再根据 SDBP=27，从而得出BP 得长和 P 点的坐标，即可求出结果 （3）根据图形从而得出 x 的取值范围即可【答案】：（1）一次函数 y=kx+3 与 y 轴相交，根据题意，得：D（0，3）.（2）在 RtCOD 和 R
28、tCAP 中， ，OD=3，AP=6，OB=6DB=9RtDBP 中， ，BP=6，P（6，-6） ，一次函数的解析式为： ，反比例函数解析式为： （3）根据图象可得：当 x6 时，一次函数的值小于反比例函数的值【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键难度中等.3. (2011 广东河源，18，7 分.)如图 7,反比例函数 的图像与一次函数1(0)mxy的图象交于点 A、B,其中 A(1,2)2xby(1)求 m，b 的值；(2)求点 B 的坐标,并写出 时， 的取值范围 2y1x【解题思路】 （1）将点 A 的坐标分别代入反
29、比例函数和一次函数解析式，求得 m，b 的值；联列方程组求得点 B 的坐标， （2）由一次函数的图象在反比例函数图象上方，即在 A、B 两点之间，可得 时， 的取值范围.2y1x【答案】 （1）反比例函数 的图像过点 A(1,2)，2= ，m=2;1(0)m1m一次函数 的图象过点 A(1,2)，2=-1+b,b=3.2xb（2） ，解得 ， ，点 B（2,1） ，3xy21y1x根据图像可得，当 1x2 时， 21【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、函数图象交点的求法及图象法解不等式.解题关键是待定系数法及交点求法.确定 的取值范围是易错点，难度中等x4. （2011贵州安顺，23，1
30、0分）如图，已知反比例函数 的图像经过第二象限内的点xkyA（1， m） ， AB x轴于点 B， AOB的面积为2若直线 y=ax+b经过点 A，并且经过反比例函数 的图象上另一点 C（ n，一2） xky求直线 y=ax+b的解析式；设直线 y=ax+b与 x轴交于点 M，求 AM的长【解题思路】根据题意，结合图形，由 AOB 的面积为 2，可求出 k=4，进而求出点A（1， 4） ，点 C（ 2，一 2） ，直线 y=ax+b 经过 A、C，可求出求直线 y=ax+b 的解析式为，容易求出点 M（1，0） ，所以 AM= 。2xy 5【答案】 （1）点 A（-1，m）在第二象限内， AB
31、 = m， OB = 1，21BOASBO即： ，解得 ，A (-1,4)，2m4点 A (-1,4)，在反比例函数 的图像上，4 = ，解得 ，xky1k4反比例函数为 ，又反比例函数 的图像经过 C（n， ）xy4xy42 ，解得 ， C (2,-2)，n22直线 过点 A (-1,4)， C (2,-2)baxy 解方程组得 242ba直线 的解析式为 ；baxyxy（2）当 y = 0 时，即 解得 ，即点 M（1，0）02在 中， AB = 4， BM = BO +OM = 1+1 = 2，ABMRt由勾股定理得 AM= 5【点评】本题主要考查反比例函数、一次函数的知识，求函数的解析
32、式通常采用“待定系数法” ，此题的关键在于分清顺序逐步求解，做题过程中要特别注意线段长度与坐标之间的转换，尤其是符号的变化。难度较小。5. （2011 福建泉州，23. 9 分）如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于点 A（5，1）和 .bxy1 xky2 1（1）求这两个函数的关系式；（2）由反比例函数 的图象的特征可知：点 A 和xky2关于直线 对称.请你根据图象，填写点 的坐标及 时 的取值范围.Axy121yx【解题思路】 （1）由于点 A（5，1）是一次函数 图象与反比例函数 图bxy1 xky2象的交点，所以 A 点即在一次函数 图象上，也在
33、反比例函数 图象上，xy代入即可求出一次函数与反比例函数的解析式。 （2）由图象可知当 时， 的取值21y范围是： 或10x5【答案】解：（1）点 A（5，1）是一次函数 图象与反比例函数 图象的bxy1 xky2交点， ， ， .,kb5,6kb6xy52（2）由函数图象可知： （1，5） ；当 或 时， .0x1【点评】从代数的角度讲，本题应该是一个含有分式的不等式，对于初中学生来讲有些超纲，但从几何角度来讲，本题可以通过图象清晰地判定当 或 时， .0x521y体现了数形结合的思想。难度中等。6.2. （2011 年怀化 24，10 分）在矩形 AOBC 中，OB=6，OA=4，分别以 OB，OA 所在直线为 x 轴和 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边 BC 上的一个动点（不与 B，C 重合） ，过 F 点的反比例函数的图像与 AC 边交于点 E.)0(kxy（1） 求证：AEAO=BFBO；（2） 若点 E 的坐标为（2，4） ，求经过 O、E、F 三点的抛物线的解析式；（3） 是否存在这样的点 F，使得将CEF 沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出此时的 OF 长；若不存在，请说明理由.【解题思路】(1)本题主要考查的是反比例函数系数 k 的几何意义,由点 E、F 都在反比例函
